Затухающие колебания

В реальных системах, всегда присутствуют процессы, связанные с потерями энергии при действии сил сопротивления (трения). Представим силу сопротивления в виде

F_тр = - r = - r ,

где r - коэффициент сопротивления;  - скорость движения.

Запишем уравнение для маятника с учетом силы сопротивления

. (3)

Введем обозначение

.

Эта величина называется коэффициентом затухания . С учетом этого и выражения для ₀ получим

. (4)

(4) является дифференциальным уравнением затухающих колебаний.

Решением его будет

(5)

где

,

А(t)- амплитуда затухающих колебаний в момент времени t, А₀-начальная амплитуда колебаний, - круговая частота затухающих колебаний. Как видно из формулы, с ростом коэффициента затухания частота уменьшается, следовательно, период колебаний растет. Амплитуда колебаний с течением времени уменьшается по экспоненциальному закону. Отношение амплитуды в момент времени t к амплитуде в момент времени (t+T) называется декрементом затухания. Запишем это определение в виде

. (6)

Логарифмическим декрементом называется величина

=lnD. (7)

Для определения амплитуды колебаний в момент времени t= nT воспользуемся формулой (6)

.

Логарифмируя обе части этого выражения, получим

. (8)

Из (8) вытекают формулы:

. (9)

Если учесть выражение

,

то из (9) получится

. (10)

Cкорость затухания колебаний определяется временем релаксации . Время, в течение которого амплитуда убывает в e раз называется временем релаксации (e- основание натуральных логарифмов). Найдем его из выражения

. (11)

Подстановка в (11) выражения (10) дает

(12)

Добротностью колебательной системы Q называется отношение энергии W₀, запасенной в системе, к энергии  W, растрачиваемой за 1 период колебаний, умноженное на , т.е.

Q= (13)

Можно показать, что добротность может быть определена и из формулы:

(14)

Описание лабораторной установки

На рис. 3 приведена схема установки, состоящей из физического маятника с тормозным диском d и резервуара с водой. Перемещением груза Р маятника можно установить удобный для наблюдения период колебаний Т.

Диск d, прикрепленный к нижнему концу маятника, погружен в воду и служит для создания трения. Регулирование силы трения и, следовательно, быстроты затухания колебаний, осуществляется изменением диаметра диска.

Методика проведения эксперимента и обработки результатов

1. Начертить в тетради таблицу 1.

Таблица 1

№	d	A0	A5	A10	A15	T			
1
2
3
4
5

2. Включить компьютер.

3. Запустить программу 42К.ЕХЕ. Для этого указать курсором на 42К.ЕХЕ и щелкнуть левой кнопкой мышки (в дальнейшем эту команду обозначим L’ на 42К.ЕХЕ). На приглашение ввести свое имя - нажать Enter.