книги / Численно-аналитические методы решения задач дифракции акустических волн на абсолютно твёрдых телах и оболочках
..pdf5.3. Сходимость разностных схем |
131 |
функции и(£, т) в ряд Маклорена в окрестности точки £ =
т = Тк, |
ii € |
, Тк € Шк определим погрешность 8 ^ : |
||
|
^ д ти(С,4 |
т) - С (0 • |
т) + В (0 -Й ^ и (£ , г); |
|
к(л) — |
12 |
|
|
20 |
в; |
|
|
|
|
(5.3.14) Следовательно, краевой оператор имеет погрешность аппрок симации /г|<9^и(£, т ) /20; при условии ограниченности третьей производной в краевых точках (—£_,£+) погрешность составляет
8(/г) „ ^ |
SUP 5r u (C, т) |
(5.3.15) |
Погрешность оператора Lh [u]fc во внутренних узлах сетки определяется выражениями, зависящими от сеточных характе ристик hT и h£. При этом связь шага по времени hT с шагом по пространственной переменной h^ определяется числом Куран-
h2T = r2h\. |
(5.3.16) |
|
В этом случае погрешность может быть оценена по норме |
||
(5.3.13) следующим образом: |
|
|
S(fc)F k O | ^ s u p ^ u (£,r) |
+ ^ s u p C ({)-#u(C ,T ) + |
|
i ^ s u p |
B ( ( ) '^ u ( ( ,r ) |
. (5.3.17) |
Следовательно, при ограниченных третьих и четвертых производных искомой функции и и ограниченных коэффи циентах уравнения А, В, С дифференциальный оператор С начально-краевой задачи (5.1.8)—(5.1.10) аппроксимируется разностным аналогом (5.3.10) с порядком погрешности /г|. При этом для разностной схемы «крест» условие устойчивости
Куранта-Фридриха-Леви |
выполняется при числе Куранта |
r < 1, т. е. при достаточно |
малых г данная явная схема будет |
устойчивой и, следовательно, сходящейся.
Исследование устойчивости явной схемы на пятиточеч ном шаблоне методом гармонического анализа. Для доказа тельства сходимости решения разностного аналога (5.3.10) к ре шению начально-краевой задачи (5.1.8)—(5.1.10) при стремлении сеточных характеристик hT и к нулю, кроме аппроксимации, необходимо исследовать устойчивость разностной схемы.
5*
132 Гл. 5. Построение схем численного решения задач
Устойчивость схемы «крест» для волнового уравнения й = = а2и" хорошо изучена [36, 73]. Схема «крест», как и все явные схемы, условно устойчива при условии
где г — число Куранта, содержащее сеточные характеристики и характеристики переноса возмущений.
Исследуем устойчивость явной схемы (5.2.8)—(5.2.11) для волнового уравнения на пятиточечном по пространственной пе ременной £ шаблоне (рис. 5.1,6). Запишем схему в следующем виде:
u j 112uJ + u j- 1=
= J_ _ uJ+2 + 16uJ+1 - 30uJ + 16uJ_! - u j_2 . (5.3.18)
Подставим в (5.3.16) одну из гармоник разложения Фурье сеточных функций по собственным функциям соответствующей сеточной задачи Штурма-Лиувилля
и к = XJqk exp {iXnij), |
(5.3.19) |
где U qk — амплитудная часть гармоники с размерным множи телем U и коэффициентом qk, a <pn (€j) = exp (*A„£j-) — фазо вая часть гармоники, содержащая собственные значения задачи Штурма-Лиувилля. При Ага £ Ж, £j £ Ж |exp(*A„£j-)| = 1, и усло вие устойчивости по фазовой части гармоники |<^га| ^ 1 всегда выполняется.
Таким образом, из (5.3.19) видно, что для устойчивости раз ностной схемы коэффициент перехода q должен удовлетворять условию
|9К 1. |
(5.3.20) |
Подставляя (5.3.17) в (5.3.16), получаем
U exp (iA„£j) qk+x - 2 q k + qk~x =
= -j^U<7fcexp(*Ara£j) [- exp (2iXnh^) + 16 exp (iXnh^) +
+ 30 + 16exp (—iXnh^) —exp (2iXnh^)]. (5.3.21)
Используя формулы Эйлера
exp (±*Ara£j) = cos (A„£j) ± * sin (Ara£ j),
5.3. Сходимость разностных схем |
133 |
получим:
[—ехр (2i \ nh{:) + 16 exp (iXnh$) + 30 + 16 exp (—i \ nh$) —
- exp (2iXnh^)] = | m\ (4 - m2) ,
m i = sin A |
2 |
m2 = cos2 A |
|
|
откуда следует оценка m i,m 2:
0 ^ {m i,m 2} ^ 1.
