книги / Численные методы решения некорректных задач

Точно так же легко получается аналог теоремы о свертке для дискрет­ ного преобразования Фурье, а именно

Аи—1 и—1

Здесь функция z (s) и значения zm связаны соотношением

П m =0

где zm —дискретное преобразование Фурье от zfc. Тогда для коэффициен­ тов дискретного преобразования Фурье вектора z \ x k) будем иметь [133]

птп=0

+l«ml2 + « 0 +<»2m)ZmZm)-

Отсюда минимум Ма достигается на векторе с коэффициентами дискрет­ ного преобразования Фурье [60]

вточках сетки sk.

За м е ч а н и е . Можно предложить несколько иную аппроксимацию функционала

Ma[z] = \A h z - и 6 # ij |0 ,2e] +

41

При использовании такой аппроксимации в выражениях для экстремали (34), а также в приведенных ниже выражениях для функций р*, Фп, уп,

Описанный выше метод допускает простую и быстродействующую программную реализацию, поскольку существуют методы быстрого пре­ образования Фурье [207, 125, 193], для которых созданы стандартные программы [142]. При использовании обобщенного принципа невязки для выбора параметра регуляризации необходимы функции уп, кото­ рые в рассматриваемом случае могут быть вычислены по формулам

п т = о [ | Кт | 2 (Д х)2 + а(1 + (ят/а)2)]2

42

Производная функцияуп(а) легковычисляется по формуле

пт =о [|tfm |2(Длг)2 +а(1 +(7гт/д)2)]3

Производные функций 0,,(а), (а) могут быть вычислены с помощью формул (21).

Р и с . 1.4. Модельная задача для одно­ мерного уравнения типа свертки

В качестве примера применения описанных выше методов рассмотрим следующую модельную задачу.

Пусть дано уравнение

Результаты расчета модельной задачи при уровнях погрешностей А2 = = 6,73 X 10~9, 62 = 1,56 X 10_6 приведены на рис. 1.4.

Рассмотрим теперь двумерное интегральное уравнение типа свертки

X (—°°, +°°)]*), оператор А непрерьшен и однозначен. Пусть вместо точно

*) Пространство W\ - пространство функций, имеющих обобщенные производ­ ные второго порядка, интегрируемые с квадратом. Из теорем вложения [153] выте­ кает, что из сходимости в норме W\ следует сходимость, равномерная на любом прямоугольнике [at b] X [с, d]. Это и определяет выбор Z ~ W \ .

43

известных и и ядра К известны их приближенные значения иь и Кн такие, что

Для любого a > 0 существует единственная экстремаль функционала Тихонова z“, реализующая минимум Л ^[г]. При выборе параметра a =

7] 0 к точному решению задачи в норме W\9а следовательно, [153] и рав­ номерно на каждом прямоугольнике [а, Ъ] X [с, d ]. Как и для одномерных уравнений, легко выписать экстремаль функционала Ма [z] :

тогда для й (х, у) имеем supp й (х, у) Q [с, С] X [с/, D], где с =я + / ь С = = Л + L i 9d = b + l2jD = B + L2. Будем считать, что приближенная правая часть иб (х, j ) имеет локальный носитель [с, С] X [d, D], а приближенное решение [а,А\ X [6, 2?].

44

Аналогично рассмотрению, проведенному для одномерных уравне­ ний, перейдем к уравнению

оо

вкотором локальные носители z(s>t) и и(х, у) лежат внутри прямоуголь­ ника [0, 2г] X [О, 2R] , а сами z и и доопределены нулями вне их носите­

лей на этом прямоугольнике.

Проделав аналогичную процедуру с K(v, w), будем считать все функ­ ции периодически продолженными (с периодом 2г по первому аргументу и 2R — по второму) и рассмотрим уравнение (36) на всей плоскости.

Введя равномерные сетки по (х, у) и (s, t)

(«1 и щ будем считать четными), и аппроксимируя уравнение по формуле прямоугольников, получим

45

Запишем конечно-разностную аппроксимацию функционала М01 [z] для уравнения (35):

Как и в предыдущем параграфе, получим

Минимум функционала (37) достигается на векторе с коэффициентами Фурье

т = 0 , 1 , 1 ; п = 0, 1,. . . , «2 - 1.

Решение z*(s, t) на сетке (sk, tt) получается обратным дискретным преоб­ разованием Фурье

Как и для одномерных уравнений, выражения для функций Pv (a), 7rj(a)>

46

X {а + (5 + h V 7„(а)) —— — I I + («2,+ й 2)2]}.

V7„(а)

Вприложениях к книге приведена стандартная программа решения двумерного интегрального уравнения от разности аргументов, основанная на технике быстрого преобразования Фурье с выбором параметра ot по обоб­ щенному принципу невязки.

