книги / Электронная оптика и электроннолучевые приборы

где уо — начальный угол наклона к оси крайней траектории пучка. Очевидно, чем больше по абсолютной величине начальный (от­ рицательный) угол наклона к оси крайней траектории сходящегося

пучка, тем меньше радиус пучка в плоскости кроссовера.

Из графиков также видно, что плоскость кроссовера с ростом (по абсолютной величине) начального угла наклона сначала уда­ ляется от исходной плоскости (z„p увеличивается), затем начинает приближаться к ней (zKP уменьшается). Вследствие симметрии пуч­ ка относительно плоскости кроссовера плоскость, в которой пучок принимает первоначальный радиус, также с ростом |уо| сначала удаляется от исходной плоскости, затем приближается к ней. Таким образом, существует некоторый оптимальный начальный угол на­ клона крайней траектории сходящегося пучка, при котором плос­ кость кроссовера, а следовательно, и плоскость, в которой радиус пучка равен исходному, будет наиболее удалена от исходной плос­ кости. Оптимальный угол наклона можно рассчитать по формуле

При оптимальном угле наклона расстояние, на котором перво­ начально сходящийся пучок в пространстве, свободном от поля, вновь принимает начальный радиус, равно

Используя формулы (2.27) и (2.28), можно определить макси­ мальное значение микропервеанса пучка, который может быть про­ пущен сквозь цилиндрический канал радиусом г0 и длиной 2гкр при оптимальном начальном угле наклона:

где d — диаметр, L — длина канала.

Формула (2.29) показывает, что пропускание длинных интенсив­ ных пучков через узкие трубки при отсутствии фокусирующих (ком­ пенсирующих действие пространственного заряда) полей встречает определенные затруднения. Например, если длина трубки в 20 раз

пучок), распространяющийся в эквипотенциальном пространстве (рис. 2.4).

Предположим, что ширина пучка (2х) значительно больше его толщины (2у), а длина (вдоль оси 0Z) значительно больше шири­ ны. По-прежнему считаем, что плотность тока одинакова во всех точках поперечного сечения пучка и ограничиваемся параксиаль­

ным приближением, т. е. полагаем vn= vz — |/ — U0, где UQ—

потенциал пространства, в которое вводится пучок.

Внутри пучка распределение потенциала описывается урав­ нением Пуассона; однако в силу принятых допущений Ех<^.Еу и

£ Z<C£V и изменение потенциала за счет пространственного заряда можно рассматривать только в направлении 0Y, т. е. приближенно считать Ex—Ez= 0. Тогда уравнение Пуассона принимает вид

d*U _ ___р_

т. е. задача сводится к одномерной, и для вычисления траекторий крайних электронов, определяющих контур пучка, достаточно опре­ делить величину Еу.

Выделим в пучке параллелепипед с ребрами Ах, Ау, Аг, парал­ лельными осям координат, и применим теорему Остроградского — Гаусса:

При принятых допущениях левая часть уравнения становится равной 2ЕуАхАу (так как поток вектора напряженности поля про­ ходит через два основания параллелепипеда — верхнее и нижнее. Следовательно,

т. е. действие пространственного заряда увеличивает фокусное расстояние вдвое.

В общем случае положение линейного фокуса определяется уравнением (2.40) при у = 0. Решение этого квадратного относи­ тельно г уравнения имеет вид

ap'fo

где fo — — Уо/Уо-

Последнее уравнение позволяет найти условия получения ли­ нейного фокуса. Очевидно, линейный фокус получится, если подко­ ренное выражение в (2.44) не отрицательно, т. е. если

У/Уо

При равенстве нулю выражения, стоящего под корнем, фокус­ ное расстояние максимально: f = 2fo.

Из условия симметрии контура пучка относительно плоскости кроссовера следует, что пучок достигает первоначальной толщины 2у0 на расстоянии 2г1ф. При оптимальном начальном угле наклона 2гКр=^2/=4/.о. Это условие соответствует максимально возможному «линейному первеансу» р' Из (2.45) (при знаке равенства) по­ лучаем

где £ = 4/о — длина пучка.

На рис. 2.6 приведены графики расходимости ленточного пучка при различных отношениях / л//л т а х и фиксированном входном угле наклона крайней траектории.

касается вершиной оси 0Z; при дальнейшем увеличении плотности тока сечение пучка в плоскости кроссовера отлично от нуля — ли­ нейный фокус невозможен.

Анализ пучков других типов показывает, что независимо от кон­ фигурации интенсивные электронные пучки в пространстве, сво­ бодном от поля, расширяются за счет расталкивающего действия пространственного заряда. Например, расчет крайней траектории трубчатого осесимметричного пучка, внутри которого помещен ци­ линдрический электрод с потенциалом £/о, показывает, что такой пучок (его внешняя граница) расширяется примерно на 7% мень­ ше, чем сплошной осесимметричный пучок при одинаковой плот­ ности тока.

Рассмотрим теперь второй фактор — падение потенциала в пуч­ ке вследствие пространственного заряда. Предположим, что элек­ тронный пучок заполняет все пространство между двумя плоскими параллельными электродами с одинаковым потенциалом Ua, рас­ положенными на расстоянии I (рис. 2.7).

Допустим также, что электроны имеют только одну составляю­ щую скорости vz, причем величины скоростей электронов и плот­ ность тока одинаковы во всех точках любой плоскости, перпенди­ кулярной к оси 0Z. При -сделанных допущениях задача становится одномерной, и достаточно рассмотреть только изменение потенциа­ ла вдоль оси 0Z.

