книги / Цифровая обработка сигналов в измерительной технике

где u0BII = tig — Utxsin a , — U% cos a„ — мгновенное значение суммы высших гармоник сигнала.

Формулы (150), (151) дают явную зависимость погрешностей Д (t/î)

и Д (ÛI) от мгновенных значений сигнала и° и их погрешностей %, и являются исходными для вычисления погрешности коэффициента

мгновенного значения, находим оценку абсолютной погрешности ко­ эффициента гармоник:

дает значительно меньшую величину погрешности и является поэтому значительно точнее оценки по формуле (149). При малых коэффициентах гармоник (kf 1) третьим и четвертым членом в формуле (152) можно пренебречь по сравнению с первыми двумя. Это соответствует тому, что при малых коэффициентах гармоник составляющей результирую­

щей погрешности, вносимой величиной Д ((/?), можно пренебречь и учи­

тывать только составляющую погрешности Д ((/в).

Для измерения коэффициента гармоник с высокой точностью, т. е. с малой относительной погрешностью | ДАrlkr | <£ 1, необходимо вы­

полнение условия 8Çjkt <£ 1. При таком условии можно пренебречь и вторым членом в формуле (152) и получить оценку относительной по­ грешности

В тех случаях, когда погрешности £? являются случайными (на­ пример, за счет погрешностей квантования либо наличия помех), целесообразна оценка погрешности Akv по статистическим парамет­ рам — математическому ожиданию и дисперсии.

При вычислении математического ожидания и дисперсии относи­ тельной погрешности Ak„ будем считать, что величины образуют стационарную, некоррелированную последовательность с нулевым средним значением (если среднее значение величии 19 не равно нулю, то при необходимости можно внести поправку -на систематическую погрешность в величины и9).

Вычислим математическое ожидание относительной погрешности коэффициента гармоник Akv. Используя формулы (150) и (151), нахо­ дим

где 61г = о!иг — относительное среднеквадратичное значение по­ грешности мгновенного значения.

При вычислении дисперсии погрешности коэффициента гармоник D (Akr) можно ограничиться первыми, линейными по %дчленами в фор­ мулах (150) и (151), так как учет следующих членов даст составляющие более высокого порядка по величине дисперсии (при вычислении мате­ матического ожидания ограничиться линейными членами нельзя* так как математическое ожидание этих членов равно нулю). Для вычис­ ления дисперсии абсолютной погрешности величину àkp приближенно запишем так:.

ние величин 1о равно нулю. Тогда дисперсия абсолютной погрешности

D (Айг) = <А/гг) = - ^ 4- 1 ^2 S и°щим +

+ ~ r S M!W»I (A|sM st) cos (a„ — a s) cos (ce0i — a si) —

4.s

çl.sl

S « <A?,Ais> COS K t — a s) J .

Для вычисления сумм, входящих в D (Л6г),вослользуемся стацио­ нарностью и некоррелированностью величин iQ:

вающей как смещение (математическое ожидание), так и дисперсию

В зависимости от относительной дисперсии б |х, числа точек отсчета m и значения коэффициента гармоник kr может оказаться/определяющим либо первый, либо второй член формулы (154). Так, при ô |x

М(ДА,) + V П(ААг) гьг (« д а ? .

Ив том, и в другом случаях для получения высокой точности измерения коэффициента гармоник необходимо обеспечить выполнение условия

«&L « К

Оценим погрешность коэффициента гармоник, вносимую арифме­ тическими узлами.

Если считать, что все вычисления в арифметических узлах выполня­ ются без сбоев, то погрешность этих узлов определяется только по-

грешностью округления результатов, т. е. в конечном йтог’е определя­ ется разрядностью счетчиков. При этом следует руководствоваться сле­ дующим соображением: вычисления должны проводиться с такой точностью, чтобы не загрублять точности измерения, т. е. погрешность вычисления должна быть не больше (желательно меньше) погрешности измерения мгновенных значений исследуемого сигнала. Однако пого­ ня за очень высокой точностью вычислений приводит к чрезмерному увеличению разрядности арифметических узлов и объема перерабаты­ ваемой информации без существенного повышения точности окончатель­ ного результата. Поэтому при вычислении следует иметь в запасе один, максимум два разряда, которые в окончательном результате следует округлить.

