книги / Сборник задач по аналитической геометрии.-1
.pdfM.„ ДЦ, Мд не лежат на иен, Уравнение определяет сферу с центром
в начале координат |
и |
радиусом, |
равным |
7. |
886. |
is (1: 2; 2) |
к |
||
Ц; 2; ~ 2); 2) на дайной |
поверхности нет такой точки: |
-и (2 ; 1; 2) н |
|||||||
(2; —!: 2): |
4) на данной поверхности нет такой точки. |
887. 1) Пло |
|||||||
скость Oyz; |
2) плоскость |
O x z ; 3) |
плоскость |
О х у , |
4) плоскость, |
па |
|||
раллельная |
плоскости |
O y z |
и лежащая в ближнем |
полупространства |
на расстоянии двух единиц от нее; 5) плоскость, параллельная пло
скости |
O x z |
н лежащая |
в левом |
полупространстве на расстоянии |
||
двух |
единиц |
от нее; |
6 ) |
плоскость, |
параллельная плоскости |
О х у и |
лежащая в нижнем |
полупространстве на расстоянии пяти |
единиц |
от нее; |
7) сфера с центром в начале координат и радиусом, равным 5; |
|||||||||||||||
8) сфера с центром (2; —3; 5) и радиусом, |
равным |
7; |
9) уравнение |
|||||||||||||
определяет единственную |
точку — начало координат; |
10) уравнение |
||||||||||||||
никакого |
геометрического |
образа в |
пространстве |
не |
определяет; |
|||||||||||
1 1 ) |
плоскость, |
которая |
делит пополам двугранный угол между пло |
|||||||||||||
скостями |
O x z , |
O y z и |
проходит в 1, 3, 5 и 7 октантах; |
12) плоскость, |
||||||||||||
которая |
делит пополам |
двугранный |
угол между плоскостями О х и , |
|||||||||||||
О у г |
и |
проходит |
во |
2, 3, |
5 |
и 8 октантах; 13) плоскость, |
которая |
|||||||||
делит |
пополам |
двугранный |
угол |
между |
плоскостями О х у , O x z н |
|||||||||||
проходит в !, 2, 7 н 8 |
октантах; |
14) |
плоскости O x z |
и O y z ; |
15) пло |
|||||||||||
скости |
О х у и O y z ; |
16) |
плоскости |
О х у и O x z : |
17) совокупность всех |
|||||||||||
трех координатных плоскостей: 18) плоскость |
О у г |
п плоскость, па |
||||||||||||||
раллельная плоскости |
О у г |
и лежащая в ближнем по тупространстве |
||||||||||||||
на |
расстоянии |
четырех |
единиц |
от |
нее; |
19) |
плоскость O x z |
и пло |
скость, которая делит пополам двугранный угол между плоскостями
O x z , |
О у г |
и проходит в 1,3, 5 и 7 |
октантах: |
20) плоскость О х у |
и |
||||||||||||
плоскость, |
которая |
делит |
пополам |
двугранный угол между плоско |
|||||||||||||
стями О х у , O x z |
н проходит в 3, 4, 5 и 6 октантах. 889. х2+ |
t f |
- \ - z - = r - . |
||||||||||||||
890. ( х - а ) 2-Mr/-f})- + ( г - у )2 = /■-’. 891. |
у - |
3 = |
0. 8 9 2 .2 г - 7 = |
0. |
|||||||||||||
893. |
2 х + |
3 = |
0. |
894. |
20г/ + |
53 |
- 0. |
895. |
х2 + |
у - |
+ |
г 2 = |
а'. |
||||
896. |
л-2 + у - + г2 = |
а\ |
897 |
х + |
2г = 0. |
898. |
|
|
|
+ |
- | r = |
1. |
|||||
|
у2 |
|
j/2 |
|
— 1. |
|
900. Точки |
Л1,. Mj |
лежат |
на данной |
|||||||
899. — ------+ — - = |
|
||||||||||||||||
|
IO |
|
У |
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линии; точки М:, ЛГ, не лежат на ней. 901. Линии I) и 3) проходит |
|||||||||||||||||
через начало |
координат. |
902. |
1) (3; 2; С) и |
(3; —2; 6) |
(3; 2; 6 ) |
к |
|||||||||||
(—3:2; 6); 3) на данной линии нет такой точки. |
903. 1) Ось |
апликат; |
|||||||||||||||
2) ось |
ординат; 3) |
ось |
абсцисс; 4) прямая, проходящая |
через точку |
|||||||||||||
(2; 0; 0) |
параллельно оси |
Ог; 5) прямая,* проходящая |
через точку |
||||||||||||||
I—-2; 3; 0) |
параллельно Оси Ог; 6) прямая, проходящая через точку |
||||||||||||||||
15; 0; —2) |
параллельно |
оси |
О у ; 7) прямая, проходящая |
через точку |
|||||||||||||
(0; —2; 5) |
параллельно |
оси |
Ох; |
8) окружность, |
лежащая |
на пло |
|||||||||||
скости |
О х у , с |
центром |
в начале |
координат и радиусом, |
равным |
3; |
|||||||||||
9) окружность, |
лежащая |
на плоскости |
Охг, |
с |
центром |
в начале |
координат и радиусом, равным 7; 10) окружность, лежащая на пло
скости О у г , |
с центром в начале |
координат |
и радиусом, |
с |
равным |
5; |
||||||||||
1 1 ) окружность, |
лежащая |
на |
плоскости |
z — 2 = |
0, |
центром |
||||||||||
в |
точке (0; 0; 2) |
н радиусом, |
равным 4. 904. х2 + |
у- + г - |
— 9, (/ = |
0. |
||||||||||
905. |
х2 + |
//2 + |
г 2 = |
25,' |
// + 2 = |
0. |
906. |
(х - |
5>2 + |
( р + '2 )2 |
|
|||||
+ |
(г — 1 )2 = |
169, х = |
0. 907. х2 + |
у- + z - = 30, l x |
— I )2 + |
(// + 2)2 -- |
||||||||||
+ |
(г — 2)2 = |
25. 908. (2; 3; —6). ( - 2 ; 3; —6). |
909. |
(1; 2; 2), |
(—1;2;2). |
|||||||||||
910. |
I) Цилиндрическая поверхность с образующими, |
параллель |
||||||||||||||
ными |
оси |
О у , |
имеющая |
направляющей |
окружность, которая |
на |
||||||||||
плоскости |
Охг определяется уравнением |
х2 + г2 = 25; 2) цилмндри- |
231
ческая поверхность с образующими, параллельными оси Ох, имею
щая направляющей эллипс, который на плоскости Oyz определяется
ц2 ^2
уравнением 4Ь" + |
- т т - = 1; 3) цилиндрическая поверхность с обра- |
Iо |
1о |
зующнми, параллельными оси Oz, имеющая направляющей гиперболу,
которая па плоскости Оху определяется уравнением |
-г-------+ - = ! ; |
|
4) цилиндрическая поверхность с образующими, |
1о |
9 |
параллельными |
оси Оу, имеющая направляющей параболу, которая на плоскости Oxz определяется уравнением х2 = 6z; 5) цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси Oz, имеющая направляющей пару прямых, которые на плоскости Оху определяются уравнениями х = 0, х — у = 0; эта цилиндрическая поверхность состоит из двух плоскостей; 6) цилиндрическая поверхность с образующими, парал лельными оси Оу, имеющая направляющей пару прямых, которые на плоскости Oxz определяются уравнениями х ~ z = 0, х + z = 0; эта цилиндрическая поверхность состоит из двух плоскостей; 7) ось
