книги / Электрические аппараты. Общий курс

Описанный метод рекомендуется применять тогда, Когда можно аналитически найти индукцию в любой Точке проводника, для которого необходимо определить силу. Индукцию определяют, используя закон Био- Савара-Лапласа [Л. 1-1].

Второй метод основан на использовании энергети­ ческого баланса системы проводников с током [Л. 1-1]. Ксли пренебречь электростатической энергией систе­ мы и принять, что при деформации токоведущих конту­ ров или при их перемещении под действием э. д. у. токи во всех контурах остаются неизменными, то силу можно найти по уравнению

где W — электромагнитная энергия;

х— возможное перемещение в направлении дейстВИЯ силы.

Таким образом, сила равна частной производной от электромагнитной энергии данной системы по коорди­ нате, в направлении которой действует сила. При расче­ те э.д. у., действующих при коротком замыкании вели­ чины токов в контурах можно считать неизменными 1Л. 1-2].

Электромагнитная энергия системы обусловлена как энергией магнитного поля каждого изолированного кон­ тура, так и энергией, определяемой магнитной связью между контурами, и для двух взаимосвязанных конту­ ров равна:

Первые два чл'ена уравнения определяют энергию

При расчете силы взаимодействия контуров мы счи­ таем, что энергия изменяется только в результате изме­ нения взаимного расположения контуров. При этом энергия, обусловленная собственной индуктивностью, считается неизменной. В данном случае сила взаимо­ действия между контурами равна:

Рис.. 1-2. Направление э. д. у. при различном расположении провод­ ников.

Энергетический метод удобен, когда известна анали­ тическая зависимость индуктивности или взаимной ин­ дуктивности от геометрических размеров.

1-1,6). Линия индукции S 2, создаваемой током f2, являет­ ся окружностью с радиусом г, лежащей в плоскости, пер­ пендикулярной /2. Направление силы dF\ определяется по правилу левой руки и показано на рис. 1-1,6.

Для плоской задачи, когда все проводники лежат в одной плоскости, результирующая суммарная индукция, действующая на проводник, всегда перпендикулярна к этой плоскости, а сила лежит в плоскости. Направления э. д. у. для некоторых случаев расположения провод­ ников в одной плоскости показаны на рис. 1-2.

положительному направлению силы соответствует воз­ растание энергии системы d W /d x > 0 .

где Y — потокосцепление; Ф — поток;

w— число витков в контуре.

Вэтом случае э. д. у. действует по радиусу, растя­ гивая контур, так как при этом индуктивность, потоко­ сцепление и поток возрастают.

Вслучае двух витков (рис. 1-9) или катушек с раз­ ными направлениями токов сила F направлена так, что­ бы отбросить витки друг от друга, так как потокосцеп­ ление увеличивается с ростом расстояния ft. Минималь­

ное потокосцепление будет иметь место при f t = 0. Если токи текут в одинаковом направлении, то витки при­ тягиваются.

1-3. Силы между параллельными проводниками

Рассмотрим вначале за­

дачу для бесконечно тонких Рис. 1-3. Электродинамические проводников конечной дли­ усилия между параллельными

ны (рис. 1-3). В этом случае легко аналитически найти

проводниками.

индукцию в любой точке пространства. Поэтому для определения силы воспользуемся первым методом.

Согласно закону Био — Савара — Лапласа [Л. 1-1] элементарная индукция от элемента тока i\ dy в месте расположения элемента dx равна:

Произведение ~ [ j / ' ^ + ( - у - ) -----j~ зависиттоль­

ко от размеров проводников и их расположения, Назовем его геометрическим фактором. Тогда

меньше их длины, т. е.-у-<С1, то kr можно принять рав­

Для двух параллельных проводников разной длины, рас­

взаимодействующих проводниках; 2 5 — сумма боковых сторон этой трапеции;

а — расстояние между проводниками.

Следует отметить, что при параллельных отрезках проводников различной длины, как угодно расположенных друг относительно друга, силы, действующие на оба проводника, одинаковы. В общем случае (рис. 1-4) равнодействующая э.д.у. не приложена к середине проводника. Точку приложения равнодействующей можно найти гра­ фоаналитическим путем [Л. 1-2]. Интересующий нас отрезок / раз-

б)

Рис. 1-4. Определение точки приложения равнодействующей силы.

бивается на участки (рис. 1-4, а). Там, где ожидается большая удельная э.д.у., длина участка берется меньше. Находятся э.д.у.

/V-s; F3—4 между этими участками и проводником //. Эти силы прикладываем посредине участков 1—2, 2—3, 3—4\ затем силы суммируем (рис. 1-4,6). Сначала складываем Л-2 и Л-з- Для это­ го F1-2 дополняем Л-з, a Л -3—F\-2 и строим прямоугольник. Сое­ диняем конец вектора Л -2 с нижней правой вершиной, а конец век­ тора Л-з с нижней левой вершиной. Из точки пересечения А\ про­ водим прямую, параллельную F\-2. Эта точка определит положение вектора Л-з = Л-2+Л-з. Аналогично находим положение резуль­ тирующего вектора Л-4.