При известной относительной погрешности измерения мгновенных значений сигнала (в качестве 0£ следует взять либо 660при оценке по максимуму, либо б£г при статистической оценке погрешности) разрядность входного десятичного счетчика 1Хдолжна выбираться иэ

условия 1Х= 1g (1/66) + 1. Это соответствует объему счетчика 10*' =

=10/ 6£.

Точность, с которой следует возводить в квадрат, и объем счетчика,

Тв котором накапливаются квадраты, будут разными для алгоритмов (142) и (145). Алгоритм (143) не рассматривается, поскольку в нем нужно точное вычисление и задание фазы i|)lf что затруднительно. При реализа­ ции алгоритма (145) объем счетчика квадрата равен (10£r/ô|)2, а его разрядность /2 = 21г — 21g (1//гг), так как величины (и„ — U\xsin aq —

— UiyCùsaq) имеют порядок U1Мак<Л- При реализации алгоритма (142) разрядность счетчиков должна быть = 2/х. При не очень малых

kpразличие в объеме счетчиков /2и 12не очень существенно, но для ма­ лых kp может стать значительным.

Например, при kr = 0,1 % это дает шесть лишних десятичных разря­ дов.

Таким образом, применяя алгоритм (145) при малых ftr, можно существенно уменьшить объем счетчиков по сравнению с алгоритмом (142) либо при фиксированном объеме счетчиков значительно повысить

ностью, меньшей (в' несколько раз или на порядок) относительной по­ грешности 6£г, т. е. при малых kt здесь можно допустить меньшую точнось вычислений.

Таким образом, измерение коэффициента гармоник kr с малой от­ носительной погрешностью ставит (при малых kr) исключительно вы­ сокие требования к АЦП. Необходимую точность АЦП можно опреде­ лить по формулам (152) или (153). Вычислительные узлы и их объемы, разрядность задания sin а и cos а следует выбирать так, чтобы на всех этапах вычислений вносимая ими погрешность была меньше погреш­ ности квантования. Число точек квантования т следует выбирать из условия, чтобы при измерении коэффициента kr влиянием гармоник,, начиная с номера (т — 2), можно было пренебречь.

В табл. 2 приведены методические погрешности для нескольких значений Аг.

Из этой таблицы видно, что методическая погрешность не оказыва­ ет заметного влияния на точность измерения в области малых зна­ чений коэффициента гармоник. Особенно незначительна эта погреш­ ность в пределах Аг до 10 %. Она может оказаться значительно мень­ ше, чем погрешность, вносимая квадраторами при определении Аг по формуле (140). Покажем это. Обозначим относительные погрешнос­

ти вычисления величин U2 и U\ через у и уг соответственно, тогда из

формулы (140) получаем приближенное значение коэффициента гар­ моник

kr = к У \ + {уи * - ъ и ])1 Ш ).

Разложив выражение под квадратным корнем в степенной ряд до линейного члена, найдем

kr = К [1 + (yU2— yxUi)/çzuikrfl•

Абсолютная погрешность измерений, вносимая неточностью вы­

Из сравнения выражений (158) и (159) следует, что методическая погрешность ДАР и погрешность ДАг, вносимая операцией возведения

в квадрат действующих значений, равны при условии у = А*/8. По этой формуле определим погрешность вычисления квадратов,

при которых обеспечивается погрешность измерения Аг, равная мето­ дической погрешности для значений Аг, приведенных в табл. 2. Полу­ ченные значения погрешности у запишем в эту же таблицу. Из таблицы следует, что для обеспечения одной и той же погрешности измерения малых коэффициентов гармоник по точной (140) и приближенной (156) формулам в первом случае необходимо обеспечить исключительно вы­ сокую точность выполнения операции возведения в квадрат (напри­ мер, при Ар = 20 % необходимо у < 0,02 %). Такие точности при реа­ лизации способа на аналоговых элементах вообще не достижимы. При реализации на дискретных элементах указанные точности реальны,

но при этом резко увеличиваются объемы счетных узлов, а следователь­ но, возрастают возможности сбоев в этих узлах и погрешности, вноси­ мые сбоями.

