книги / Механика деформируемого твердого тела.-1

сплошного стержня. Сходство двух графиков, так же как и различия между ними, настолько ясны, что в подроб­ ных комментариях не нуждаются. Однако самое суще­ ственное нужно все же подчеркнуть: если вдоль сплош­ ного стержня возмущение распространяется с конечной

Рис.. 20.3. Результаты расчета для многомассовой системы, показан­ ной на рис. 20.2: а) распределения усилий в упругих связях в раз­ личные моменты времени; б) изменение усилия в пятой (средней) упругой связи с течением времени; штриховой линией показано изменение усйлия посередине сплошного стержня

бом сколь угодно малом значении времени t и любом номере р по формуле (20.10) получится конечное значе­ ние усилия Npi

пятствовать замене сплошного стержня цепной системой (или обратной замене). В действительности же при до­ статочно большом числе п в удаленных от преграды пружинах усилия в начале процесса настолько малы, что упомянутое различие существует лишь формально. В сле­ дующей таблице с точностью до девяти знаков после запятой даны значения безразмерного усилия в первой

Другое (также принципиальное только внешне) раз­ личие между сплошным стержнем и дискретной моделью можно обнаружить при сопоставлении спектров собствен­ ных частот.

Для сплошного стержня со свободными концами бес­ конечная последовательность собственных частот дается выражением

В данпом случае высшей собственной частоты попросту не существует.

Для дискретной цепочки со свободными копцами чис­ ло собственных частот равно числу грузов (этот случай исследуется также с помощью системы уравнений (20.6)), и существует наибольшее значение собственной

казалось бы, пе зависящее от числа элементов цепочки. Нужно иметь в виду, что неограниченное возрастание числа элементов дискретной цепочки может происходить по двум различным вариантам: 1) п увеличивается при фиксированных значениях с и* ттг; это означает, что про­ исходит «прирастание» новых элементов цепочки без

преобразования старых; 2) при увеличении п меняются жесткости с и массы т , например, так, как это дано выражениями (20.4) и (20.5).

Разумеется, первый вариант не имеет отношения к пашей задаче, а По второму варианту нужно в (20.12) подставить выражения (20.4) и (20.5) ; тогда для высшей собственной частоты дискретной цепочки получится вы­ ражение.

элементов цепочки. Оказывается, что, как и для сплош­ ного стержня, здесь нет верхней границы для последова­ тельности собственных частот. Таким образом, ' и это сравнение двух моделей не обнаруживает какой-либо су­ щественной разницы между ними (при достаточно боль­ шом числе элементов дискретной системы).

§ 21. «Ложные» резонансы

Когда мы слышим, что речь идет

—о режиме вынужденных колебаний, соответству­ ющем максимуму амплитудно-частотной характеристики,

—или о совпадении частоты гармонического возбуж­ дения с одной из собственных частот механической си­ стемы,

—или, наконец, о появлении вековых членов в урав­ нениях, описывающих движение механической системы, то у нас естественно возникает мысль о резонансных си­

туациях, таящих в себе известные угрозы, в первую оче­ редь — прочности системы. Как правило, эта мысль верна, однако в некоторых избранных (но невымышленных) случаях названные настораживающие признаки вовсе не свидетельствуют о . подлинно резонансных условиях. Последовательно рассмотрим три примера таких, можно сказать, л о ж н ы х резонансов.

С и с т е м а с с и л ь н ы м д е м п ф и р о в а н и е м . Вспомним дифференциальное уравнение движения ли­ нейной механической, системы с одной степенью свободы при действии гармонической вынуждающей силы:

циент вязкости, с — коэффициент жесткости, Q0— ампли­ туда вынуждающей силы, со — частота возбуждения. Ре­ шение этого уравнения (для установившегося движения^ запишем в виде

q = А sin(cùt — а),

где а — сдвиг фаз, величина которого для нашего расска­

В системах с умеренным вязким сопротивлением мож­ но пренебречь отношением п/к по сравнению с едини­ цей, т. е. принять вместо резонансного условия (21.3) упрощенное соотношение со = к и соответственно вместо (21.4) — выражение Amax~ Q0k/(2пс).

При значительном вязком сопротивлении максимум амплитудно-частотной характеристики выражен весьма

В подобных случаях вынужденные колебания, соответ­ ствующие максимуму амплитудно-частотной характери­ стики, вряд ли уместно называть резонансными — тем бо-

лее что этот «резонанс» возникает при исчезающе малой частоте возбуждения. (В заключение подчеркнем, что

частота свободных затухающих колебаний становится мнимой, а свободное движение системы около равновес­ ного положения — неколебательным.)

« П с е в д о р е з о н а н с » . Сразу обратимся к вырази­ тельному примеру — упругой балке с распределенными параметрами, нагруженной произвольно заданной вынуж­ дающей нагрузкой q(x, t) (х — абсцисса произвольного сечения, t — время). Положим, что в результате решения задачи о свободных колебаниях балки найдены собствен­

ных колебаниях можно найти способом разложения на­ грузки в ряд по собственным функциям задачи о свобод­ ных колебаниях в виде

причем входящие сюда функции времени ^(^опреде­ лятся из дифференциальных уравнений

JmX\dx

0

10 я. Г. Пановко

Отсюда как будто следует, что если частота возбуж­ дения совпадает с какой-либо из собственных частот Ær,

растать. В действительности это не обязательно: может случиться так, что соответствующий коэффициент Вп вы­ числяемый по выражению (21.9), окажется равным ну­ лю. Это в самом деле произойдет, если закон изменения амплитуд нагрузки q0(x) ортогонален r-й собственной форме.

