книги / Численно-аналитические методы решения задач дифракции акустических волн на абсолютно твёрдых телах и оболочках

4.3.Интеграция системы геометрического моделирования SOLID- WORKS и программного комплекса MATLAB в задачах моде­

Светлой памяти

сАнатолия 3^ef>acuMoSula ^ojmkoSa посвящается

Введение

Проблемы нестационарного взаимодействия сплошных сред представляют большой интерес как для фундаментальной науки, так и для ряда областей современной и перспективной техники. Одной из наиболее важных задач является дифракция волн, распространяющихся в жидкой среде, на незакрепленных дефор­ мируемых телах сложной формы. Задачей такого типа, в частно­ сти, описывается поведение подводного аппарата, подверженного действию ударных волн.

В настоящее время в инженерной практике в основном применяются стандартизованные программные комплексы, реа­ лизующие численное решение задач динамики сплошной сре­ ды. В основе используемых алгоритмов, как правило, лежат методы конечных элементов (МКЭ) [28] и конечных разно­ стей (МКР) [29, 90]. Одними из первых использовать стандар­ тизованный пакет прикладных программ на базе МКЭ для мо­ делирования взаимодействия упругих конструкций с идеальной сжимаемой жидкостью предложили N. Akkas и С. Yilmaz [152], представляя жидкость фиктивной упругой средой с равным нулю модулем сдвига. Достаточно подробный обзор численных мето­ дов решения задач нестационарного взаимодействия конструк­ ций с жидкостью приведен в статьях Guruswamy Р. Guru [163], К. и Y. Hori [166], Harridan Fadi [164], M.Wagner [176].

При всей своей универсальности упомянутые численные ме­ тоды обладают заметным недостатком — необходимостью разбие­ ния всей области, занимаемой сплошной средой, на подобла­ сти (конечно-элементную или конечно-разностную сетки). При этом для решения нестационарных задач используются либо прямые методы интегрирования по времени, либо метод разложе­ ния по собственным формам колебаний исследуемой конструк­ ции [13, 30, 31].

К недостаткам численных методов также относится невоз­ можность выявить точное расположение волновых фронтов в случае множественных отражений волн от границ раздела сред. Наличие разрывов в решении требует построения спе­

Д.Т. Чекмарев [11], Н. М. Борисова и В. В. Остапенко [16]). Необходимо отметить, что коммерческие программные

(MSC NASTRAN [170], ANSYS [149]) недостаточно приспособле­ ны для решения задач указанного класса.

Более эффективным является подход, основанный на сов­ местном применении МКЭ для описания деформируемой кон­ струкции и метода граничного элемента (МГЭ) для моделирова­ ния неограниченной жидкой среды, в которой распространяется волна (В. S. Berger, W. Schur [155]). МГЭ представляет собой приближенный способ решения граничных интегральных урав­ нений (ГНУ) линейных статических или квазистатических задач для сплошных сред [15, 17, 141]. Ядрами этих уравнений явля­ ются фундаментальные решения дифференциальных операторов соответствующих задач. Решения нестационарных задач механи­ ки сплошных сред на основе МГЭ строятся с использованием различных конечно-разностных схем по времени [15, 141], при этом применение явных разностных схем накладывает жесткие ограничения на шаг по времени, что существенно снижает эф­ фективность данного метода.

Другой подход к решению нестационарных задач механи­ ки сплошных сред связан с использованием соответствующих фундаментальных решений. Это приводит к гранично-временным интегральным уравнениям (ГВИУ) [141], в которых интегрирова­ ние осуществляется по пространственно-временной области, при этом ядрами ГВИУ являются объемные функции влияния для бесконечной среды. В настоящее время известны аналитические решения для таких функций в случаях акустической, упругой изотропной и ортотропной сред [26, 120, 127, 141]. Для нахож­ дения функций влияния для других типов сред, в частности, вязкоупругих, ряд авторов использует численно-аналитический подход, примером которого является численное определение ори­ гиналов преобразования Лапласа во временной области [46].