абсцисс; |
8) уравнение |
никакого |
геометрического |
|
образа |
в про |
|||||||||||
странстве |
не определяет; |
9) цилиндрическая |
поверхность с обра |
||||||||||||||
зующими, |
параллельными оси Оу, |
имеющая |
направляющей окруж |
||||||||||||||
ность; направляющая |
на плоскости Oxz |
определяется уравнением |
|||||||||||||||
х2+ |
( z — |
1)2 = |
1; |
10) цилиндрическая поверхность с образующими, |
|||||||||||||
параллельными |
оси Ох; |
направляющая |
на |
плоскости Ouz опреде- |
|||||||||||||
ляется уравнением у2 + |
/ |
|
1 \г |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
U + Y ) ==_4"- 911.1)х2 + 5у2—8г/ — 12 = 0; |
|||||||||||||||||
2) 4х2 + |
5г2 + 42 - |
60 = |
0; |
3) 2у — z ~ |
2 = |
0. |
|
912. |
1) 8х2 + |
4г/2 - |
|||||||
— 36х + |
16г/ — 3 = |
0, г = |
0; 2) 2х — 2г — 7 = |
0, у = 0; 3) 4(/2 + |
8г2 + |
||||||||||||
+ 16г/+ |
2 0 г -3 1 |
= 0 , х = |
0. |
913. х - 2 # + |
Зг + |
3 = |
0. |
914. 5 х - 3 г = 0 . |
|||||||||
915. 2.1- — у — z — 6 = 0. |
916. х — у — Зг + 2 = |
0. |
917. x + 4y + 7z + |
||||||||||||||
4-16 = |
0. |
|
919. |
х — у ~ г = 0. |
|
921. |
Зх + |
Зм + |
г — 8 = 0. |
||||||||
923. |
1) |
и = {2;—1; —2}, |
|
п = {2Я; — Я; — 2Я); |
2) |
п = |
{1 ;5 ;—1} |
||||||||||
п = |
{Я; 5Я; |
— Я}; 3) п = |
{3; —2; 0}, п = {ЗЯ; — 2Я; 0}; |
4) п = |
{0; 5; —3} |
||||||||||||
п = |
{0; 5Я; |
— ЗЯ}; |
5) |
п = |
{1; 0; 0}, |
п = {Я; 0; 0}; |
|
6 ) п = {0, 1, 0] |
|||||||||
п = |
{0; Я; 0}, где Я — любое число, ие равное нулю. |
924. 1) и 3) опре |
деляют параллельные плоскости. 925. 1) и 2) определяют перпенди
куляркыс плоскости. |
926. |
1)1 = 3, |
т = |
— 4; |
2) |
/ = |
3, |
|
т — — — |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3) |
/ = |
- 3 - ] - , |
т = |
- |
l j . |
927. |
1) |
6; |
2) -1 9 ; |
3) |
- |
у |
. |
928. 1) |
у |
it |
|||||||
и у |
я; |
2) у Я |
и |
у я ; |
|
3) |
- у ; |
4) |
arcco sy r |
|
и |
я — arccos у р . |
|||||||||||
929. 4.T — Зу 4 - 2г = |
0. |
930. 2х — Зг — 2 7 = 0. |
931. |
7Х — и — 5г = |
0. |
||||||||||||||||||
932. х + 2г — 4 = 0. |
934. 4х — у — 2z — 9 = |
0. |
936. |
x = |
‘l, у = — 2, |
||||||||||||||||||
2 = |
|
2. |
939. 1) аф7\ 2) а = 7, 6 = |
3; 3) а = |
7, |
Ь=+3. |
940. |
1) 2 — 3 = |
0; |
||||||||||||||
2) |
(/4 -2 = 0; |
|
3) х + 5 = 0 . |
|
94U I) 2у + г = 0; |
2 ) 3 x 4 - z = |
0; |
||||||||||||||||
3) |
|
4х -f 3(/ = |
0. |
942. |
1) |
у + 42 + 1 0 = 0; |
|
2) |
х — 2 — 1 = |
0; |
|||||||||||||
3) |
5х 4- У- |
13 = 0. |
|
|
|
943. |
(12; 0; 0), |
|
(0; - |
8; 0), |
|
(0; 0; |
- |
6). |
|||||||||
944‘ |
^ |
+ ■§■ + |
73Г = |
*• 945- а = — 4, 6 = |
3, |
с = у . |
946 |
240 кв. ед. |
|||||||||||||||
947. |
8 |
куб. ед. |
9 4 |
8 |
. |
+ |
|
|
+ |
|
1. |
949. - L |
|
+ |
| |
+ |
* |
- |
1. |
||||
950. |
х 4- У4- г 4- Г) = 0. |
951. |
2х — 21у + 2г 4- 88 = |
|
0, |
2х - |
3у — 2 г+ |
||||||||||||||||
4-12 = |
0. 952. |
х + (/ + |
г - |
9 = |
0, х — у —г + |
|
1 = 0 , |
х - у |
+ г —3=0, |
232
V - L - » _ Z - 5 |
= 0. |
953. 2x — у — 3z — 15 = |
0. 954. 2*—3у + |
г -6 = 0 . |
||||||||
955. |
>-• — 'ЛУ — 2? 4 |
-2 = |
0. 956. Плоскости |
1), |
4), |
5). 7), 9), |
|
11) и 12) |
||||
955. |
• |
„ |
- |
|
|
|
- |
2 - |
2 |
|
1 |
|
заданы |
нормальными |
уравнениями. 957. |
1) |
у * |
— - j у + |
у |
г —г>=0; |
з |
.. . « .. |
2 |
2) — Y x + Y y ~ у г - 3 = 0: |
||
|
О |
|
Ь + т » - т ‘ - т - * 5 ) - |
||
_ 1 у _ 1 = 0; |
7) - ( / - 2 = 0; |
|
5 " |
5 |
|
з) у * - у y - - j z ~ 7 Т = 0;
A |
, 4 |
. i | 2 _ |
2= 0;G )4.v. |
8) |
л:' |
: 0; |
9) г — 3 = 0; |
]0) z _ i - = 0. 958. 1) а = 60°, р = 45°, у = 60°, р = 5; 2) а = 120°,
р = 60° у = 45°, р = 8; 3) а = 45°, р = 90°, у = 45", р = 3 / 2 ; 4) а = 90°, 6 = 135°, V = 45°, p = V 2 ; 5) а =150°, р=120°, у = 90°,
Р
Р- |
1 в 8) |
а = 90°, |
p = |
180°, |
у = |
90°, |
^3 |
|
2 5 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Y |
|
p = 2; |
|
|||
|
я — arccos -g , |
= arccos -g-, |
|
|||||
|
|
3 |
|
|
6 |
p = |
4 |
|
|
л — arccos у , |
|
= arccos у , |
y . |
|
|||
|
у = |
|
|
|
|
|||
2) |
6 = 1 , |
d = 1; |
3) |
6 = |
0, d = |
0 — точка |
||
4) 6 = — 2, |
d = 2; 5) |
6 = |
— 3, d = 3. |
960. |
сторону; 2) по одну сторону; 3) по разные рону; 5) по разные стороны; 6) по разные
|
ч |
I |
II |
9) а = |
arccos y , |
1 |
|
9 |
10)а =«= JX — arccos
959.1) 6 « — 3, d — 3;
М3 лежит на плоскости; d — 4. 961. 1) По одну стороны; 4) по одну сто стороны. 964. 1) d = 2;
2) d = 3,5; 3) d = 6,5; 4) d = 1; 5) d = 0,5; 6) d = -jL 965. 8 куб. од.
966. Условию задачи удовлетворяют две точки: (0; 7; 0) и (0; —5; 0).
967. Условию задачи удовлетворяют две точки: (0; 0; —2) и (0; 0;
\
— 6 -j4) • 968. Условию задачи удовлетворяют две точки: (2; 0; 0)
„ |
; |
о; 0j . |
969. 4л: — 4р — 2г + |
15 = |
|
0. 970. бх + |
Зу+2г + |
11 = 0. |
|||||||||||
971. |
2л: — 2 у |
— г — 18 = |
0, 2х — 2 у — |
z |
+ |
12 = |
0. |
972. |
1) 4 х |
— у |
— |
||||||||
— 2г — 4 = |
0; |
2) |
Зл: + |
2 у |
— г + 1 = |
0; |
3) |
20л: — 12# + |
4 z |
+ |
13 = |
0. |
|||||||
973. |
1) 4л: — 5у + |
г — 2 = |
0, 2л: + |
у — Зг + |
8 = |
0; 2) х — З у |
— 1 = 0 , |
||||||||||||
Зл: + У — 2г — 1 = |
0; |
3) Зл: — 6р + |
7г + |
|
2 = |
О, |
х + |
4у + |
Зг + |
4 = |
0. |
||||||||
974. |
1) |
Точка |
М |
и |
начало координат |
лежат в |
смежных |
углах; |
|||||||||||
2) точка |
М |
и |
начало |
координат лежат в одном углу; 3) точка Л4 |
|||||||||||||||
и начало координат лежат в вертикальных углах. |
975. |
1) Точки М |
и N расположены в смежных углах; 2) точки М н N расположены
в вертикальных углах. 976. Начало координат лежит внутри острого угла. 977. Точка М лежит внутри тупого угла. 978. 8х—4/у—4 г+ 5 = 0 .