Рис. 21.2. иллюстрирует такой случай — здесь на балку действует равномерно распределенная по пролету вынуж­

зонансе, поскольку амплитуда вынуждающей силы равна нулю. Именно для этого случая иногда пользуются тер­ мином «псевдорезонанс».

Если углубиться в рассматриваемый вопрос, то мы прежде всего заметим, что при сколь угодно малой асим­ метрии распределения пагрузки нарушится и условие ор­ тогональности

I

а в соответствующем уравнении -{37.10) вновь возникает правая часть. Хотя она окажется очень малой, но все равно наступает резонанс и, формально говоря, размахи колебаний неограниченно возрастают с течением времени. Получается, что само состояние псевдорезонанса с прак­ тической точки зрения как бы неустойчиво относительно возмущений симметрии нагрузки.

С другой стороны, в наших рассуждениях не было учтено неизбежное трение. Понятно, что если его учесть, то резонанс, вызванный, вынуждающими силами с весьма малыми амплитудами, может оказаться вовсе не опасным. В конце концов можно заключить, что выполнение при­ веденного выше условия ортогональности, как правило, служит и достаточным основанием для того, чтобы .счи­ тать резонанс ложным. Разумеется, для вполне надеж­ ного вывода необходимы прикидочные оценки количе­ ственного характера.

Д е й с т в и е на б а л к у д в и ж у щ е г о с я с о с р е ­

А. Н. Крылов переходит к ил­ люстрациям и в качестве первого примера рассматривает

колебания однопролетной шарнирно-опертой* балки, воз­ никающие при равномерном движении груза передаю­ щего балке неизменную силу Р (рис. 21.3).

Прежде всего рассматривается вспомогательная за­ дача, в которой вес груза предполагается равномерно распределенным на малом участке длиной Л, Çk<l, где I — длина балки). Для случая нулевых начальных .усло­ вий решение найдено в видё бесконечной суммы, члены

нагрузки, Ь2 = EJ/(pF), EJ — изгибная жесткость балки,

*) На обсуждаемые ниже неточности внимание автора обра­ тили С. С. Кохманюк и Л. Г. Романенко.

**) Алексей Николаевич Крылов (1863—1945) — механик, ма­ тематик, кораблестроитель и историк науки. Академик (с 1916 г.), Герой Социалистического Труда (1943 г.). С 1890 г. в течение почти пятидесяти лет преподавал в Морской академии в Петербурге (Ленинграде).

чание: «Появление этих бесконечных коэффициентов вы­ звано, как известно, тем, что наша задача поставлена без учета трения. Это было сделано краткости ради и при введении членов, учитывающих трение, можно разрешить проблему без дальнейших трудностей тем же методом».

то необходимо члены, отвечающие значению п = пи за­ менить следующими...» (мы не приводим здесь довольно громоздкие выражения полученных А. Н. Крыловым ве­ ковых членов, содержащих время вне знаков тригоно­ метрических функций). И далее: «Формула (*) говорит об известном синхронизме между периодом свободного колебания стержня и интервалов времени, в течение ко­ торого груз пробегает всю длину стержня». Для соответ­ ствующей («критической») скорости движения груза А. Н. Крылов находит

где т — половина периода основного тона свободных ко­

средоточенной силы (Я-^0), после чего А. Н. Крылов пишет, что «в случае указанного выше резонанса» сла­

(***)

Впоследствии A. H. Крылов почти полностью вклю­ чил эти результаты в свои книги [23, 24], опустив, одна­

ко, выражения (***) для вековых слагаемых и лишь указав, что они должны быть учтены при условии (*).

К сожалбнию, во всех этих текстах А..Н. Крылов не отмечает, что из-за ограниченности времени пребывания груза на балке вековые слагаемые не могут беспредель­ но возрастать, а их наибольшее значение может быть настолько невелико, что вообще неуместно говорить о резонансе (или критической скорости) — по крайней ме­ ре в общепринятом смысле этих слов.

Невозможно усомниться в том, что это простое об­ стоятельство было вполне ясно самому А. Н. Крылову, но вряд ли ему стоило рассчитывать на ту же ясность представлений у каждого из читателей. Не исключено, что некоторые из них, заметив упоминание о резонансе и увидев в решении вековые слагаемые, могли всерьез

Любопытно, что найденный результат не зависит от скорости груза и для середины балки всего на 55% больше статического прогиба PI3/(4&Е7).

Этими выкладками вопрос по существу был полностью исчерпан, и единственное, с чем, пожалуй, трудно согла­ ситься в тексте С. П. Тимошенко — это опять-таки с упо­ минанием о резонансе (без кавычек). Подлинно резо­ нансная ситуация предполагает не только известный син­ хронизм, о котором писал А. Н. Крылов, но и достаточ­ ную длительность действия возбуждения.

Наглядное представление об относительно слабой ди­ намичности действия одиночного подвижного груза мож­ но получить из решения следующей модельной задачи. Вдоль консольной балки, масса которой т сосредоточена, на кощце,4с постоянной скоростью v движется груз веса Р\ достигнув конца, груз сходит с балки. Нужно найти

Р

Рис. 21.4. Действие «движущейся» силы на балку с одной степенью, свободы: а) схема; б) значения коэффициента динамичности при различных скоростях движения

положения равновесия при t== 0, можно получить следу­ ющее дифференциальное уравнение

При нулевых начальных условиях решение этого урав­ нения имеет вид

Таким образом, наибольшее значение прогиба достигает-