Распределение потенциала при наличии пространственного за­

Умножим обе части уравнения (2.48) на 2dUldz и проинтегри­ руем в пределах от z до 1/2, учитывая (2.49). Тогда

Возведем последнее уравнение в квадрат и разделим обе ча­ сти его на U9/*:

[1 - ( £ W £ / ) ''* ] [ ! + 2 (£ /mlnA W =

9 1

(2.52)

?

Положим 2= 0 (При ЭТОМ U=Ua) И обозначим jl2/Ua1==P (Р имеет смысл коэффициента пространственного заряда — первеанса). Тогда

£Лпш 2

ео У —

Полученное уравнение позволяет проанализировать зависимость потенциала в минимуме (при 2= //2) от плотности тока. Зависи­ мость UntiJUa от / / представлена в виде графика на рис. 2.8.

Интересной особенностью графика является раздвоение кривой в точке А при //=9,32• 10_6 а/в8/* и Umin/Ua = 0J5. Формально эта особенность вытекает из наличия двух решений уравнения (2.51) в зависимости от выбора знака перед корнем.

Физически при возрастании плотности тока потенциал в мини­ муме монотонно убывает и при / / = 18,64 •10_6 а/в8/2 значение Umщ становится равным нулю (точка С); в плоскости 2= //2 образуется виртуальный катод, часть электронов потока продолжает движе­ ние к плоскости 2= /, часть возвращается к ускоряющему электро­ ду (плоскости г = 0). При этом пространство между ускоряющим электродом и коллектором можно рассматривать как два диода с

В случае уменьшения плотности тока виртуальный катод сохра­ няется (t/m in = 0) и при значениях //<18,64* 10~6 а/в8/*.

Если / / = 9,32* 10_6 a/е 3/*, то потенциал в минимуме повышается до 0,75 Uа, виртуальный катод исчезает и с дальнейшим умень­ шением плотности тока потенциал в минимуме монотонно возра­ стает до значения Ua при / / = 0.

Уравнение (2.53) получено в предположении неограниченности потока в направлениях осей ОХ и ОУ, ламинарности и равенства

ществимы из-за ограниченности потока и наличия начальных ско­ ростей электронов, имеющих разброс по величине и направлению, полученные соотношения пригодны для описания распределения потенциала в реальных потоках лишь с определенным прибли­ жением.

Экспериментальная проверка показывает, что с приближением р' к теоретически максимально возможной величине поток стано­ вится неустойчивым, возникают колебания электронов, нормальное токопрохождение нарушается. Однако и при / / > 18,64 •10_6 а!в 3 2 часть электронов доходит до коллектора. Точно так же при умень­ шении р' вблизи значения 9,32* 10~6 а /ва/2 наблюдается неустойчи­

электронный поток, как правило, вводится внутрь пролетного ка­ нала (проводящей трубки) с проводящими стенками, имеющими постоянный потенциал, равный потенциалу, ускоряющему электро­ ны до ввода в пролетный канал. Здесь мы пренебрегаем взаимо­ действием высокочастотного поля с электронным потоком, имею­ щим место в электронных приборах СВЧ-диапазона, ограничиваясь

вопросами формирования интенсивных пучков определенной кон­ фигурации. При наличии канала с проводящими стенками изме­ нение потенциала в пучке за счет пространственного заряда будет меньше, чем в случае неограниченного потока.

Рассмотрим распределение потенциала в осесимметричном пуч­ ке, полностью заполняющем проводящую трубку с внутренним ра­ диусом г0. Потенциал трубки обозначим Ua. Введем следующие допущения: длина пучка L значительно больше его радиуса; плот­ ность тока во всех точках любого поперечного сечения пучка оди­ накова; все электроны имеют скорости, параллельные оси 0Z (оси пучка), т. е. не будем учитывать расширения пучка. На основании первого допущения (L^>ro) можно считать, что падение потенциа­ ла вдоль пучка невелико (на границе пучка потенциал постоянен и равен Uа), и ограничиться только радиальным распределением потенциала. Третье допущение можно реализовать, поместив про­ водящую трубку в продольное магнитное поле (см. § 2.5).

Распределение потенциала в пучке описывается уравнением Пу­ ассона:

На основании первого допущения d2Ufdz2—0, а последнее сла­ гаемое в левой части уравнения (2.54) равно нулю в силу осевой симметрии пучка. Преобразуем средние члены левой части этого уравнения:

и выразим плотность объемного заряда р через ток пучка I и про­ дольную составляющую скорости vz:

(2.56)

Vz

Подставив (2.56) в (2.55), получим уравнение, описывающее радиальное распределение потенциала:

с граничными условиями

Второе граничное условие следует из НаЛичия осевой симметрии пучка — кри­

вая радиального распределения потен­ Рис. 2.9. Радиальное рас­ циала имеет на оси минимум (рис. 2.9). пределение потенциала

Второе граничное условие следует из наличия осевой симмет­ рии пучка — кривая радиального распределение потенциала имеет

Используя этот график, можно рассчитать радиальное распре­ деление потенциала в осесимметричном пучке, заполняющем про­ водящую трубку. Представляет интерес относительное изменение

анса.

Как видно из рисунка, с увеличением р потенциал на оси умень­ шается и при р = 32,4 м к а / в U0 достигает значения 0,174t/a-