979. 23х — у — 4г — 24 = |
0. 980. х — у — 2— 1 = |
0. 981. *+р+2г=0. |
|||||||||||||
982. 5л: — Ту — 3 = 0, 2 = |
0; 5х + |
22 — 3 = |
0. у |
= |
0; 7у—2 г + 3 |
= |
0, |
||||||||
л:= |
0. |
983. |
З х - г / - 7 г + 9 = |
0, |
5 y |
+ |
2z = |
0. |
984. (2; - 1 |
; |
0), |
||||
( ' Т |
: |
°: “ т |
) ’ ( 0 :2 ;- 1 ) - |
986’ |
° |
= |
- 4: 2) 0 = 9; 3) D = 3. |
||||||||
987. |
1) |
А \ = А2 = 0, |
н |
хотя |
бы |
одно из |
чисел |
Db D2 отлично |
от |
||||||
нуля; |
2) В, = |
В2 = |
0, |
н хотя |
бы |
одно |
нз чисел |
Du £>2 отлично |
от |
233
н у л я : |
3) С |
С- = |
0, |
и |
хотя |
бы |
одно |
из |
чисел |
0 ,. 0 , |
отлично от |
||||||||||||||
пуля. |
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
' £ |
- |
& |
’ |
31 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
= ».■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
: 0, |
.4, = |
0 , = |
0; |
5) |
0 , = |
0 , |
= О, Л , = |
0,- = |
0; 6) |
С, |
= |
0 ^ 0 , |
|||||||||||||
с 2 = О. = |
0.‘ |
|
|
989. |
1) 2 х |
+ |
15ч + |
7 г |
+ |
7 = |
0; 2) 9// + |
Зг + |
5 = |
0; |
|||||||||||
3) |
3.v + |
32 — 2 = |
0; 41 3.V - О |
у |
- |
7 |
= |
0. |
990. |
1) |
23а —2y+ 21 г - 3 3 = 0 ; |
||||||||||||||
2) |
// + |
г — |
18 = |
0: |
3) |
х |
+ |
г — 3 = 0; |
|
4) |
х |
- |
у |
+ |
15 == 0. |
991. 5а + |
|||||||||
+ |
5д - |
8 = |
0. |
|
992. |
а |5х - |
|
2 у |
~ |
г |
- 3) + |
Р ( х |
+ |
Зг/ - |
|
2г |
+ 5) = |
0. |
|||||||
У к а з и н и е. |
П рямая пересечения |
плоскостей 5 х |
— 2г/ — г — 3 = |
0, |
|||||||||||||||||||||
х |
+ 3// — 2с + |
5 = |
О |
параллельна |
вектору |
/ = |
{7; 9; 27); |
следова |
|||||||||||||||||
тельно, |
условию |
задачи |
будут удовлетворять все плоскости, |
при |
|||||||||||||||||||||
надлежащие |
п у ч к у |
плоскостей, |
проходящих |
|
через |
эту |
прямую. |
||||||||||||||||||
993. 11а- — 2 у — |
15г - |
3 = |
0. |
994. а |
(5а — у — 2г — 3) + |
Р (Зх — 2 у — |
|||||||||||||||||||
— 5г + |
2) = 0. |
|
У к а з а н и е. |
|
Прямая |
|
пересечения |
|
плоскостей |
||||||||||||||||
5х — у |
— 2 z — 3 = |
0, |
З.с — 2 у — 5г + 2 = |
0 |
перпендикулярна к пло |
||||||||||||||||||||
скости к + |
19у — 7 г — |
11 = 0; |
следовательно, |
условию задачи будут |
удовлетворять все плоскости, принадлежащие пучку плоскостей,
проходящих |
через |
эту |
прямую. |
|
|
995. |
9.v + |
|
7 у |
+ 8г + 7 = 0. |
|||||||||||||||||||
996. |
х |
— |
2 у |
+ z |
— |
2 = 0, х — 5у |
+ |
4г — 20 = 0. |
997. |
Принадлежит. |
|||||||||||||||||||
998. |
Н е |
принадлежит. |
999. |
1 = |
— 5, HI = |
— 11, |
|
1009. |
З х — 2г/+ |
||||||||||||||||||||
+ |
6г 4- 21 = |
0, |
|
189х + |
2Й1/ + |
4 8 г - 5 9 1 = 0 . |
1001. |
2х - |
Зу - |
6г + |
|||||||||||||||||||
+ |
19 = |
0, |
6 х - 2 / / |
— Зг + |
18 = |
0. |
|
|
1002. |
4д- — 3// + 0г - |
12 = |
О, |
|||||||||||||||||
12а- — 49// + |
38г + |
84 = |
0. |
|
1003. |
4х + |
3// — 5 = 0, |
|
5а + |
Зг — 7 = |
0. |
||||||||||||||||||
1004. 7а — у + |
|
1 = |
0, г = |
0; 5а — г — 1 |
= |
0, у |
— 0; о у |
— 7 х |
— 12=0, |
||||||||||||||||||||
|
= 0. |
|
1005. |
|
л- - |
8;/ + |
5г - |
3 == 0. |
|
1006. 2а — 4у |
- - 8г + 1 = |
0, |
|||||||||||||||||
|
|
|
i_ -у |
|
1 - |
0 |
1007 |
1) |
А— 2 |
|
|
у |
|
2 + 3 . |
|
А — 2 __ |
|||||||||||||
2 а |
|
У ~1 |
|
1 - |
|
2 |
|
|
— 3 |
5 |
|
’ |
|
5 |
|
|
|||||||||||||
KSS |
У |
|
2 + 3 |
|
3) |
х ~’^ —, У |
|
|
2 + 3 |
|
4) |
А — 2 |
У |
2 + 3 |
|||||||||||||||
|
2 |
|
- |
1 ’ |
1 |
|
|
|
0 — 0 |
; |
|
0 " 1 |
|
0 ’ |
|||||||||||||||
5) |
|
А —2 |
|
У |
|
|
2 + 3 |
|
|
|
|
|
1008. |
1) |
X — 1 |
|
У + 2 |
Z — 1 |
|||||||||||
|
|
0 |
|
|
0 ■ |
|
1 ' |
|
|
|
|
|
2 |
- 3 |
|
|
3 |
’ - 2 ’ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У + 2 |
|
|
||||||||||||||||
2) |
|
|
|
|
|
У + 1 |
3 ’ |
|
3) |
3 |
|
|
|
4) |
х+ 1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
—1 |
|
|
0 |
|
|
- 2 |
|
|
I |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 + |
4 |
|
1009. |
1) а = |
2 / + |
I, |
г/= |
- 3 |
1 |
- |
I, |
|
: i t |
■ |
3; |
|||||||||
|
|
О |
|
|
|
О |
|
2 |
|||||||||||||||||||||
2 ) |
х |
= |
2 1 -}-1, |
|
,у = |
4/ — I. |
г = |
|
— 3; |
3) |
А |
= 31+1, |
(/= — 21— 1, |
||||||||||||||||
2 = 51-3. 1 0 1 0 . 1) а = 1 + 2, у = - 2 1 + |
1, 2 = 1 + 1; 2) а = 1 + 3, |
||||||||||||||||||||||||||||
у — - |
1— 1, |
г = 1: 3) а |
= |
0, |
y = |
t, г = |
— 31 + |
1, |
|
1011. (9; - 4 ; |
0), |
||||||||||||||||||
(3; 0; |
2), |
(0; 2; —3). |
|
1012. |
А = |
5 1 + 4, |
у = — Ш — 7, z = — 2. |
||||||||||||||||||||||
1013. — |
|
|
|
|
У — 2 |
г + |
7 |
|
|
1П(. |
а |
— 2 |
|
0 + 1 |
|
г + 3 |
|||||||||||||
1 |
|
|
|
- 3 |
- 8 ’ |
|
|
1014. |
—— |
|
|
- 1 |
|
|
7 |
’ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
{1; |
||||||||||||
1015. а = 31 + 3, |
г / = 1 5 / + 1 , |
г = 1 9 1 - 3 . |
|
1016. а = |
1; 3>; |
||||||||||||||||||||||||
а = |
{Я; Я; ЗЯ}, где Я — любое число, не равное нулю. 1017. а = |
— 21 + |
|||||||||||||||||||||||||||
+ |
11/ 4- 5й; а = |
— |
2 /Л + |
11 Я/ + |
|
ЯА\ где Я — любое число, не равное |
|||||||||||||||||||||||
нулю. |
1018. ^ |
|
2 |
|
= У— т- = |
— 5 |
1019. |
1) |
2 |
|
|
|
7 |
|