Таким образом, из (5.3.21) получаем следующее квадратное уравнение относительно q:
q2 - 2 q 1 - О (4 - m 2) r + 1 = 0,
корни которого равны
<71,2 = (1 —2m 3r) ± |
|
2 |
|
( l - 2m3r) - 1; |
|||
= |
mi (4 - m 2) |
r \ ^ |
^ - 4 |
----- , |
0 ^ |
m 3 ^ |
|
В соответствии с (5.3.20) имеем:
- 1 < ( 1 - 2 ш 3г )± |
(1 - 2 m 3r )2 - 1 ^ 1. |
(5.3.22) |
Правое неравенство в (5.3.22) выполняется при любых зна чениях m3r € R+ и {0}. Левое неравенство (5.3.22) представим в одной из двух форм записи:
± (1 - 2m3r)2 - 1 ^ -1 - (1 - 2 т 3г ) ; |
(5 3 23) |
±( т 3г —1) т 3г + т 3г —1.
Далее рассмотрим четыре возможных случая.
1. Для знака «+» в (5.3.22) выполнено условие п п 3 ^ 1. Тогда
(m3r —1) [m3r —m3r + 1] ^ 0, m3r + 1,
т. е. получили то же условие, что и предполагалось изначально. При этом условии неравенство (5.3.22) может не выполняться.
134Гл. 5. Построение схем численного решения задач
2.Для знака «+» в (5.3.22) выполнено условие гтз ^ 1.
Вэтом случае выполняются следующие неравенства:
—(1 —т зг ) т з г ^ —(1 —т зг ) = г2 (1 —т з г ) , |
|
|||
(1 —т зг ) т з г |
^ г (1 —т з г ) , |
(5.3.24) |
||
(1 —т зг ) т з г |
^ |
—(1 —т з г )2 , |
||
|
||||
т з г |
^ |
1, |
|
|
т. е. предположение оправдалось, при этом неравенство (5.3.22) верно.
3. Для знака «>» в (5.3.23): |
|
|
— (т з г —1) т з г |
^ т з г —1, |
(5.3.25) |
т з г —1 ^ 0 , |
т з г ^ 1. |
(5.3.26) |
4. Для знака «<» в (5.3.23) и m^r ^ 1 неравенство (5.3.23)
не выполнено. Таким образом, остаются неравенства (5.3.24), (5.3.26), для которых условие устойчивости (5.3.22), следова
тельно, и условие (5.3.18) выполнены. Поскольку 0 ^ |
m3 ^ 4/3, |
из условия (5.3.26) имеем: |
|
1, |
(5.3.27) |
Таким образом, сравнение условия устойчивости г ^ 1 для трехточечного шаблона и (5.3.27) для пятиточечного шаблона показывает, что применение последнего накладывает более жест кие ограничения на сеточные характеристики, что вызвано уве личением точности и усложнением по сравнению с трехточечным шаблоном.
5.4. Аппроксимация внешнего давления на оболочку
Пусть в начальный момент времени г = 0 акустическая волна касается поверхности оболочки с направляющей Г в точке А (рис. 5.2).
Суммарное давление на смачиваемой поверхности оболочки П с направляющей Г описывается соотношением р = р*+р\ + Р2, где р* — давление в падающей волне, р\ — давление в отражен ной абсолютно жесткой неподвижной оболочкой волне, Р2 — давление в волне, излучаемой упругой оболочкой. Составляющие давления р\ и р2 определяются с помощью переходной функции
136 Гл. 5. Построение схем численного решения задач
Запишем уравнения движения (5.1.8) с учетом (5.4.4), (5.4.5) в следующей форме:
д2Ти(^,т) = £(£)и(£,т) + G(£,T —t ) - d tu(£,t)dt + р*. (5.4.6)
о
G(£,t) в (5.4.6) — матричное ядро интегрального оператора, для модели оболочки первого порядка (5.1.4)—(5.1.7) с четырьмя обобщенными перемещениями u , w , x , w имеющее вид:
0 |
0 |
0 |
0 |
|
G ( E t ) = 0 |
|
0 |
(2Л)- 1<?р(С.*) |
/547) |
0 |
(Jh)-lGP(tt) |
о |
(2J)-lGP(i,t) |
|
Интегральный оператор в (5.4.6) аппроксимируем квадра турами первого порядка методом «правых» прямоугольников:
Тр |
|
|
к |
1T3+1 |
- t) |
dt = |
|
G(£t,Tfe - t ) |
• v (£j, t) dt = |
|
G ( £ i , T k |
||||
|
fe-i |
i=i |
|
fe-l |
|
||
|
|
|
J + 1_ |
|
|||
—h-r |
G ((*, тк |
т-j+l) |
|
|
|||
|
i=> |
|
|||||
|
J'= I |
|
|
|
(5.4.8) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
G i ' k - j -l = G |
( b , h T( k - j |
- |
1)), |
vf+1 = |
0tu(fc,i)|*=T.+I • |
||
Делая |
в (5.4.8) замену |
в |
индексе суммирования i = |
* + 1, |
|||
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
Q h u (h) = |
U*к - и.к— 1 |
|
|
|
|
|
|
Q h |
