книги / Численно-аналитические методы решения задач дифракции акустических волн на абсолютно твёрдых телах и оболочках

1.4. Уравнения общей трехмерной теории анизотропных оболочек 31

Контравариантный базис R а (М) определяется следующим образом:

Компоненты тензора обратного преобразования А -1 при па­ раллельном переносе из точки М е S в точку MQ е So опреде­ ляются следующими соотношениями:

А?а = (1 - Ы )-1 (1 - к2( Г 1 € - С Ь^бР-ЬР . (1.4.16)

При С = О А = I, где I — единичный тензор.

Таким образом, в точке М € G тела оболочки, заданной радиусом-вектором (1.4.9) при условии (1.4.12), существуют два базиса пространственной системы криволинейных координат (С*>С2>0> связанные линейным преобразованием А, причем базис R a , п является голономным базисом данной системы ко­ ординат, а базис ra, п — неголономным.

Определим метрический тензор касательной плоскости

Т(М), М i So:

g = g af}R “ R / = 6?КаЩ = ё а/3к ащ ,

(1.4.17)

ga/3 — Ra ' R/3, g aP = R a - R P.

Компоненты метрического тензора g ajз(М) могут быть запи­ саны в неголономном базисе ra следующим образом:

соответственно, определитель метрического тензора g имеет вид

g = a det2 А'@. = a (l - ( k \)2 (I - (к 2)2 =

= а 1 - 2 (Н + ( 2К , (1.4.19)

где Н = — средняя кривизна поверхности So, К = det ba — гауссова кривизна So- Соответственно компоненты тензора об­ ратного переноса могут быть записаны следующим образом:

(1.4.20)

g = ^ r = 1 - 2 (Н + ( 2К. у/а

Лицевые поверхности S± оболочки G в общем случае пере­ менной толщины 2h = 2h(Mo) в соответствии с (1.4.9) задаются

Согласно (1.4.3), (1.4.5), (1.4.21) вектор единичной нормали к лицевой поверхности оболочки S± записывается в виде

п ± = 1 + g aPdah±dph±, h± = h+ \/h - .

Дифференциальные и интегральные операторы в неголономном базисе. Для построения уравнений в системе коорди­ нат 0 £*£2С необходимо определить градиент вектора и дивер­ генцию тензора второго ранга в используемом базисе [22, 23, 6, 7, 108, 110, 67]. Оператор «V», как вектор [92], в точке М e G записывается следующим образом:

Здесь и далее Va — ковариантная производная компонентов тензора в метрике Т ( M Q) , M Q е S Q. Здесь и далее для полиадных произведений вида ui ® U2 ® ... ® ига знак «®» условно опущен.

Таким же образом определяется дивергенция тензора второго ранга s = а а/3гагр + 2сг“^га п + rr^im :

Интеграл от вектора u по подмножеству Gz = [h-,h+\ E Ж определим, используя свойство независимости неголономного

Здесь (1.4.28) — уравнения движения, (1.4.29) — кинематиче­ ские соотношения, (1.4.30) — физические соотношения для ани­ зотропной упругой среды, Vi — ковариантные компоненты векто­ ра скорости, £ij — компоненты линейного тензора деформации, dt£ij — компоненты тензора скорости деформации, (1.4.32) — на­ чальные условия, (1.4.33) — геометрические краевые условия, за­

Запишем систему уравнений трехмерной задачи теории упру­ гости в системе криволинейных координат, связанной с базисной

h = h (M Q) = h+{Mo]2 h- {Mo),

h= h(M 0) = h+{Mo)~ h- {Mo).

Сучетом условия невырожденности преобразования приве­ дем начально-краевую задачу (1.4.35)—(1.4.41) к виду, содержа­ щему только положительные целые степени координаты z.

A = \ - 2 H h + K h 2, B = H - h K .

Таким образом, трехмерная начально-краевая задача теории упругости записана в базисе га ,п, не зависящем от безразмер­ ной нормальной координаты z, что дает возможность применить

1.4. Уравнения общей трехмерной теории анизотропных оболочек 37

к уравнениям (1.4.48)—(1.4.53) и краевым условиям (1.4.42), (1.4.45), (1.4.46) проекционный метод приведения к системе дву­ мерных задач.

Общая схема применения метода Галеркина. Переход от трехмерной начально-краевой задачи теории упругости (1.4.48)- (1.4.53) к двумерной начально-краевой задаче теории оболочек относительно тензорных функций, определенных на базисной по­ верхности S0, основан на проекционном методе Галеркина [140] в следующей формулировке.

Исходная начально-краевая задача в криволинейной системе

Здесь и —тензорная функция на множестве [0, оо) х 5о х [—1,1],

= Н[—1,1] скалярных функций переменной г со скалярным про­ изведением

Здесь и далее индексы, заключенные в круглые скобки, про­ бегают значения 0 ,1 ... оо всюду, где не оговорено иначе. Также в пространстве Н[—1,1] в силу его самосопряженности суще­ ствует базис взаимный p(fcp Метрика и норма в вектор­ ном пространстве Н[—1, 1] порождены скалярным произведением и определяются с помощью метрического тензора

где Cz — линейный оператор в пространстве Н[—1,1], Ст — ли­ нейный оператор в пространстве функций точки MQ е SQ и вре­ мени t.

G H[—1, 1], 1Z{Lz) G H [—l , I]. Определим образы базисных функ­ ций р(*.) и взаимных им р ^ :

Оператору Cz (1.4.58) соответствует тензор L, определяемый проекцией iy*.) на базис р ^ :

а его матрица в базисе р^) задается следующим образом:

При замене базиса компоненты операторов (1.4.60, 1.4.62) изме­ няются по ковариантному или контравариантному закону.

Предположим, что все тензорные функции, заданные в базисе га ,п, покомпонентно интегрируемы с квадратом по множеству [—1,1] в соответствии с правилом (1.4.26). В этом случае для их компонентов, как скалярных функций, существуют разложения Фурье:

и^кЦ г ,м 0) = и{ (t,M0,z) ,p{k)(z)

2

a ij(k) (t , M0) = a ij (t , M0, z ) , p{k){z)

Тогда вектор-функция u или тензорная функция s могут быть записаны в виде

u = u (m)p{m),

(1.4.65)

Здесь u(m), s(m) — векторы и тензоры, определенные на поверхности So, или «тензоры поверхности» [22]. Очевидно, в смысле (1.4.65) и и s являются векторами в линейном пространстве Нм(), и в случае линейного преобразования базиса Р(т ) по ковариантному закону компоненты вектора и(т\ s

1.4. Уравнения общей трехмерной теории анизотропных оболочек 39

преобразуются по контравариантному закону:

(1.4.66)

(т) (0 _ ф ) %) Р(п) = V )

Тензоры и векторы поверхности могут быть заданы и ковариантными компонентами в контравариантном базисе р(т ) про­ странства Н Не­

(1.4.67)

соответственно линейный оператор (1.4.58) может быть за­ писан для контравариантных компонентов вектора поверхности в пространстве Нм0 в следующем виде:

или для ковариантных компонентов вектора поверхности в про­ странстве Н*щ в виде

где Ст — линейный оператор в пространстве функций точки MQ поверхности £0 и времени t над тензорными коэффициентами Фурье функции и или функции s.

Редукция трехмерной начально-краевой задачи на основе метода Галеркина. Пусть все векторные и тензорные функции задачи в неголономном базисе га ,п определены в виде (1.4.65):

Коэффициенты Фурье в (1.4.70) являются тензорами поверх­ ности So, их компоненты определяются соотношениями вида (1.4.64). Аналогично представим главный вектор внешних сил