Z |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
— 4 |
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
4 ' |
|||||||||
Р е ш е н а е. Полагая, например, 20= |
находим из данной системы: |
||||||||||||||||||||||||||||
*о — 2, уо — |
— 1: таким образом, мы уже знаем одну точку прямой: |
||||||||||||||||||||||||||||
Л10(2; — 1; 0). |
|
Теперь |
найдем |
направляющий |
вектор. |
Имеем |
|||||||||||||||||||||||
«1 = { 1; —2; 3}, |
пг = {3:2;—5}; |
отсюда |
а = |
[п,п2] = |
{4; 14: 8}, |
т. е. |
|||||||||||||||||||||||
1 = |
4, |
т |
= |
14, |
|
н = |
8. Подставляя |
найденные |
значения |
х0, у 0, |
20 н |
||||||||||||||||||
I |
niy m |
|
|
|
|
|
|
-V— Л'о |
|
|
1} — Уо |
— |
Z —“ 2 Q |
получим |
Kauomi- |
||||||||||||||
I, |
в равенства------------------ - |
|
|
---- — |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
231
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у _ |
О |
= |
-4—1 |
2. |
|
|
|
Х*—'^ |
|
||
ческис v равнения данной прямой: -------~ |
2—■— =*— или-----—=» |
|||||||||||||||||||||
?/ + 1 |
|
|
|
о» |
|
r |
|
|
4 |
|
|
II |
8 |
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
?/ + 1 |
г — 1 . ., .у — 3 |
|
у —2 _ |
|
||||||||||||||
^ |
7 |
х = |
4 ’ “ |
- 5 |
— 71, |
12 |
|
|
13 ’ |
|
1 |
— / + |
|
'У |
1 ’ |
|||||||
1020. |
11 |
/ + 1, „ = |
z = — 19.' — 3; 2) .у = |
!, »= 3/+ 2, |
||||||||||||||||||
г == 5.' — 1. |
1023. |
GO0. |
1024. |
135°. |
1025. |
cos ср = ± |
|
|
1027.1 = |
3. |
||||||||||||
1029. |
•у + |
t |
|
у |
—•2 |
z -}- 3 |
|
1030. |
А' + |
4 |
У + |
3 |
|
г - 3 |
||||||||
1931. |
|
2 |
|
|
— 3 |
|
Й |
‘ |
- |
4/. |
|
3 |
у = |
2 |
|
|
— 1 |
|||||
х = |
2/ — 5, |
г/ = |
-- 31 + |
1, |
г = |
1032. |
13. |
1033. |
d = |
21. |
||||||||||||
1034. |
х = |
3 — 6/, |
f/ = |
— 1 + |
18/, г = |
— 5 + |
9/. |
1035. |
д- = |
— 7 + |
4/, |
|||||||||||
у — 12 — 4/, |
г = |
5 - |
21. |
1036. х = 2 0 -6 /, |
у = — 18+8/, |
г = — 32+24/; |
||||||||||||||||
(2; 6; 40). |
|
|
1037. |
Уравнения движения |
точки |
М: х — — Г>+ |
в/, |
|||||||||||||||
// — 4 — 12/, г = |
— 5 + |
4/; уравнения движения точки N: |
а——5+4/, |
|||||||||||||||||||
у = |
16 — 12/, г = |
— 6 + 3 /; |
I) |
Р ( 7; —20; 3); 2) за |
промежуток вре |
|||||||||||||||||
мени, равный 2; 3) за промежуток времени, равный 3; 4) |
М 0Р = |
28, |
||||||||||||||||||||
N0P — 39. |
|
1040. |
П |
(2; —3; 6); |
2) прямая, |
параллельная |
плоскости; |
|||||||||||||||
3) |
прямая лежит |
на |
плоскости. |
|
1041 |
|
л - |
2 |
у + |
4 |
|
г + |
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
5 |
|
|
3 |
* |
,042. |
|
|
|
|
|
|
|
£ ± 1 . |
|
|
1043. |
2л- — 3(/ + |
4г — 1 = 0 . |
|||||||||
1044. |
л- + |
2у + |
Зг = |
0. |
1045. m = • |
|
1040. |
С = |
— 2. |
1047. ,4 = |
3, |
|||||||||||
£ > = - |
23. |
|
1048. .1 = — 3, |
В = 4Т . |
|
1049. I = |
— в. |
С = |
—, |
|||||||||||||
1050. |
(3; —2; 1). |
Р v ш с н и с. |
Искомую |
точку найдем, решая сов |
||||||||||||||||||
местно |
уравнения данной |
прямой |
с уравнением плоскости, прове |
|||||||||||||||||||
денной |
из |
точки Р |
пер.чендикулярно |
к |
этой прямой. Прежде всего |
|||||||||||||||||
заметим, |
что направляющий |
вектор |
дайной |
прямой {3; 5; 2} будет |
являться нормальным вектором искомой плоское/и. Уравнение пло
скости, которая |
проходит через |
точку Р ( 2: —1: 31 и имеет нормаль |
||||||||
ный |
вектор п — |
{3: Г>: 2}, будет |
иметь |
вид |
3 (.у — 2) + 3 {у + 1) + |
|||||
+ 2 |
( г |
— 3) = |
0 |
пли |
З.т -J- 5// + |
2г — 7 = |
0. |
Решая |
совместно урав |
|
нения |
.г = 3/, |
у |
= ">/ — 7, г = 2/ + 2, |
3.V + ог/ + 2г — 7 = 0, найдем |
||||||
координаты искомой проекции: ,т = 3, у = |
— 2, г = 4. |
1051. О (2; —3; 2). |
||||||||
1052. |
Q (4; 1; -—3>. |
1053. (1; 4; —7). |
Р е ш е ни е . |
Искомую точку |
найдем, решая совместно уравнение данной плоскости с уравне ниями прямой, проведенной пз точки Р перпендикулярно’к этой
плоскости. Прежде всего заметим, что нормальный вектор данной плоскости {2; — 1; 3} будет являться направляющим вектором искомой
прямой. |
Параметрические |
уравнения прямой, |
которая |
проходит |
||||||
через точку Р(5;2: —1) и имеет направляющий вектор а = |
{2; —1;3), |
|||||||||
будут |
иметь вид |
.т = 2 /+ |
5, // = — / + 2, |
г = |
3/ — 1. Решая сов |
|||||
местно |
|
уравнения |
2х — у |
+ Зг + |
23 = 0, |
.у = 2/ + 5. |
у — — I + 2, |
|||
г = |
3 /— 1, найдем |
координаты |
искомой |
проекции: |
дг=1, у — 4 |
|||||
г = |
- |
7. |
1054. Q ( - 5 : 1: 01. |
1055. |
Р (3; - 4 ; |
0). У к а з а н а |
е. Задача |
может быть решена по следующей схеме: 1) устанавливаем, что
точки А и |
В расположены по |
одну |
сторону от плоское/и О х у ; |
|
2) находим |
точку, |
симметричную |
одной из данных точек относи |
|
тельно плоское;п |
Оху, например точку |
Вь симметричную точке В; |
3)составляем уравнение прямой, проходящей через точки Л и By,
4)решая совместно найденные уравнения прямой с уравнением плоскости Оху, получим координаты искомой точки. 1058. Р (—2,0; 3) 1057, Р (—2; —2; 5). 1058. Р ( ~ I; 3; —2). 1059. 1) Р (—23; 1(5; 4»;
233
2) за промежуток времени, равный 5; 3) МйР — 60. 1060. х= 2 8 —7,51.
