книги / Численные методы. Ч. 2
.pdf3. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В отличие от задачи Коши в граничных задачах условия для определения постоянных интегрирования задают в нескольких различных точках отрезка, на котором ищут решение исходной дифференциальной задачи. В качестве примера рассмотрим ряд постановок таких задач.
Пусть движение точки вдоль прямой описывается уравнением
d2x |
/ |
\ |
m^ T |
= Fe(t,x,x), |
|
причем известно, что к моменту времени Т точка прошла расстояние L; необходимо найти закон движения точки. Очевидно, что условия для нахождения постоянных интегрирования в рассматриваемом случае заданы для разных моментов времени и могут быть записаны в виде х(0) = 0, х(Т) = L.
Неподвижная горизонтальная балка закреплена на опорах и испытывает действие распределенной по ее длине перерезывающей нагрузки (рис. 3.1). Уравнение изгиба балки имеет вид
н £ ~ м м .
где Е - модуль упругости материала, I - момент инерции поперечного сечения балки, w(x) - функция прогибов, М(х) - переменный изгибающий момент от действия поперечных нагрузок.
Шарнирные закрепления балки на опорах означают, что прогибы в ее крайних точках равны нулю, то есть w(0)=0, w(L)=0.
Рис. 3.1. Схема изгиба балки под действием перерезывающей х
нагрузки
Температурное поле 0(х) в стержне, теплоизолированном с боковой поверхности, описывается уравнением одномерной теплопроводности
где X г коэффициент теплопроводности, J(x,0) - мощность внутренних тепловых источников. Пусть на левом торце стержня поддерживается постоянная
Решая каким-либо известным способом задачу (3.3), (3.3), находим U|(x;D), U2(X;D) как функции параметра D. Очевидно, что второе граничное
условие (3.4) в общем случае не будет выполнено из-за произвольного выбора параметра D. С другой стороны, теперь можно попытаться подобрать такое значение D , которое будет обращать это выражение в тождество
<p1(u,(b;D).uJ(b;D))=0.
В случае, когда полученное выражение является достаточно сложным, для определения В может использоваться один из известных методов поиска корня нелинейного уравнения.
Пример 3.1. Решим задачу теплопроводности для однородного тонкого стержня с теплоизолированной боковой поверхностью
при J(x,0) = const и граничных условиях
а 0 (О )-Х 0 '(о ) = а Н ср, 0 (l) = E ,.
Введем обозначения:
е = и ,, 0 ' = и2 .
Исходное уравнение представим в виде системы двух дифференциальных уравнений:
J
X
с граничными условиями
a u ,(0 ) -X u 2( 0 ) = a E cp,
U|(l)=H|.
В соответствии с идеей метода пристрелки положим u,(o)= D. Из первого граничного условия
Метод дифференциальной прогонки
Пусть рассматривается система п дифференциальных уравнений вида
{u'}+[A(x)]{u}«{f(x)} |
(3.6) |
с граничными условиями |
|
Ы М * .)} = {<*.}. « - Г » - |
(3.7) |
Пусть в точке xt задано pt условий, в точке х* - р* условий, и так далее; очевидно, что общее число граничных условий равно числу дифференциальных
т
уравнений системы (3.6), то есть £ p t = п . •>1
Например, в системе двух дифференциальных уравнений задача (3.6), (3.7) представляется в виде:
U1 + a„(x)ui + аи(х)и, = f|(x),
uj +a„(x)u, + au (x)u, = f,(x),
Фии|(х|) + Фци:(х|) =
Ф2|и1(х2) + Фии2(х2) = а 2-
Матрицы в выражениях (3.6) и (3.7) принимают вид:
|
f.(x)i |
м |
№ • |
ЛООГ |
|
[ф,] = (фп Ф«). {ot} = a .. [ф2] = (ф21 |
Фи). {а2} = а 2 |
Основная идея метода дифференциальной прогонки заключается в сведении граничной задачи (3.6), (3.7) к задаче Коши, то есть в сведении граничных условий (3.7), заданных для m разных значений аргумента, к п условиям, заданным для одного значения аргумента.
Рассмотрим вспомогательное функциональное соотношение
|
|
К х)]тМ = М х)}> |
(38> |
|
где |
|
|
|
|
" v l l ( x |
!I |
v21(x) |
v.i(x)‘ |
[ Y I ( x ) 1 |
v,2(x!) |
vH(x) |
v.2(x) |
Y2(x) |
|
|
|
|
. |
{y(x)}= |
. v j x |
) |
v2.(x) |
v«.(x). |
. Y n ( X ) |
выполняя эту процедуру для всех отрезков [xk,xk*,]t |
в конечном |
итоге получим значения всех функций [v(b)] и (у(Ь)} для последней точки отрезка. Наконец, решая систему алгебраических уравнений (3.9), определяем значения искомых функций (u(b)), то есть переходим к задаче Коши.
Пример 3.2. Найдем решение задачи об изгибе балки, нагруженной распределенной поперечной нагрузкой, на упругом винклеровом основании (рис. 3.2) с коэффициентом упругости К.
Ч(х)
Рис. 3.2. Расчетная схема балки |
Рис. 3.3. Расчетная схема для получения |
на упругом винклеровом основании |
уравнений равновесия изогнутой балки |
Для построения дифференциального уравнения, описывающего поведение такой конструкции, выделим элемент конструкции малой толщины dx (рис. 3.3)
исоставим уравнения равновесия:
-проекций усилий на горизонтальную ось
Q -(Q +dQ )-q-dx = 0;
- моментов относительно левого нижнего угла сечения
-M + (M + dM )-(Q + d Q ) d x - q ^ - = 0.
Из первого уравнения следует зависимость усилия Q от нагрузки q:
второе уравнение, в предположении о малости величин dQ dx, (dx)2,
устанавливает соотношение между моментом М и усилием Q:
Теперь дифференциальное уравнение (3.12) четвертого порядка можно представить в виде системы четырех уравнений первого порядка с соответствующими граничными условиями
u ,(0 )-0 .
(3-14)
Uj(0)- 0 .
u;+ku, Р. .«,(!)-0 .
В соответствии с записью (З.б) матрица [А(х)] коэффициентов и правая часть {f(x)} системы дифференциальных уравнений имеют вид
X |
II |
0 |
-1 |
0 |
0 " |
0 |
0 |
- 1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
- 1 . |
___ |
о |
о |
о |
м |
|
|
1 |
1 |
|
|
0
0
{f(x)>« 0
р(хХ
Граничные условия (3.14) также представим в форме выражения (3.7)
Теперь систему уравнений и граничных условий можно представить в форме (3.6), (3.7):
V}+[A(x)]{u}={f(x)},
I<Pi)Mo)}=k}. k K u0)}=K }-
Поскольку для х = 0 заданы два граничных условия, матрицы [v(x)] и (у(х)} соотношения (3.8) на первом (и единственном) отрезке [0, 1] представляются в виде
" |
/ \ |
vu W |
|
|
VnW |
|
|
_ |
v«(x) |
vn (x) |
(*) |
Ж ] = |
v>.W |
V3l(*) |
М‘ Н Г:'W Г |
|
М * ) v« (x).