Приведен пример тестового расчета. Пусть дано уравнение

11

/fK ( x s,y - t)z(s,t)dtds = u(x,y)

о о

47

с ядром К ( у, w) = exp f-20[(i> - 0,5)2 + (у - 0,5)2] },

0<u, w < 1; K(v9w) = 0, (u,w)^ [0, 1] X [0, 1].

Точное решение выберем в виде

z(s ,0 = ((exp { -(s - 0,3)2/0,03) + exp {-(s - 0,7)2/0,03})/

/ 0,955040800- 0,052130913) X ехр{-(Г - 0,5)2/0,03}.

Зададим размерность сеток щ = п2 = 32, уровни погрешностей 5 2 = = 6,3 X 10~7, Л2 = 3,7 X 10"11. Результаты приведены на рис. 1.5.

§ 8. Нелинейные некорректно поставленные задачи

При решении нелинейных некорректно поставленных задач возникает ряд трудностей не только вычислительного характера. Основные утвержде­ ния и теоремы § 1 существенно используют свойство линейности операто­ ра А. Для нелинейных операторов аналогичные результаты получаются с использованием схемы компактного вложения.

Подробное рассмотрение методов решения нелинейных некорректных задач не входит в рамки данной книги, и мы ограничимся описанием двух подходов к решению нелинейных некорректных задач.

Как и прежде, будем рассматривать уравнение

Az = и, z e z , и е и .

Пространства Z и U будем считать нормированными, а оператор Л: Z-+U— взаимно однозначным и непрерывным. Возмущенные операторы A h также

функция при h > 0, у > 0, монотонно неубывающая по первому аргумен­ ту, неотрицательная и такая, что ф(Н, у) => 0 при h -+0 равномерно по у на любом отрезке [0, С] .

Пусть V - взаимно однозначный оператор, действующий из гильберто­ ва пространства X в Z. Пусть V усиленно непрерывен, т.е. переводит слабо сходящиеся последовательности в сильно сходящиеся. Например, если X компактно вложено в Z, то V может быть оператором вложения. Пусть D — замкнутое выпуклое множество ограничений задачи, DQX.

причем вместо и и А заданы их приближения. Оператор новой задачи А V вполне непрерывен и взаимно однозначен [29].

Рассмотрим экстремальную задачу: найти

48

Очевидно, что множество Хп непусто, так как содержит по крайней мере такую точку х , что Г = Кх. Следовательно, эта задача эквивалентна задаче: найти

infllxjl , (41)

* е х п о s (о, R)

где 5 (О, R) —замкнутый шар в пространстве X с центром в нуле и радиу­ сом R = Их II. Для т°го_чтобы доказать разрешимость задачи (41) достаточ­ но показать, что Х^П S (О, R) —слабый компакт в Л', а далее воспользо­ ваться тем, что выпуклый непрерывный функционал / (х) = II х II в гиль­ бертовом пространстве X слабо полунепрерывен снизу, и применить теоре­ му Вейерштрасса [33]. _

J1 е м м а 9. Множество Xn DS (О, R) есть_слабый компакт в X.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Множество D П 5 (О, R) непусто и ограничено, а пространство^ гильбертово, поэтому множества DH S (0,/?) и, следова­ тельно, Хц П 5_(0, R) относительно слабо компактны. Докажем, что мно­ жество Хц П S (О,/?), слабо замкнуто. Пусть последовательность { х п} , хп £ Хп П 5 (0, /?)_слабо сходится к x*G X. Так как Хп П 5 (О, R) QDC\ П 5 (О, /?), a D П 5 (О, R) выпукло и замкнуто, то х*€ DC* S (О,/?). Из соотношения

IIAh Vx*~ue II = WAh Vx* - A h Vx„+Ah Vx„ - u 6 И< < 6 + ф(Н, II Vx„ II) + \\Ah Vx* - A h Vx„ II,

используя усиленную непрерывность операторов К и AV и непрерывность фф, у) по второму аргументу, после перехода к пределу получим

49

II УхПк Иограничена: 0 < II Ух„к II <С. Переходя к пределу при к-*00 и поль­

зуясь свойствами функции ф(И,у) и усиленной непрерывностью оператора А V, получим

лиженного решения как решения экстремальной задачи (40) обеспечивает сходимость последовательности регуляризированных приближений к нор­ мальному решению.

Обобщенный метод невязки к форме решения задачи (40) впервые

II ua - ~и II < 6, i f G A VD, задача (40) не является, вообще говоря, разре­ шимой, поскольку множество Хп может быть пустым.

Для построения приближенных решений некорректно поставленной задачи в случае нелинейного оператора так же, как и в § 1, может быть применен функционал М01. Впервые метод регуляризации для решения нелинейных задач с использованием сглаживающего функционала был применен в работах [167, 168, 182]. Рассмотрим вопрос о выборе пара­ метра регуляризации в нелинейных задачах при условии, что оператор А известен точно. При этом будем рассматривать регуляризатор конкретного вида. О других способах задания регуляризаторов в сглаживающем функ­ ционале при решении нелинейных некорректных задач см. [178].

50