г/ = |
— 30 + 8/, z = |
— 27 + 61; 1) Р (—2; 2; —3); 2) от 1, = |
0 до 12 = 4; |
||
3) |
Л1,/-‘ = 5 9 . 1061. |
За промежуток времени, |
равный |
3. |
1062. d — 7. |
„ |
г , - |
„ * + 3 |
г/ + 2 |
z — 8 |
|
Р е ш е и не. Выоерем на прямой — , — = |
— л— = |
-----— какУю* |
нибудь точку, например AU (—3; —2; 8); будем считать, что напра вляющий вектор прямой а = {3; 2 ; —2} приложен в точке М1ш
Модуль векторного произведения векторов а н М,Р определит площадь параллелограмма, построенного на этих векторах; высота этого параллелограмма, проведенная из вершины Р, будет являться искомым расстоянием d. Следовательно, для вычисления расстоя
ния d |
имеем формулу d = |
|[вМ,Р]| |
Теперь вычислим координаты |
||||
вектора |
M tP, зная координаты его конца н начала: М\Р = |
{4; 1; —10}. |
|||||
Найдем |
векторное |
произведение векторов а и А1,Р: |
[aMtPJ = |
||||
* |
/ |
ft |
|
|
|
|
|
3 |
2 |
- 2 |
= |
— 181 + |
22/ — 5ft. |
Определим его |
модуль: |
4 |
1 |
- 1 0 |
|
|
|
|
|
| [оЛ1,Pj | = 1 А182 + 222 |
+ 5 2 =1^833 — 71^17. |
Вычислим модуль |
||
вектора а: | а | = 1^9 + |
4 + 4 = V T T . |
Найдем |
искомое расстояние: |
|
, 7 V T T |
7. IC63. 1) 21; 2) 6; 3) 15. |
1064. <1=25. 1065. 9 х + И у + |
||
|
V17
+5г —1 6 = 0 . 1068. 4.v + 6y + 5z—1 = 0 . 1070. 2 х -1 6 у -1 3 г + 31 = 0.
1072. |
6.V - |
20г/ — П г + |
I = 0 . |
1074. (2; - 3 : —51. |
1075. <?((; —2; 2). |
|||||||||||||||||||
1076. |
Q (1; - 6 ; |
3). |
|
1077. 13х - |
14у + |
11г + |
51 = |
0. |
1079. .г - |
8г/ - |
||||||||||||||
— I Зг + |
9 = 0. |
1081. -^=^- + |
|
|
= |
|
|
|
|
1082. |
л- = |
8 / - 3 , |
||||||||||||
V |
= |
- |
31 - |
1, г = |
- |
41 + 2. |
1083. 1) 13; 2) 3: 3) |
7. |
1084. 1) л:2 + |
|||||||||||||||
+ |
и* + |
г2 = |
81; |
2) |
(х - |
5)2 + |
(у + |
З)2 + |
(г - |
7)2 = |
4: |
3) |
(х - |
4)2 + |
||||||||||
+ |
(У + |
4)2 + |
(г + |
2)2 = |
36; |
4) |
(х - |
З)2 + |
(у + |
2)* + |
(г - |
I)2 = |
18; |
|||||||||||
51 (-г—312 + |
(г/ + |
П2 + (г - 1 ) 2 = |
21; 6) х2 + |
, f |
+ |
г2 = |
9; 7) ( х - 3 )2 + |
|||||||||||||||||
+ |
{У + |
5)2 + |
(г + |
2)2 = |
56; |
8) |
(х - |
I)2 + |
(у + |
2)4 + |
(г - |
З)2 = |
49; |
|||||||||||
9) |
(л- + |
2)2 + |
{у - |
4)2 + |
(г - |
5)2 = |
81. |
|
1085. .(х - |
2)2 + |
(</ - |
З)2 + |
||||||||||||
+ (2+ I)2. |
|
И |
|
X4 + |
(у + |
I)2 + |
(г + |
5)2 = 9. |
|
|
1086. |
R = |
5. |
|||||||||||
1087. |
U + |
1)2 + |
( 1 /- 3 ) 2 + ( г - 3 ) 2= |
1. |
1088. |
(х + |
Г)2 + |
|
(у — 2)2 + |
|||||||||||||||
+ |
(г — П2 = |
49. |
|
|
1089. |
(х - |
2)2 + (у - |
3)-’ + |
(г + |
|
I)2 = 289. |
|||||||||||||
1090. |
1) |
С (3; —2; 5), г = 4; |
2) |
С (—1; 3; 0). |
/- = |
3; |
3) С (2; 1; —1), |
|||||||||||||||||
г = |
5: |
1) С (0; 0; 3), |
г = |
3; 5) |
С (0; —10; 0), г = |
10. |
1091. |
v = |
51 — 1, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
, 8 |
|
|
. |
1 |
|
(/ = |
— 1 + |
3, |
г = |
21 — 0,5. |
|
1092. |
х --- ГГ |
|
Р + — |
|
? + "Гу |
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
■3 |
|
|
|
|
||||||||||||||
1093. |
1) Вне сферы; 2) |
и 5) |
на |
|
|
|
|
|
|
|
4) |
внутри |
||||||||||||
поверхности сферы; |
3) и |
сферы. 1094. а) 5; б) 21; в) 7. 1095. 1) Плоскость пересекает сферу;
2) |
плоскость |
касается |
сферы; |
3) |
плоскость |
проходит |
вне |
сферы. |
||||||||
1096. 1) Прямая |
пересекает сферу; |
2) прямая |
проходит |
вне сферы; |
||||||||||||
3) |
прямая |
касается |
сферы. |
|
|
1097. |
Д1, (—2; —2; 7), |
<1 = |
3. |
|||||||
1098. |
С ( - 1 ; |
2; 3), /? = |
8. |
1099. (х - |
1 )2 + |
(у - |
2)2 + (г - |
I)2 = |
36, |
|||||||
2.v - |
г — 1 = |
0. |
1100. (х — I)2 + |
(у + |
I)2 + |
(г + |
2)2 = |
65, 18х—22у + |
||||||||
+ |
5г — 30 = |
0. |
1101, ( х — 2)2 + y2 + (z — З)2 = 27, |
х + у — 2 = |
0. |
|||||||||||
1103. |
Гх - Ъу + |
ог - 7 |
= |
0. 1104. х2 + |
у2 + |
г2 - |
Юлт + |
15у - |
25г = |
0. |
233
1105. |
л2+ е/2 + г2+ |
13л+9«—9г— 11 = |
|
0. 1106. л2+(«/ + 212 + 2г= 4!. |
||||||||||||||||
1107, |
6л- — 3;/ — Чг — 49 = |
0. |
|
1108. |
|
12; |
—6; 3J. |
|
„0 9 . |
и = |
± ft. |
|||||||||
1110. |
2л — «/ — 2 4 -5 = |
0. |
1111. л,л + |
|
tf|«/-f г .г = |
г2. ) ц ?, А2^ л . |
||||||||||||||
+ |
В1/?2 + |
C2R" = D-. |
|
1113. |
(л, — а) (* — а) + |
(у« — Р)(у — Р) + |
||||||||||||||
+ |
(«1 |
- V) (г — \)*=г2. |
|
1 114. Зл — 2у |
6z — 11 = |
о, |
0л + |
3и + |
||||||||||||
"Ь 2г — 30 = 0. |
|
1115. |
л + |
2«/ — 2г — 9 = 0, |
х + 2у — 2г + 9 = 0 |
|||||||||||||||
1116. 4л + |
3 г -4 0 = |
0, 4 л + |
3 г + |
10 = |
0. 1117. 4л + 6у + |
5 г -1 0 3 = 0 , |
||||||||||||||
4л + |
6// + |
5г + |
205 = |
0. |
|
1118. |
2л — 3«/ + 4г — 10 = |
0, |
З х — 4у + |
|||||||||||
+ |
2г — 10 = 0. |
1120. л — у —г —2 = |
0. |
|
1122. Ах + |
By + |
Сг + D = 0. |
|||||||||||||
1123. |
л cos а + |
у cosP + |
г cos у — р — 0. |
|
|
1124. |
d = | Г\Па— р|; |
|||||||||||||
d = j л, cosa + |
«/! cosP + |
г, C O S Y — Р I- |
у0 |
И 2 5 - (Гз — г«) (г — г 1) = 0 ; |
||||||||||||||||
|
- |
*»М* - |
л,) |
+ |
(«,2 |
- |
у х)(у |
- |
+ (2, _ |
2,) (2 - |
2 ,) |
= 0. |
||||||||
1126. в,а2 (г — Г01 = |
0; |
|
х — х0 |
у |
у0 |
|
^ ~ 20 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
/| |
|
/П1т, |
|
|
«I |
= |
0. 1127. (г, - г , ) Х |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«?«2 |