Дальнейшее развитие теории ГВИУ приводит к использова­ нию в качестве ядер интегральных операторов функций Грина соответствующей нестационарной задачи для жидкости, удовле­ творяющей заданным краевым условиям на поверхности контак­ та с деформируемым твердым телом [24, 26, 94, 98, 99, 101, 102].

В этом случае основная трудность заключается в отыскании фун­ даментального решения нестационарной начально-краевой зада­ чи, и построение ГВИУ специального типа связано с постановка­ ми и решениями задачи дифракции волн, распространяющихся в жидкости, на криволинейных препятствиях.

Различные аспекты постановки задач о дифракции слабых ударных (акустических) волн на препятствиях канонической формы подробно изложены в работах Э. И. Григолюка и А. Г. Гор­ шкова [51], А. Г. Горшкова и Д. В. Тарлаковского [44], А. Н. Гузя

Рассмотрение ударных волн в акустическом приближении позволяет линеаризовать задачу дифракции [54]. В этом случае основным приемом решения является суперпозиция трех волн в жидкости: падающей, отраженной неподвижным недеформируемым препятствием и излученной движущимся деформируемым препятствием [44, 51]. Соответственно, в линейной постановке задачи достаточно найти фундаментальное решение задачи ди­ фракции волн на неподвижном абсолютно жестком препятствии.

В основе аналитического решения нестационарных задач дифракции акустических волн на жестких преградах лежат

А. А. Залеский, А. И. Зиновьев [153], С. В. Сорокин [172, 173, 174]), обобщенные методы Вольтерра и Адамара, лучевой метод,

канонических криволинейных поверхностей изложена в работах

А. К. Перцева [105], А. Г. Горшкова, А. Л. Медведского, Л. Н. Рабинского, Д. В. Тарлаковского [26].

Эффективность метода ГВИУ значительно выше в том слу­ чае, когда ядра уравнений заданы аналитически. Однако поверх­ ностные функции влияния могут быть найдены в замкнутом виде только для тел канонической формы, граница которых является координатной поверхностью в одной из простейших систем кри­

10 Введение

волинейных координат (полуплоскость, цилиндр, сфера). Для их нахождения используются методы интегральных преобразований Фурье и Лапласа по времени и пространственным координа­ там [26].

В случае тел, ограниченных поверхностью неканонической геометрии, найти аналитическое решение на основе точной по­ становки задачи на сегодняшний день не представляется воз­ можным. В этой ситуации для определения поверхностных функ­ ций влияния в замкнутой форме, как правило, используются системы гипотез, упрощающих формулировку задачи. Данный подход особенно эффективен на начальных этапах взаимодей­ ствия, а также для вычисления интегральных характеристик процесса — главного вектора и главного момента системы сил, действующих на тело [50, 54]. При исследовании движения аб­ солютно твердых тел в жидкости такой результат нередко бывает достаточен для многих инженерных приложений [57].

Для построения приближенного решения задачи дифракции волн на канонических поверхностях препятствий разными ав­ торами использовались гипотезы о несжимаемости жидкости (Б. В. Замышляев и Ю.С. Яковлев [73]), гипотезы плоского, ци­ линдрического, сферического или сфероидального отражения (R. D. Midlin и Н. Н. Bleich [169], Э. И. Григолюк, Л. М. Куршин и В. Л. Присекин [52], А. Г. Горшков [35], Э. Г. Платонов [123],

В. Bedrosian’a и F. L. DiMaggio [154]. Для приближенного опи­ сания дифракции волны на препятствии, ограниченном глад­ кой поверхностью переменной кривизны, А. Л. Медведским и Л. Н. Рабинским была предложена обобщенная гипотеза тонкого слоя [103].

При известных переходных функциях определение парамет­ ров волны, отраженной неподвижным препятствием, сводится

квычислению интегралов типа свертки [39]. Следующим эта­ пом решения задачи является вычисление скоростей и давления волн в жидкости, излучаемых движущимся или деформируемым телом. Решение данной задачи неотъемлемо от определения па­ раметров движения и деформирования тела. В случае дифракции волн на абсолютно твердых телах ГВИУ, построенные на осно­ ве системы гипотез, упрощающих постановку задачи, сводятся

кинтегральным уравнениям движения твердого тела. Ядрами