книги / Численные методы. Ч. 2
.pdfОстальные пробные функция:
Ф |(*М *-1)к.
9 j ( x ) - ( x - i y .
Для рассматриваемого уравнения, в отличие от выражения (3.22), функция q(x) = 0. Для упрощения будем считать, что р(х) = X = const,
f(x) = -J(x) = const. Подсчитаем коэффициенты для системы уравнений (3.25)
с „ = - | ( рч>;ф; + ЧФ,<Р,)сЬс = -X jfotfdx ■=-X j(2x- l)’dx * ~ ;
О |
0 |
0 |
^ |
С,1 |
= С„ • -xj<p;<p;dx = |
|
|
* " 4 4»;<Pi<bc * - — ;
Ce «-X j(V;)’dx—
С» ■ См » -XjvJqiJdx ■ - — ;
1 |
1 |
1 |
L |
J |
f, = - j f q>,dx+ k j <p'0(x)q>;dx= -J J(x —l)xdx + Xj (s, - H„)<p;dx= - . |
||||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Здесь учтено, что |
|
|
|
|
xj(S, - Hokjdx = X(S, - 2»)Jф'сЪс* X(E, - S ,k X =0> |
j = 2 . 3• |
|||
0 |
0 |
|
|
|
Аналогично получаются остальные значения |
|
|
||
^ - - Л * 1* + х Г « ; ( х ) д е - ^ . |
fJ=-j)<pJdx+xj<p;(x>p')d x = ^ . |
|||
о |
о |
о |
о |
|
X* М ') |
-<*(ф.О)-н м) |
|||
dx |
|
|
|
|
Эго приводит к системе уравнений относительно G и Н: |
||||
|G * E 0, |
|
|
|
|
|ХН = -a[(G + H )-E _ J |
|
|||
Отсюда следует: |
|
|
|
|
Таким образом, |
|
|
|
|
Фв( х ) - 5 , + ^ |
~ |
Ч . |
||
Остальные пробные функции представим в форме, удовлетворяющем |
||||
однородным условиям задачи, |
|
|
|
|
ф'(х>‘ ( х - ^ |
х |
) х - |
||
9l W = ( X’ - ^ r ) ' X - |
||||
ф1(х )- ( х‘ - ^ |
|
г ^ |
) - х ' |
|
Как и в предыдущем случае, функции |
|
|
|
|
q(x) = 0, р(х) = X =const, |
f(x) = -J(x)= const. |
|||
Подсчитаем коэффициенты для системы уравнений (3.2S) в соответствии с формулами (3.26):
c*=4ptoi-*/<pi<i>;dx=
О
■ gX* |
к ■ jT(k+lXi+l) |
to+ (k + j+ 2 fr |
(a+ fr+ lM a+ G + lfr) |
|
(a + Я-У |
L k+j+1 |
a +Я. |
(ot + A.)2 |
J ’ |
Х(а + 4Х) |
X(a +5X)_ |
ЗХ(а+6Х)л |
(а+4Х)т |
|
г ~ |
S fa + X )*3 б(а +Я.| * |
|
Х(а + 5Х) |
4Х(а+6Х) |
Х(а+7Х) |
^ (а+5Х). |
2 (а + Х ) 1 |
5 (а + Х ) 2 |
( а + Х ) |
3 4 (а + Х) |
З Х (а + 6 Х ) _ Х ( а + 7 Х ) |
9 Х (а + 8 Х ) |
Е (3 а + 1 8 Х ). |
|
5 (а + Х) а ‘ " ( а + Х ) 32 |
7 ( а + Х ) 2 3 = 1 0 (а + Х ) ’ |
||
Решением являются коэффициенты
а , = ~ , а 2 =0, а, =0
разложения решения в ряд по пробным функциям:
Уз(х)= Ф0+ а,я>, + а2ф2+ а2ф, +...=
= _ a ( H , - S 0) |
J r x _ o ^ Y |
K . = |
r a ( S , - S j + OHjA. |
П |
|
|
а + Х |
a + x j |
” ° |
|_ а + Х |
а + Х |
2XJ |
2Х |
Полученное решение является точным для поставленной задачи. Этим, в частности, объясняются значения аг и аз, равные нулю.
Разрешимость системы алгебраических уравнений метода Галеркина
Рассмотрим условия существования и единственности решения системы алгебраических уравнений (3.25), полученной в результате применения метода Галеркина к задаче (3.22)» (3.23).
Теорема 3.1. Пусть коэффициенты дифференциального уравнения (3.22) удовлетворяют условиям:
РбС{.ь],р(х)£ро >0,
(3.27)
q e C M ,q(x)£0.
Тогда система алгебраических уравнений метода Галеркина (3.25) имеет единственное решение.