|
|
«2 |
У — Ух |
Z — г. |
|
||||
Х(>- - г,) (г - |
г,) =0;); |
|
|
|
X — *1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
л2 — л, |
У. — Ух |
г2 — 2| |
= 0. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
л — л0 |
|
*3 — Л1 |
Уз-Ух |
г3 — *1 |
|
||||||||
112S. я,я2 («• — г0) = |
0; |
I / '-I/O |
2 — z0 |
|
|
|
-V— Л'{, |
|||||||||||||
|
|
|
в, |
|
|
С |
= |
0. |
1131. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Л2 |
В2 |
|
|
С 1 |
|
|
|
|
|
|
= L ~ T i T " ^ ^ Г 2-
г = r t + |
(г2— г , ) /. |
||
+ « ( 2 |
— 2 j) = |
0. |
|
1136. |
г = |
г0 + |
я/; |
• Лп |
|
Я — //о |
|
В1 С1 |
|
С[ At |
Ш2- К*- - *■ ) (Г, - |
Л)] = |
0, [ г ( г |
2 - |
г,)] = [r,r2J, |
|||
1133. а (г — fi) = |
0; I (л — Л1) + |
пг (у — у Л |
+ |
||||
|
a,a2 (г —Го) = |
0. |
1135. П[П2 (г — г0) = |
0. |
|||
|
/ / — Уо z — 20 |
1137. |
г = |
г0 + |
[я,п;] /; |
||
|
-------------------- |
||||||
|
В |
С |
|
|
|
|
|
J,! |
- 2'о |
1138. |
r0n + |
В — 0, |
ая = |
0; |
|
Л, В, |
Вг с 2 |
|
С2 А2 |
|
^2 |
5 2 |
С/г |
0. „З а . a ta2 ( г |
— Го)=0. |
|||||||
Л*о + |
3</о + |
Сг0 + 0 = |
0, А1 + |
В т + |
|||||||||||
1140. |
в |в 2(г2 — г,) = |
0. |
|
|
1141, |
/"о ~ |
ап |
а; |
|
х = л0 — |
|||||
_ -4лп + |
B y 0 + С г 0 + D |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
I, |
|
|
Л ло + Вуа + |
Czt) + |
D |
||||||||||
|
ЛI + В т + Сп |
|
|
У — Уъ |
М + В т + Сп |
|
|||||||||
; г, |
— Лл0 + Вуо + |
Cz0 + |
D |
|
|
„42 . |
Г]- |
^ |
± |
^ я, |
|||||
|
|
|
А1 + Вт + |
С/г |
|
П |
|
||||||||
|
|
|
|
|
Ах, + |
By, + |
|
|
D , |
||||||
у - . ,.| _ |
^ « |
+ % , |
+ |
С2 , + В |
|
, |
У1 |
Сг, + |
|||||||
|
|
|
Л2 -f- В2 4- С2 |
|
У |
Л2 —L /?Г| |
/+> |
В, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
2 + |
В2 + |
С2 |
|
|
г - „ - 2 |
^ |
+—° », + сг, + а |
с |
|
„43...... „ |
+ — Ща |
|||||||||
|
|
|
А°- + В2 + |
С2 |
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
||
л = л0 + |
I х! ~ -vo l1+ |
{у1 — Уо) т + (г, — г01 я |
|
|
|
У= |
'/о + |
||||||||
, |
|
. |
|
|
I2 + пг2 + |
я2 |
|
|
|
|
|
||||
+ -Ir'i ~~ *0) ‘ 4- (i/i — tin) пг + |
(г, — г0) п |
|
|
|
|
Z ~ zO+ |
|||||||||
|
|
|
1г + |
/я2 + д2 |
|
|
■т, |
|
|
|
|
||||
+ |
|
1 + (у, - |
«/п1/;г + |
(г, - 20) я |
П44 d _ |
l / [(r1-ro)a]i . |
|||||||||
|
|
|
/2+ т 2 + я2 |
|
|
|
’ |
|
|
|
У а.* |
’ |
237'
|
/ |
z o + |
-1 |
‘ О x i ~ л'о |
+ |
I -ч — Хо У1 |
Уо |
V |
У \ ~ Уд 2д |
||||||
т |
п |
п |
! |
|
/ |
т |
V I2 + т2 + П2
|
|
|
|
h |
ч |
*5 — |
*1 |
|
|
|
afic. вел. |
т х |
т 2 |
у 2 — |
у 1 |
||
1145. |
1а ,а2 (г, — r,> t . |
н |
|
П\ |
п 2 |
22 — |
|
|
(!■■ |
|
|
|
|
|
|
j h т, } |
|
|
I [а,а,,]2 |
п‘\ |
п 1 ~ , |
" i |
h |
I2 |
, |
|
|
|
т 2 |
1 + |
//_. |
|
! |
+ |
I |
|
|
п* I |
!, j |
|
112 т 2 |
1147. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RI |
|
|
|
I |
а ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i /-' + |
/п2 + |
п2 |
|||||
|
Rm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
У\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rn |
|
|
|
|
и |
||
V |
4- гл2 + п2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
к-----22— |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Rm |
|
|
I- + т- |
+ |
ч'{ |
|
|
||||||||||||
|
|
|
Rt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rn |
|
|
|||
л-2= ——=======.. у2= • |
|
\ Р + тг+ п2 |
|
|
|
1 |
г |
--J- т2+ |
/г2' |
|||||||||||||||
|
) 1‘ -}- т г + и* |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1148. г 0 + т — г а |
и |
г 0 — |
-r^T e; -r i = |
л'о + |
|
|
|
|
-^Ц ----- |
; ■У\ = '/<>+ |
||||||||||||||
|
|
1а I |
|
|
1а I |
|
|
|
|
|
1 В + м- + |
|
|
|
|
|
||||||||
, |
/?//г |
|
|
. |
Zi = <п |
. |
|
/?н |
|
= |
|
- |
И |
|
Х 2 — ■>(! |
|||||||||
~)----- ,-г. |
, |
|
|
|
Ч-------= |
= |
= |
|
|
|||||||||||||||
У 12+ Ш2 -}- п- |
|
|
|
|
(' /2 + |
т2 |
+ |
|
п2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
RI |
|
|
У2= Уо ■ |
|
Rm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rn |
|
|
||||||
V 'P |
+ |
I / I ' T |
|
|
|
т 2 + |
п 2 |
|
|
|
|
У Р + |
т 2 + |
п 2' |
||||||||||
'I 2 " " |
|
|
К /*’ + |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1149. |
(r i ~ r o H |
r - r 0) = |
R 2. |
|
|
|
П59. |
|
|
tr |
- |
г,)- = |
|
|
|
|
||||||||
( X — Л - , ) 2 + |
({ / — |
Г/ i ) 3 + |
( 2 |
|
v, |
|
|
|
|
~Ь |
й/л “т |
|
м |
“Ь |
D ) 4- |
|||||||||
|
г,) |
~ |
|
|
|
|
л-’ + Т Р ^ Р с 2 |
|
'* |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1151. |
|
— |
/? = |
О, |
|
|
■ + |
|
R = |
0; |
|
|
.4л: + |
By - f |
Сг |
|
В = О, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
I |
Л2 |
|
В2+ С-' |
|
||||||||||||||
|
\п I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Л х + |
B y - f |
С г |
+ |
/?= 0. |
|
|
|
|
1152. |
|
|
|
‘! l r ~ -r. ’ |
- |
R = Q, |
|||||||||
К Д2 + В2 + |
С2 |
0. |
|
/ (.у — х0) + |
ш (у — уо) + |
|
! а ! |
|
|
„ __ 0 |
||||||||||||||
я ( г ~ |
r 'B. |
|
|
|
п (г — г0) |
|
||||||||||||||||||
| а | |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
I2+ |
т'г + |
|
и2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
-'о1+ |
. ? А |
- |
!!<)_+U l L Z I s L |
+ |
/г = 0. |
|
1153. 3. |
Г 7i: (2; 3; |
0), |
||||||||||||||
|
|
I !- Л- in2-j- п2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(2; - 3 ; |