hT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тк |
|
|
|
fa |
|
|
|
G(Zi,Tk - t ) - v ( £ i , t ) d t |
= hT |
Gitk-j • v j . |
(5.4.9) |
|||
|
о |
|
|
|
*=2 |
|
|
Окончательная форма записи дискретного конечно разностного аналога системы уравнений движения имеет вид
4 u (fc) - Gfcu<fc>= p fc, |
(5.4.10) |
где р —вектор правых частей, зависящий от давления в падаю щей волне р* и отраженной волне р\ и для сдвиговой модели
Г л а в а 6
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ
АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН НА УПРУГИХ
ОБОЛОЧКАХ
В шестой главе на основе изложенного выше аппарата по верхностных переходных функций (2.3.41), (2.3.42) и интегродифференциальной формы уравнений движения оболочки в жид кости исследуется нестационарное взаимодействие акустической волны с закрепленными упругими оболочками средней толщи ны. В первом и втором параграфах главы в плоской постанов ке задачи рассмотрена дифракция плоских волн с произволь ной ориентацией нормали к фронту и цилиндрических волн с произвольным расположением источника на оболочках в фор ме криволинейного цилиндра. В третьем и четвертом парагра фах исследованы осесимметричные задачи о дифракции плоских и сферических акустических волн на оболочках вращения.
6.1. Плоские задачи о дифракции косых акустических волн на криволинейных цилиндрических оболочках
Предположим, что плоская акустическая волна с фронтом, нормаль к которому составляет угол $ с осью О х 1 декартовой системы координат, в начальный момент безразмерного времени т = 0 касается смачиваемой поверхности П оболочки в форме криволинейного цилиндра с образующей Г в некоторой точке А. Давление на поверхности деформируемой оболочки определяется соотношением (1.5.5), где составляющая д складывается из дав ления р\ в акустической волне, отраженной абсолютно жестким препятствием, и давления р2 в волне, излучаемой оболочкой при нестационарном деформировании. Давление р* за фронтом вол ны, падающей на поверхность оболочки, в системе неподвижных декартовых координат определяется соотношениями
р* х \ т =ро© т- f х г,сц ;
(6. 1. 1)
/ х г,а{ = х 1cos d + £2 sin д + С.
140 Гл . 6. Нестационарные задачи о дифракции волн на оболочках
Константа С определяет положение фронта волны в момент г = 0 и вычисляется с помощью следующей системы уравне
ний [103]: |
|
|
ж1 £0 |
COS$ + ®2 £о |
sin $ + С = 0; |
|
£0 сов^ + Д ж 2 |
(6.1.2) |
d i x 1 |
£0 sini9 = 0, |
где £0 — параметр, соответствующий точке касания А Давлению (6.1.1) соответствует потенциал скорости падаю
щей волны <р*(ж\т) и его первая производная по нормали к по верхности контакта:
|
х \ т |
= - р 0 |
т - f х |
\ д |
+ ; |
(6.1.3) |
drfip* х \т Г1=0 |
= Р0 |
«о cost? + п 2 sin д |
0 |
г —Д |
£^ $ ; |
|
/0 |
£°,^ |
= / |
жг £ 1 |
|
|
(6.1.4) |
|
|
|
||||
Для определения давления в волне, отраженной поверхно стью П абсолютно жесткого препятствия, ставятся граничные условия непротекания (1.1.12) в форме (1.5.3):
d 4 l- p { i , ’n , x ) \ rj=0 = - v*n(£,, т ) , |
(6. 1.5) |
где ж*га(£, т) — нормальный к поверхности оболочки компонент вектора скорости акустической среды в падающей волне:
v m ( £ , r ) |
= - V, • n | v 0== d v V * ( € , V , r ) \ v = 0 . |
(6.1.6) |
С учетом (6.1.4) условие (6.1.6) запишется в виде |
|
|
•у*п(£, т ) = Р 0 |
«0 cos$ + та0sin $ ® т - /0 £°, $ |
. (6.1.7) |
Принимая во внимание (2.4.12), (6.1.4), (6.1.5), получим сле дующее приближенное выражение для давления в отраженной абсолютно жесткой поверхностью П волне, соответствующее ги потезе тонкого слоя:
Р1 £ °, т = -р0 и° cos $ + n2 sin $ С?0 |
С1, 1»? |
(6.1.8) Давление в излученной волне р2, в свою очередь, будет
определяться соотношением: