книги / Численно-аналитические методы решения задач дифракции акустических волн на абсолютно твёрдых телах и оболочках

В процессе взаимодействия положение каждой материальной точки М € Gj определяется законом движения [75]:

R = R £•\,t = R £j,0 + w £j,t , w = wlei, (1.1.4)

где w — вектор перемещения. Для определения закона движения (1.1.4), а следовательно, и вектора w необходимо ввести матема­ тические модели движения материальных тел G/. Далее будут рассматриваться линейные модели, задаваемые операторами £ 7:

k = 1, 2,...

В линейных задачах механики сплошной среды вектор пере­ мещения w 7 материального тела Gj и оператор (1.1.5), задаю­ щий закон движения, могут быть записаны в виде суммы:

лютно твердого; £^ — оператор, задающий движение абсолютно твердого тела; и7 — вектор перемещения за счет деформации сплошной среды, а соответствующий ему оператор CQ определя­ ется моделью среды.

В рамках рассматриваемого далее класса задач положим, что движение полуограниченного материального тела Go, как абсолютно твердого, отсутствует (wlp = 0), и закон движения задается оператором CQ, описывающим деформирование среды.

с главными центральными осями тела G\ в недеформированном состоянии [8, 18]. Далее используем сокращенное обозначение оператора С\, = £ т .

22 Гл. 1. Постановка задач дифракции

рости вращения со и псевдовектор углов Эйлера а = (7 , ?/>,#) [8] (см. рис. 1.1):

здесь F и М — соответственно главный вектор и главный момент внешних сил, приведенных к центру масс С тела G \.

Уравнениям движения абсолютно твердого тела (1.1.7) ста­ вятся в соответствие начальные условия. В рассматриваемом классе задач начальные условия — однородные, соответствующие состоянию покоя центра масс С тела G \ в начальный момент времени:

В задачах взаимодействия двух материальных тел Go и G \ векторы F и М являются результирующими сил взаимодействия тел по поверхности раздела П = GQ U Gi, которую необходимо задать радиусом-вектором рп в связанной с центром масс С тела G\ системе декартовых координат С у ' у 2у2>. Будем считать, что координаты yi связаны с криволинейными координатами £* регулярными отображениями:

В этом случае поверхность П параметризуется следующим образом:

где еj — базисные орты декартовой системы координат С'у1у2у3. Общая формулировка краевых условий на поверхностях Па материальных тел при различных условиях контакта приведена

вкнигах [103, 44, 45].

Врассматриваемом ниже классе задач о дифракции неста­

ционарных волн, распространяющихся в акустической среде Go

и взаимодействующих с телом G\, контакт тел происходит по всей поверхности П, граничные условия линейны и формулиру­ ются относительно вектора полной скорости (1.1.4) следующим образом:

где п —вектор единичной нормали к П. Условия (1.1.12) имеют смысл условий непротекания акустической среды сквозь поверх­ ность П.

Начально-краевые задачи динамики деформируемых матери­ альных тел Go, G 1 имеют следующий общий вид:

Здесь f^, ф7 — векторы объемных и граничных возмущений. Кон­ кретный вид операторов CQ в (1.1.13) и граничных операторов В1 в (1.1.13) определяется моделью материального тела G/. Далее ограничимся рассмотрением в качестве G\ упругих оболочек и в качестве Go — акустической среды. Так как область Go является полуограниченной, то к граничным условиям (1.1.15) необходимо добавить условия ограниченности решения на беско­ нечности:

1.2. Уравнения движения акустической среды

Рассмотрим баротопную модель идеальной жидкости, спра­ ведливую при пренебрежимо малом теплообмене [50]:

Здесь (1.2.1) — уравнение движения, (1.2.2) — уравнение нераз­ рывности, v — вектор скорости жидкости, р — плотность жидко­ сти, р — давление, t — время; символом « 0» обозначено прямое произведение тензоров.

Определяющее уравнение модели идеальной жидкости следу­ ет из (1.2.3) и записывается в форме

При адиабатическом процессе скорость звука является следую­ щей функцией плотности:

где со — скорость распространения звука в невозмущенной сре­ де, к — показатель адиабаты. Строго говоря, процесс распро­ странения ударной волны в жидкости не является обратимым

но [50], что приращение энтропии является пренебрежимо ма­ лым, соответственно, процесс с достаточной степенью точности можно считать изэнтропическим.

Модель (1.2.1), (1.2.2), (1.2.6) является нелинейной. При рассмотрении установившегося движения среды с параметрами vo = 0, р = ро, р = Ро и некоторого возмущенного движения в его окрестности, характеризуемого малыми величинами при­ ращений |<5v| «С со,5р <С ро,8р < ро, с учетом баротропности процесса приходим к следующей линейной модели движения среды [50]:

Здесь и далее используются обозначения р = Sp,v = Sv. По­ лученное линейное приближение (1.2.6), (1.2.7) модели (1.2.1), (1.2.2), (1.2.6) хорошо описывает распространение слабых (аку­ стических) волн с перепадом давления на фронте до 10 МПа для воды и 7 • 10_3 МПа для воздуха [151].

Система (1.2.6), (1.2.7) эквивалентна любому из следующих дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка относительно давления р или вектора скорости v [91]:

где Д = V • V — оператор Лапласа.

Вслучае потенциального движения акустической среды [91],

т.е. при

вектор скорости v допускает представление в форме

где р — потенциал скорости, удовлетворяющий волновому урав­ нению

при этом давление р связано с потенциалом скорости р соотно­ шением

Таким образом, движение акустической среды описывается уравнением (1.2.12) и соотношениями (1.2.11), (1.2.13).

Введем безразмерные координаты и время

и безразмерные параметры среды

Здесь L — некоторый характерный линейный размер, т а — по­ казатель, определяющий размерность криволинейной координа­ ты

В результате система (1.2.12), (1.2.11), (1.2.13) с учетом (1.2.14) приводится к безразмерной записи:

Здесь и далее точками обозначенодифференцирование по безразмерному времени т, значки безразмерных величин опуще­ ны.

Уравнению (1.2.16) ставятся в соответствие начальные усло­ вия, в случае начального состояния покоя — однородные условия вида (1.1.14):

и краевые условия на поверхности раздела сред П : С = 0 в об­ щем виде (1.1.15):

Более подробно постановка краевых условийзадачи дифракции акустических волн на твердом или деформируемом теле будет рассмотрена ниже.

В силу неограниченности области Go, занимаемой акустиче­ ской средой, к условию (1.2.20) необходимо добавить условие ограниченности потенциала скорости на бесконечности в виде (1.1.16):

1.3. Уравнения движения абсолютно твердого тела

Динамика абсолютно твердого тела определяется уравнения­ ми движения центра масс С относительно неподвижной системы координат Ож*ж2ж3 и вращательным движением относительно

где m и J — масса и тензор инерции; со — вектор угловой скоро­ сти вращения связанной системы координат; V c — вектор скоро­ сти точки С\ F и М —главный вектор и главный момент, при­ веденные к точке С. Далее предположим, что оси Су *являются главными центральными осями G\.

Положение связанной системы координат С у1?/2?/3 относи­ тельно неподвижной системы Ож1®2®3 определяется вектором

U c = Utcei, а = ( 7 ,ф,в) 1 ,

где С„(а) и Сш(а) — матрицы перехода от декартова базиса е* неподвижной системы координат к декартову базису е* подвиж­ ной системы. Компоненты матриц имеют следующий вид [8]:

Преобразование C v(a) связывает координаты точек в непо­ движной и связанной системах координат [8]:

Уравнение поступательного движения связанной системы ко­ ординат Суфу2у3 (1.3.1) в задачах взаимодействия абсолютно твердого тела G\ с акустической средой Go можно также за­ писать относительно вектора U c перемещения точки С в непо­ движной системе координат О х 1х 2х 3:

Дифференциальному уравнению второго порядка (1.3.7) необходимо поставить в соответствие начальные условия на вектор перемещения U c:

Уравнения движения (1.3.1) являются нелинейными. Так же, как и при описании движения сплошной среды, модель движения абсолютно твердого тела допускает линеаризацию при рассмот­ рении возмущенного движения в окрестности некоторого уста­ новившегося движения V®,(D° при условии малости возмущений 8V c,8(o. Суммарные параметры в таком случае имеют вид

В силу малости приращений их произведениями можно пре­ небречь и привести уравнения движения (1.3.1) к следующей записи:

т + За х V°c + ю° х 8V C = 8F,

(1.3.10)

J • ЩА. + 8(0 х J • о0 + со0 х J • 8(0 = с>М. dt

Положение связанной системы координат С у ху2у3 относи

тельно неподвижной системы О х 1х 2х 3 в этом состоянии опре­ ет

деляется углами Эйлера а0 = (7о,^о,^о)Т и радиусом-вектором U° = U*°ei точки С.

а линеаризация кинематических соотношений (1.3.2) приводит к следующему результату:

^ = а0 • V c, ^ = С Ш а0 •«). (1.3.13)

Здесь и далее символ S будем опускать.

Уравнениям (1.3.12)—(1.3.13) соответствуют начальные усло­

1.4. Уравнения общей трехмерной теории анизотропных оболочек

В данном параграфе сформулирована модель произвольно высокого порядка анизотропной оболочки, учитывающая трех­ мерный характер напряженно-деформированного состояния. По­ строение модели основано на представлении дифференциальных операторов и определенных интегралов в неголономном бази­ се пространственной системы координат, связанной с базисной поверхностью оболочки, и последующем применении проекци­ онного метода Галеркина для перехода от исходной трехмерной начально-краевой задачи к системе двумерных краевых задач.

Описание геометрии оболочки. Оболочку, занимающую область G с Ж3, ограниченную поверхностью dG = S F U S B , где S F — лицевые, S B ~ боковые поверхности оболочки, будем рассматривать как некоторую окрестность базисной поверхности SQ с Ж3. Базисная поверхность So задается радиусом-вектором г точки Мо~.

V А/0 € £0 г (М0) = г £‘ ,£2 = X 1 £*,£2 еь * = 1, 2, 3,

(1.4.1)

1.4. Уравнения общей трехмерной теории анизотропных оболочек 29

Здесь и далее, если не указано иначе, латинские индексы пробегают значения 1,2,3, греческие индексы — значения 1,2, символом «х» обозначено векторное произведение векторов.

Множество всех касательных плоскостей Т (М0), MQ € So образует касательное расслоение поверхности So- Введем метри­ ческий тензор а касательной плоскости Т (MQ):

Здесь га = га (MQ) — векторы контравариантного базиса на плос­ кости Т (MQ).

Ограничимся далее поверхностями, удовлетворяющими усло­ вию непрерывности частных производных радиуса-вектора:

даг с 1, С2 б С (1) р 5).

Введем вектор единичной нормали [78]:

Правило дифференцирования вектора п задается соотноше­ ниями Вайнгартена [78]:

ba, baj3 — компоненты тензора кривизны So'.

(1.4.7)

ba/3 = - д ап ■Гр, b@= —дап • г13.

T l p — символы Кристоффеля II рода, определенные в точке M Q.

Исходя из (1.4.9) в каждой точке М поверхности S, отстоя­ щей от So на расстояние £, может быть введена касательная плоскость Т(М) с локальным базисом R а(М):

R a(M) = R a с 1, С2, С = d aR С1,С2,С = A f r p с 1, С2 •

(1.4.10) Здесь А'а- — компоненты несимметрического тензора парал­ лельного переноса вектора из точки MQ € SO в точку М е S

вдоль прямой, заданной вектором нормали п [22, 23]:

Тензор А задает линейное преобразование векторов базиса при смещении вдоль нормали п. Преобразование вырождается при

рассматривать оболочки максимальной толщины, не превышаю­ щей минимального радиуса кривизны базисной поверхности SQ.