0), |
|
(2; |
0; |
У~3), |
(2; 0; — ) Л ). |
|
1154. |
1,3: |
(1: |
0; |
- |
1), |
|||||||||||
(—4; |
0; |
— 1). |
1155. |
15; |
|0; |
—6; •— — |
|
|
1158. |
Урлшення |
про |
|||||||||||||
екции |
at |
на |
плоскость |
Оху: |
f х2+-1ху+~У/2—х-~и, |
61 |
па |
плос- |
||||||||||||||||
кость |
О.гг: |
|
f х- — 2хг + |
|
|
| |
|
0, |
в) |
|
|
па |
и юе^х-ть |
Оу г: |
||||||||||
|
5г2 — 4дг = |
|
|
|||||||||||||||||||||
I if + |
|
|
|
I |
|
0, |
1157. |
|
У = 0; |
(2; |
—1; |
i i — usurp |
этого |
|||||||||||
г'2 Ч- 2р — г = |
|
Эллипс; |
||||||||||||||||||||||
\ |
|
|
|
* = |
0. |
Центр сечения проектируется в центр проек |
||||||||||||||||||
эллипса. У к а з а н и е . |
||||||||||||||||||||||||
ции. |
1158. |
|
Гипербола; |
(1; |
—1; |
—2) — центр |
этой |
гиперболи. |
||||||||||||||||
1159. |
1) |
Эллипс; (—3/2; |
1; |
13/4) — центр |
|
этого |
эллипса; |
2) |
пара- |
238
бола: не имеет центра; 3) гипербола: (2: —3; |
|
— Ь — центр |
этой |
|||||||||||||||||||||||||||||||
гиперболы, |
118 '. |
а! |
н |
! < j т j <Г 1 |
2; |
б) |
i w | < !. |
U61. |
a) |
/п+= О |
и |
|||||||||||||||||||||||
т > |
— 1/1, причем |
|
случае |
т — — 1/4— вырожденный эллипс — |
||||||||||||||||||||||||||||||
точка; |
б) |
т = 0. |
1182. |
(9; |
5, - 2 ) . |
1163. (3; |
0; —10). И64. (6; |
—2; |
2). |
|||||||||||||||||||||||||
1165.///= ±18. |
1106. 2 х - // — 2 |
г - 4 = 0 . |
1167. ,v — 2 у |
+ |
2< — 1 = |
0, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
, |
|
. „ . . |
= |
о 2 |
|
/ , ЛО х~ , у 2 + г 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
X—2//+. |
|
0; |
|
|
|
1168. |
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
' • " ш |
- § + fe + |
|||||||||||||||||
|
■у- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
= |
1. |
1170. |
|
г/, = |
|
|
|
|
|
|
|
Н72. |
|
X2 |
|
У2 + |
г2 |
|
, |
||||||||||||||
+ |
Т |
|
5 |
|
<72=5-- |
|
а2 |
1 |
|
|
Ь 2 |
|
|
* |
||||||||||||||||||||
1173. |
х2 + у 2 |
|
г 2 |
|
|
, |
1178. |
|
-с2 |
|
//2 |
_ |
0. |
|
1183. |
11 |
|
13; 4; |
—2) |
|||||||||||||||
и (6; |
|
|
а 2 |
|
|
г2 |
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
У |
|
|
|
поверхности; 3) |
пря |
|||||||||||
—2; 2); 2) |
(1: —3: 21 — прямая |
касается |
||||||||||||||||||||||||||||||||
мая |
иповерхность |
не |
имеют |
общих |
|
точек; 4) |
|
прямая |
лежит на |
|||||||||||||||||||||||||
поверхности. 1181. J 2.V — 12// — г |
+ |
16 = |
0, |
(2 а — 12// — г |
+ |
|
16 = |
0, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
f y + 2 z |
|
I |
|
|
|
|
а - |
|
Чу + |
4 = |
0; \ |
|
//+ |
х + 2// — 8 = |
0- |
||||||||||||||||
1182. |
|
— 0, |
(■2.v — 5z = |
0, |
|
|
, 1воа |
|
I |
|
|
|
|
г — 1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
5 = 0: |
|
| |
|
// + 4 = 0. |
|
|
1183. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
_2 |
|
||||||||||||||
|
|
Р+Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
' + |
3 |
|
1184. |
X |
|
V - |
|
3 |
|
|
_о » |
и |
|
|
Ъ |
|
г |
|
|||||||||||||
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
и- |
|
—4* |
|||||||||||||
1185. |
aiccos |
|
|
1186. |
|
1) |
|
х- |
+ + / _ / |
|
|
|
• 0: |
2> дг- |
+ |
|
- |
= |
(>; |
|||||||||||||||
17 |
|
|
|
i |
|
|
- |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а2 ^ л- |
|
|
|
|
|
|
|
а~ |
|
/<- |
|
|
с - |
|
|
|||||||
3) - |
а |
|
|
|
|
|
|
|
0. |
1188 |
X2 + |
’/ |
|
■ г2 = |
0, |
|
1189, |
|
|
• + |
ML |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ь2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
( г - |
с)2 |
■0. |
|
1190. Зх2 — 5у - + 7 г" |
— 6х у |
+ Юхг — 2y z ~ 4 x |
+ 4у |
- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1? + |
4 = 0 . |
1191. |
|
А- |
+ |
г |
~ |
49 |
|
|
0. |
|
1192. |
|
х- - |
V |
|
+ |
г2 = |
0. |
|||||||||||||
11.93. |
|
35а2 + |
|
|
|
25 |
25 |
|
|
|
|
|
|
116yz + 232х — 70у — |
||||||||||||||||||||
|
За//2 — 52г2 — 232ху — 116хг + |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
— 1162 + |
35 = 0. |
|
1194. |
|
ху + |
А2 + yz = |
0 — ось |
|
конуса |
|
проходит |
|||||||||||||||||||||||
в первом и |
седьмом |
октантах; ху + |
х г — //г = 0 — ось конуса про |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ходит во втором и восьмом октантах; ху — хг — yz = |
О — ось конуса |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
проходит в третьем и пятом октантах; ху — хг + |
yz = |
0 — ось конуса |
||||||||||||||||||||||||||||||||
проходит в четвертом |
и шестом октантах. |
1195. 9х2 — ;>'у~— 16г2 — |
||||||||||||||||||||||||||||||||
— 90х + |
225 = У. ‘ |
|
1196. |
|
х2 + |
4//2 — 4г2 + |
4хг/ 4- 1 2а? — 6//г = |
О. |
||||||||||||||||||||||||||
1197. |
|
4х2— 15// |
- О т 2— 12x2 — 36х+ |
|
242 + 66 + |
0. |
1198. |
"16х2 + |
||||||||||||||||||||||||||
+ |
Ни/2 + |
13г2 — 16x2 + |
24yz + |
16х — 24у — 26г - |
|
131 = |
0. 1199. х 2 — |
|||||||||||||||||||||||||||
— у2 — 2хг + 2yz + |
х + |
у — 2г = 0. |
1200. |
|
5х2 + |
|
5у1+ |
2+ — 2ху + |
||||||||||||||||||||||||||
+ |
4хг 4- -!//г — 6 = |
0. |
|
1201. |
5х2 + |
8у2 + |
|
5г2 + |
4ху + |
Ьхг — 4yz + |
||||||||||||||||||||||||
+ |
Ох + ' 21у — 6г — 63 = |
0. |
1202. |
5х2 + |
1 Оу2 + |
1Зг2 + |
12ху - |
бхг + |
||||||||||||||||||||||||||
+ |