Доказательство. В однородную систему уравнений, соответствующую системе (3.25),
£ с * Ь к = 0 , j = l»n |
(3.28) |
к-1 |
|
подставим полученные ранее значения коэффициентов |
|
к - |( рф£ф| +q<pk<(>j)dx: |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
■ |
|
Z b J (рф ;«р; + |
= Jf РФ;5 ^ bkq»; + ЧФ,£ b ^ l d x = Q, j = й . |
|||||
|
k-l |
, |
a N |
k-l |
k-l |
|
У |
|
Обозначим: |
|
II |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z. = Z bl<Pk |
|
|
|
|
|
|
|
|
k-l |
|
|
|
|
Тогда предыдущее равенство можно записать в виде |
|
|||||
|
|
ь |
|
|
__ |
|
|
|
|
Д рфХ + Ч Ф Л ^ Х 'Ъ |
j= l,n . |
|
|||
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
Домножим каждое из этих выражений на множитель bj и все полученные |
||||||
соотношения просуммируем: |
|
|
|
|
|
||
i > |
j J(РФ'г; + qVjZ.Jdx = |[p z ; £ b /p ' +qz. 2 > j V |
j V |
= J(p fc )2+q(z.)*)dx = 0. |
||||
И |
a |
a N |
H |
T \ |
J |
. |
' |
При выполнении условий (3.27) приведенное выражение справедливо лишь в том случае, когда z' (х) = 0 . Это означает, что функция
а
z»(x) = 2 Х ф к(х)=const. k-l
Учитывая, что на концах отрезка [а, Ь] по построению все функции фь обращаются в ноль:
Фк(а)=Фк(Ь)=0, |
к = 1,п, |
получаем |
|
2Дх) = £ ЬкФк(х)=0, |
|
к-1 |
|
откуда в силу линейной независимости <рк |
следует: Ьк =0, к = 1,п . Но это |
означает, что однородная система алгебраических уравнений (3.28) имеет только тривиальное решение, то есть ее определитель отличен от нуля, что и говорит о существовании единственного решения исходной системы уравнений (3.25).
Что и требовалось доказать.
Метод наименьших квадратов
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка
|
y"+p(x)y'+q(x)y = f(x) |
(3.29) |
||||
с граничными условиями |
|
|
|
|
|
|
|
°,у{а)+ |
|
а) ■ А, |
|
||
|
|а»у( |
) |
в|У'(,У'( |
“ < |
(3.30) |
|
|
1 М |
Ь) + Р|У'(Ь) * В |
||||
|
|
|||||
Определим |
систему |
пробных |
|
функций |
{фк}, к = 0,1,2,..., |
|
удовлетворяющую условиям, перечисленным в разделе, посвященном методу моментов. Эго позволяет представить решение задачи (3.29), (3.30) в виде разложения (3.20) в ряд по этим функциям.
Подстановка выражения (3.20) в уравнение (3.29) дает невязку
е. (х)= у:'(х)+ р(х)у: ( х ) + q(x)y. (х) - f ( x ) * 0 .
величина которой зависит от значений выбранных коэффициентов
ak, k —1,2,...
Определим функционал
ь
8(y.)sJ®i(x)dx.
а
имеющий минимум, равный нулю, при ев(х) = 0. Очевидно, что достижение
минимума соответствует подбору |
таких коэффициентов ак, |
к = кп |
рахпожения решения в ряд (3.20), |
при которых представление у0(х) |
|
удовлетворяет заданному уравнению (3.29). |
|
|
Рассматривая б(ув) как функцию |
п переменных а к, к = 1,п , |
запишем |
необходимые условия экстремума |
|
|
Подставим выражения ув,£в в это соотношение:
а■
2Х/(ф»+РФ'к +ЧФк)(фГ+Р ^ +ЧФ^х-
k-l •
<3 31)
- / ( f - ф ? " РФ1 -Ч Ф .)(ф Г+ РФ)+ Ч Ф ^ * . j - U .
л
Обозначим:
с * = / ( ф Г + р ф ! +ЯФкХф"+ РФ)+ Ч Ф ^ х *
fj = / (f -Фо-РФ; - ЧФ.ХфГ+ РФ)+49j)dx
А
*т
Теперь уравнения (3.31) можно представить в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов ак;
j = bn * |
(3.32) |
k-l
Легко заметить, что эта система уравнений имеет симметричную матрицу коэффициентов, С ^ = С Ч.
Пример З.б. Вновь рассмотрим одномерное уравнение стационарной теплопроводности
с граничными условиями
0(О) = Ео, 0(1) = = .
Возьмем систему пробных функций, аналогичную рассмотренной в примере 3.4,
ФоМ = ■*■(•—I“ ■—о)х>
ф |(х )= (х -1 )х ,
Фа(х)=(х-1>сг,
<PJW = (x - 1)xJ.
Фк( х ) = ( х - | ) х к
Вновь рассмотрим случай, когда р(х)=0, q(x)=0, f(x) = - i = c o n s t .