При нахождении электродинамических сил мы счита­ ли, что сечение проводников бесконечно мало и весь ток идет по их геометрической оси. В действительности сече­ ние проводников всегда конечно. Можно показать [Л. 1-8], что для проводников круглого и трубчатого се­ чений форма сечения не оказывает влияния на электроди­ намическую силу. В этом случае при расчетах можно принять, что ток идет по геометрической оси. Следует от­ метить, что поверхностный эффект в проводниках кругло­ го сечения не сказывается на э. д. у., а эффект близости, смещающий оси токов в проводниках, оказывает влия­ ние, вызывая увеличение силы при встречных токах и уменьшение при согласных токах [Л. 1-9].

Для шин прямоугольного сечения форма сечения влияет на электродинамическую силу [Л. 1-3]. В этом случае можно пользоваться уравнением (1-11) с учетом формы сечения проводника:

F — 10 ij 12 •

Кривые для коэффициента формы k$ приведены на рис. 1-5.

1-4. Силы и моменты, действующие на перемычку

В электрических аппаратах очень часто встречается расположение частей токоведущего контура под прямым углом (рис. 1-6, а). Ради упрощения задачи при расчете нринимаем, что ток течет по геометрической оси провод­ ников и вертикальный проводник уходит в бесконеч­ ность.

Сила, действующая на элемент перемычки dx, равна: dFx = iBx dx.

Индукция Вх от полубесконечного проводника в точ­ ке на расстоянии х от его оси равна:

Указанный закон изменения индукции справедлив во всех точках пространства, за исключением х < г [Л. 1-1].

Сила на участке х равна Fx= 1 0 “7 i2 In — .Тогда пол-

из уравнения (1-14), а реальная сила, действующая на перемычку, меньше, чем дает уравнение (1-15). Соответ­ ствующие формулы и их вывод даны в [Л .1-3].

Распределение силы вдоль перемычки представлено на рис. 1-6, б. По мере удаления от оси вертикального проводника индукция уменьшается, что ведет к умень­ шению силы.

В масляных выключателях и других аппаратах токо­ ведущая цепь может иметь вид «петли» (рис. 1-6, в). На перемычку в этом случае действует сила как от пра­ вого, так и от левого вертикального проводников, т. е. сила будет вдвое больше той, которую получаем по фор­ муле (1-15). Если «петля» выполнена из проводников круглого сечения, то силу можно найти, воспользовав­ шись энергетическим методом.

Известно, что индуктивность П-образной петли равна:

щей конечную длину вертикального проводника [Л. 1-3]:

одинаковы [Л .1-2].

При расчете электродинамической стойкости необхо­ димо определять момент э. д. у. относительно точки вра­

проводники бесконечны и что ток проходит по их геомет­ рическим осям.

Элементарный момент, Н-м, в сечении, отстоящем на расстоянии х от левого проводника, равен:

dM = dMx + dM 2y

где dM 1— элементарный момент от левого проводника:

После интегрирования получим:

М = 10-7 г'2 — (in — + — ) . 2 V 4r a j

Кроме э. д. у., от левого и правого проводников создается изгибающий момент за счет силы, возникаю­ щей в месте перехода тока. Полный момент относитель­ но точки О равен:

В практике приходится очень часто сталкиваться со сложными токоведущими контурами, состоящими из большого числа проводни­ ков. Расчет результирующей силы, действующей на отрезки конту-

pa, по аналитическим формулам получается очень сложным, а часто просто невозможным. В этом случае рекомендуется производить рас­ чет с помощью приближенного метода, пригодного даже для случая расположения проводников в разных плоскостях [Л. 1-2]. Сущность

где £уч.Ср—индукция в середине участка А/ от всех остальных ча­ стей контура;

i— значение тока в участке Д/.

Аналогичный расчет проводится для всех участков проводника. Используем этот метод для расчета сил,. действующих на тра­ версу масляного выключателя (рис. 1-7). Разбиваем траверсу на не­ сколько частей и рассматриваем силу, действующую на каждый уча­

сток. Индукция в середине участка Д/ равна:

By4.cp = - \ B i \ + \B2 \ + \B4\ + \B&U

где |Bi|, |В2|, |В4|, |В5| —модули индукций, создаваемых провод­ никами /, 2, 4, 5.

Индукции от всех проводников можно найти, воспользовавшись (Ь8):

Bi = 10-2* ai [cos + COS (я —P2)];

В2 = 107i — cos al и t. д. я2

Подобный расчет производится для всех участков проводника 3, после чего строится эпюра распределения силы вдоль траверсы. Ре­ зультирующая сила равна сумме сил, действующих на участки. Точ­ ку приложения равнодействующей находим, пользуясь методикой § 1-3, или по |71. 1-9].

Указанный метод расчета э. д. у. дает приближенное распределе­