1//г + |
26х + |
20// - |
38г + |
3 = |
0. |
|
|
1203. |
х2 + |
4у* + |
5+ - |
4ху - |
|||||||||||||||||||||
— |
125 = |
0. 1 2 0 4 /1 ) |
|
18; |
2) |
10; |
3) |
0; |
|
4) |
|
— 50; |
|
5) |
0; |
+ |
|
х , — ху, |
||||||||||||||||
7) |
0; |
8) |
1. 1205. |
1) х = |
12; 2)-Х = |
|
2; |
3) х, |
|
= |
— 1, х,, = |
—4; 4) х. = |
- 1 / 6 , |
|||||||||||||||||||||
х , = |
3/2; |
5) |
х ь |
2 = |
± 2 г; |
6) |
х, |
= |
|
2, *,,,, = |
- 2 ± / ; |
|
7) х = ( - 1 ) " |
LL + |
||||||||||||||||||||
+ |
у - //, |
где |
п — целое |
число; |
8) |
х — л {2п + |
1 )/о, |
где |
// — любое |
|||||||||||||||||||||||||
Целое число. |
1206. |
|
1) х > 3 ; |
2) |
х > —10; |
3) х < —3; |
4) |
—1 < х < 7 . |
||||||||||||||||||||||||||
1207. |
I) |
х = |
10, у = 7 ; 2) |
х = |
2, |
у = |
3; 3) |
|
система не |
имеет |
реше |
|||||||||||||||||||||||
ний; |
4) |
система |
|
//мест |
|
бесконечно много различных |
решений, ка;к« |
|||||||||||||||||||||||||||
доо |
из |
которых |
может |
быть |
вычислено |
|
по |
формуле |
у = |
|
х — ! |
239
г д е |
|
численные |
значения |
|
а |
задаются |
произвольно |
и |
|
вычисляются |
|||||||||||||||||||||||||
соответствующие |
значения |
у; |
5) |
х = |
ас + |
bd |
|
|
|
|
be — |
ad |
|||||||||||||||||||||||
— |
|
. j - , |
и = —=— |
Ь2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
6) |
система |
не |
имеет |
|
решений. 1208. |
|
а ’- + |
Ьг |
|
я |
|
|
а2 |
+ |
|||||||||||||||||||||
|
1) а ф —2; |
2) а — —2, Ъ-+ |
2; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
а = |
|
—2, |
6 = |
2. |
1209. |
а =10/13. |
1210. |
1) |
а = |
—2/, y = 7t, |
z — 4t\ |
|||||||||||||||||||||||
2 ) |
|
х |
— |
|
2t, |
|
y |
= |
3/, |
2 = 0 ; |
|
3) |
x |
= |
0, у |
= |
t, |
2 = |
3/; |
4) |
|
x |
= |
0, |
у |
= |
/, |
||||||||
c |
= |
2 |
i \ |
|
6) |
x |
— |
2 f, |
y |
= |
5 t , |
|
г = 4/; 6) |
x = |
At, |
y |
= |
2 t , |
2 = |
3/; |
7) |
A = |
/, |
||||||||||||
y |
= |
|
b t , |
|
|
2 = |
|
11/; |
8) |
A = |
31, |
у |
= |
At, |
2 = 1 1 /; |
9) |
A- = |
0, |
y |
= |
t , |
2 = |
3/; |
||||||||||||
10) |
|
A = |
|
( a |
+ |
1) /, |
у |
= |
(1 — a2) /, |
2 = — ( a + 1 ) / |
при |
условии, |
что |
||||||||||||||||||||||
а |
ф |
|
— 1 |
(если |
a = |
—1, то любое |
решение |
системы |
состоит из трех |
||||||||||||||||||||||||||
чисел а, |
у, |
|
z , где х , |
у |
— какие угодно, а г = |
л |
- |
у); 11) х |
= |
( Ь |
— 6) /, |
||||||||||||||||||||||||
y = ( 3 a |
— |
2 ) t , |
z = ( a b |
|
— |
4 |
) t |
при |
условии, |
что |
а ф 2 / 3 |
или |
Ь |
ф |
6 |
||||||||||||||||||||
^еедн |
|
а = |
|
2/3 |
и |
6 = |
6, |
то |
а , 1/ произвольны, |
а |
2 = |
- |- а + |
2^/J; |
||||||||||||||||||||||
12) |
|
а = |
|
3 (1 — 2а) /, |
у — (ab + |
1) /, |
2 = |
3 (6 + |
2) / |
при |
|
условии, |
что |
||||||||||||||||||||||
а Ф 1 /2 |
|
или |
а)). |
— 2 |
(если |
а = |
1/2 |
и 6 = |
—2, то а, |
у |
|
произвольны, |
|||||||||||||||||||||||
а |
г = |
|
2 (3(/- |
1211. |
- 1 2 . |
1212. 29. |
1213. 87. |
1214. |
0. |
1215. -2 9 . |
|||||||||||||||||||||||||
1216. |
2а3. '1223. —4. |
1224. |
180. 1225.87. 1226.0. |
1227. (а—у) (у—z) X |
|||||||||||||||||||||||||||||||
X (г — а). |
|
1229. |
2а26. |
|
1230. |
sin 2а . |
|
1231. |
xyz (х ~ |
у ) |
(у — z) (г — х). |
||||||||||||||||||||||||
1232. |
|
(а + |
|
6 + |
с) ( а 2 + |
62 + |
с2 — аб — а с |
— 6с). |
1234. |
|
1) |
а = |
—3; |
||||||||||||||||||||||
2) а , =-10, а 2 = 2. 1235. 1) х > 7/2;2) |
- 6 < а< -4 . 1236. а |
= |
24-^> |
||||||||||||||||||||||||||||||||
у = |
|
21 JL, |
г = |
10. 1237. |
а |
= 1, у |
= |
1, z = |
1. 1238. а |
= |
2, у = |
3, z = |
4. |
||||||||||||||||||||||
1239. |
|
А |
= 1 , |
р |
= |
3, |
г |
= |
5. |
1240. |
а = |
13-^-, |
у = |
8 |
~ |
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1241. а = |
2, |
г/ = |
—1 , г = |
1. |
1242. х = |
|
^ |
|
у = |
|
|
|
, |
|
г |
|
|
|
|
||||||||||||||||
1243. |
|
х = |
|
|
|
|
, |
у = ~~у— , г = |
|
|
с . |
1244. |
|
Система |
имеет |
||||||||||||||||||||
бесконечно много решений, |
каждое |
из которых может быть |
вычи |
||||||||||||||||||||||||||||||||
слено |
|
по формулам а = |
2 г — 1, (/ = |
2 + |
1, |
где |
численные значения |
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
задаются |
|
произвольно |
|
и |
вычисляются |
соответствующие |
значе |
|||||||||||||||||||||||||||
ния |
а, |
у. |
1245. Система |
не имеет |
решений. |
1246. Система не имеет |
|||||||||||||||||||||||||||||
решений. |
1247. 1) а Ф — 3; 2) а = |
—3, Ъ ф 1/3; |
3) а = |
|
—3, |
Ь = 1/3. |
|||||||||||||||||||||||||||||
1249. |
Система |
имеет единственное решение: а = |
(/ = |
z = |
0. |
1250. Си |
|||||||||||||||||||||||||||||
стема |
|
имеет |
бесконечно много решений, каждое из которых |
может |
|||||||||||||||||||||||||||||||
быть |
вычислено по формулам х = |
2/, у = |
—3/, 2 = |
5/, где численные |
значения / задаются произвольно и вычисляются |
соответствующие |
||||
значения а, |
у, г. 1251. а = 5. 1252. |
30. 1253. -2 0 . |
1254. 0. |
1255. 48. |
|
1256. |
1800. |
1257. (Ь + с + d ) ( b |
— с — d ) ( b — с + d ) ( b |
+ с — d) . |
|
1258. |
( а + b |
+ с + d ) ( а + b— c — d) (а — Ь + с — d) (а — 6 — с + d). |
|||
1259. |
(а + b + с + d) ( а — Ь + с — d ) [(а — с)2 + (6 —с/)2]. 1263. (6е—c d f . |