ГЛАВА 5

ЦИФРОВЫЕ ИЗМЕРИТЕЛИ ПАРАМЕТРОВ АМПЛИТУДНО-МОДУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

1.ЦИФРОВЫЕ АМПЛИТУДНЫЕ МОДУЛОМЕТРЫ

Цифровые амплитудные модулометры основаны на измерении максимального 1/шкс и минимального U ma значений модулированного сигнала и вычисления по этим значениям глубины (коэффициента) модуляции по формуле

Максимальное и минимальное значения амцдитудно-модулированного (AM) ‘сигнала могут быть измерены по «выборочным» мгновенным зна­ чениям и способом сканирования.

Измерители коэффициента модуляции по «выборочным» мгновенным значениям

Запишем выражение для AM сигнала

очередно сравнивают друг с другом до момента выделения их макси­ мального и минимального значений:

где ôj и 02—фазовые погрешности выделения моментов', соответствую­ щих максимальному и минимальному значениям напряжения огибаю­ щей.

Суммируя и вычитая М*акс и NMmt находим

В выражениях (162) и (163) ÔJV+ и 6ЛГ_ — относительные методи­ ческие погрешности определения кодов N+ и N -, причем

| W + 1= -J- р (cos Sj — cos S21~ p 16? — б*I /4;

|Ô A 4 = |l - 4 - ( c o s ô 1 + cos ô2) | ~ (Ô? -f- ô|)/4.

Обычно л величина достаточно большая (гг ^ 1), так что | ÛN+ | <£ 1, | ÔAL. | <£ 1 . Поэтому методическими погрешностями в определе­

Амплитуда несущей (в отсутствие модуляции) и коэффициент мо­ дуляции определяются по найденным кодам N+ и ЛГ*,:

В основу построения амплитудного цифрового модулометра поло­ жены соотношения (162) — (165). Структурна^ схема такого модуло­

метра показана на рис. 25 [29J.

Амплитудно-модулированный сигнал и (/) через ВУ поступает на БУ и на потенциальный вход АЦП. Блок управления выделяет момен­ ты времени, соответствующие максимальным значениям напряжения несущей и (tg) и запускает в эти моменты АЦП. Последний преобразу­ ет мгновенные значения напряжения в цифровые коды Мд, которые поступают в ЦК, где они поочередно сравниваются друг с другом до момента выделения их максимального Nmкс и минимального Nma значений. Эти значения вводятся в ЛУ, где они подвергаются цифровой обработке в соответствии с выражениями (162), (163) й (165).

Нижний диапазон измерения коэффициента модуляции р определя­ ется чувствительностью и дискретностью АЦП, причем, чем меньше

амплитуда несущей, тем выше должна быть чувствительность преобра­ зователя Л£/п, которая выбирается из условия

K U n ^ Р (^макс)мни,

где (имакс)мив— минимально возможная амплитуда несущей.

Так, для (х = 0,001 и (U„аКС)ыин = 10 мВ получим Лt/„ ^ 0,01 мВ. Существующие АЦП такой чувствительности не обеспечивают [58, 63], поэтому исследуемый сигнал и ((] необходимо усилить.

Коэффициент усиления усилителя ky следует выбирать с учетом верхнего предела работы АЦП, который у АЦП на полупроводников

Примерно такого же порядка должна быть и дискретность преобра­ зователя, которую позволяют обеспечить известные схемы преобразо­

кие метрологические характеристики.

Рассмотренному измерителю присущ и ряд недостатков: ограни­ ченный верхний предел частоты несущей; ограниченный нижний пре­ дел коэффициента модуляции и амплитуды несущей; наличие методи­ ческих погрешностей за счет нелинейных искажений модулирующего сигнала; сложность схемной реализации. Кроме того, он не обеспечи­

параметров AM сигналов их сканированием, причем возможно равно­ мерное и неравномерное сканирование.

Цифровой модулометр с равномерным шагом сканирования AM сигналов

Способ сканирования основан на измерении максимального и мини­ мального значений AM сигнала с последующим вычислением коэффи­ циента модуляции. В отличие от известных способов это измерение осуществляется сканированием ÀM сигнала на определенных калибро­ ванных уровнях. Суть способа поясняется временными диаграммами (рис. 26) [47].

Пусть .несущая модулируется несинусоидальным напряжением (рис. 26, а). Как известно, глубина модуляции вверх рв и вниз. рн определяется из выражений

где и к.ъ и Uи.в — максимальные положительное и отрицательное значения модулирующего напряжения ии (/); Ucp— среднее значение напряжения.

Напряжения £/Иако и UmB определяют следующим образом. Формируют калиброванное напряжение, диапазон изменения которр*