A,
Ограничим число слагаемых в разложении (3.20) величиной п » 3. В этом случае коэффициенты системы уравнений (3.32) принимают значения:
c„=Jq>ft>;'dx=4,
О
См = } фЖ'<»х = 4,
О
оэ
^12 = ^21 = J Ф?РаУХ = 2 ,
О
C„=С3| =| <p;tp;tix=2 ,
о
C23=Cw=jcp;'cpitix=4,
Система алгебраических уравнений |
|
|
|
|
4а. + 2а2 + 2а, |
|
2J |
||
------- , |
||||
1 |
2 |
3 |
|
X |
2а,+4а2 +4а3 = - i , |
||||
2а,+4а2 + — а3 = - i |
||||
1 |
2 |
5 |
3 |
X |
имеет решение: |
|
|
|
|
2 J |
а 2 =° » а з = 0 . |
|||
а , = - ^ * |
||||
Это вновь приводит к получению точного решения исходного уравнения: y1(x) = H0+(H1- E 0) x - ^ ( x - l ) x = H0+^S1-H 0+ i - j . x - ^ x J
Разрешимость системыуравнений методе ет ш ееш ех иадратое
Рассмотрим однородную систему линейных алгебраических уравнений,
■ |
- |
построенную на основе системы (3.32)v£ C ^ b k * 0, |
j « 1*п. |
k-l |
|
Подставим сюда значения коэффициентов См: |
|
Х ьЛ (ф1 +Рф'к +ЯФ|Хф' +P4>j +<w»j)*x ■ k-l .
= f f i b^ ; + p i b k9 i + q £ Ькфь 1(<р*+ РФ' + q^)dx >
• V k-l |
k-l |
k-l |
) |
= ) « |
+pz'. +<Р.Хф!+РФ1 + ЯФi)йх = 0, j = l,n |
||
Здесь использовано обозначение: z. = £ b k(pk . k-l
Умножим каждую из предыдущих формул на bj и просуммируем все полученные выражения:
вЬ
£b j « + рг'ш+ qza )(ф; + рф; + q<pj)dx =
Нв
=Jfo + pz'. + qz„ и + pz'. + qz. )dx =J(z* + pz*. + qz. J*dx =0 .
Очевидно, что последнее равенство возможно лишь в случае, когда |
|
(z :+ p z ;+ q z .)= 0 . |
(3.33) |
Кроме того, в силу свойств пробных функций
a 0z„(a)+a,z'„(a)=0,
(3.34)
. Pozn (b)+ P,z'n (b) = 0.
Предположим, что граничим задача (3.33), (3.34) имеет таимо
Л
тривиальное решение гл * Х^кФк « 0 .
к-1
В силу линейной независимости пробных функций <рк это возможно лишь при условии bh = 0 , к = 1,п , то есть вспомогательная однородная система алгебраических уравнений имеет только тривиальное решение. Отсюда следует, что определитель згой системы уравнений отличен от нуля, а это является необходимым и достаточным условием ее разрешимости.
Проведенный анализ разрешимости метода наименьших квадратов может быть сформулирован в виде следующего утверждения.
Теорема Э.2. Если однородная граничная задача (3.33), (3.34), соответствующая исходной граничной задаче (3.29), (3.30), имеет только тривиальное решение zn = 0 , то система алгебраических уравнений (3.32) метода наименьших квадратов имеет единственное решение.
Сходимост ь м ет ода наименьш их квадрат ов
Рассмотрим граничную задачу (3.29) при упрощенных граничных условиях
|
y (a ) = 0 , |
y(b) = 0. |
|
|
(3.35) |
Пусть у(х) - точное решение задачи (3.29), (3.35), а |
|
|
|||
|
и |
|
|
|
|
|
у . = Z ak<pk |
|
|
(з.зб) |
|
|
k-1 |
|
|
|
|
- приближенное1 решение, получаемое методом наименьших квадратов. |
|||||
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
L(z) = z" + p(x)z'+q(x)z. |
|
|
||
Теорема 3.3. |
Последовательность функций |
|у„(х)}, получаемых по |
|||
методу наименьших квадратов, сходится по метрике2 Ц |
к точному решению |
||||
у(х), если выполнены условия: |
|
|
|
|
|
1 Очевидно, что при граничных условиях (3.35) пробную функцию ф0 можно |
|||||
использовать наряду с остальными <ркдля получения приближения уп. |
|
||||
2 Согласно [10] |
пространство Lj - |
совокупность |
всех вещественных |
измеримых |
|
функций, заданных и суммируемых с квадратом на отрезке [a, b] |
£ x 2dt <оо |
Норма в Ц |
|||
определяется через скалярное произведение (х,у) = £ xydt |
в виде |х| = (х,х)1/2 |
|
|||