книги / Аналитическая геометрия.-1

6 2

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

[г л . III

Пусть даны точки ^ ( л ; ,,^ ) и

В (х 2, у 2). Составим

уравнение

пря­

мой, проходящей через эти точки.

Уравнение

пучка прямых

линий, проходящих

через

точку

А (Х1,Ух)> имеет

вид:

— *,),

у.— л =

(Щ

У г ~ Л =

*(* . — *.)•

(,9 )

Из

равенства

(19)

нужно определить

значение

параметра

k и

внести

это

значение в

уравнение

(18). Иначе

говоря,

нужно

исклю­

чить

k

из

уравнения

(18)

и

равенства

(19),

что

мы сделаем,

деля

(18)

на

(19).

Таким образом получим уравнение прямой, проходящей через

точки

Л

и В (хг, у г):

У

— У\ _ _

X — Xt

(20)

У г —

У х

*г —

*

Если

данные

точки А и

В лежат

на

прямой,

параллельной

оси

О х(у2— 3^ = 0)

или

оси

Оу{хг — д:1=

0),

то

уравнение

прямой

будет

соответственно

иметь

вид у = у г или

х = х х.

З а м е ч а н и е .

Из

соотношения (19)

мы

находим формулу

k — ^ Z l i

(19')

*2- V

'

§ 1 2 ]

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ

ЧЕРЕЗ ДВЕ

ТОЧКИ

6 3

П р и м е р

1.

Составить

уравнение

прямой

линии,

проходящей через

точки

Л (1, 2)

и

В (— 1, 1).

(20) xl = \ t

у { =

2,

хг = — 1, уг=

\,

получим:

Подставляя

в уравнение

и _2 I х __ 1

и _2 х __ 1

или

2у — 4 =

х — 1,

нлн

оконча­

у------ = — j-----у ,

откуда

— = ■—- — ,

пересечения прямых х - \ - у — 1 = 0 ,

х,— // -f- 2 = 0 и через точку (2,1).

П е р в ы й с п о с о б . Находи^

координаты точки пересечения двух данных

2х + 1 = 0,

откуда

х — — ^ .

Вычитая из первого уравнения второе, получаем:

2у — 3 =

0, откуда

у =

•

Далее, остается составить

уравнение

прямой

линии по двум точкам

3

. 1

3

, 1

3

, 1

у - т

* + 2 -

У

2

х + 2

у - - 2

* + ~

1 - 1

2+ 1

•,

или ------Г— =

—

, или —1

2

т 2

откуда

Ьу — у

= — * —

или

х + Ьу — 7 = 0.

В т о р о й

с п о с о б .

Составим

уравнение пучка прямых линий с центром

в точке пересечения двух данных

прямых:

х + у . - 1 + Х ( х - у

+

2) = 0.

(17")

отсюда найдем

параметр X:

2

2 -J- ЗХ =

0, или

— — *^у •

Подставляя k =

—

2

(17"), найдем:

в уравнение

§ 1 5 ]

ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ

6 5

Учитывая,

кроме того,

что

пр М Р = О,

и подставляя

найденные значения в

равенство

(22"),

получим:

или

х cos а 4* У sin а =

р ,

х cos а -\-у sin а — р — 0.

(23)

Этому

уравнению

удовлетворяют координаты

х , у любой точки

рассматриваемой прямой линии. Если же

точка

не лежит на

данной

прямой, то ее координаты этому уравнению удовлетворять не будут,

так

как

в

этом

случае

проекция соответствующей

ломаной на ось /

не

будет

равна

р.

Следовательно, уравнение

(23)

является

уравне­

нием данной

прямой.

называется нормальным уравнением прямой.

Уравнение вида (23)

Заметим,

что

нормальное

уравнение

прямой

характеризуется

двумя особенностями:

1) свободный член его

2)

сумма квадратов коэффициентов при текущих

координатах

равна единице

cos2а 4 “ sin2а =

1.

Как

бы

ни

располагалась

прямая

относительно

координатных

осей, ее

уравнение

всегда можно записать

в нормальном виде.

§ 15. Приведение общего уравнения первой степени к нор­

мальному виду. Пусть дано общее

уравнение

первой степени:

А х-\~ В у -\-С = 0.

(24)

Покажем,

что такое

уравнение

можно привести к нормальному виду.

С этой

целью

помножим обе

части

уравнения на постоянный мно­

житель Ж, подобрав его так, чтобы получилось уравнение вида (23).

Уравнение (24)

преобразуется

к виду:

МАх + МВу 4 - Ж С = 0.

(24')

Чтобы уравнение (24') было вида, одинакового с уравнением (23),

нужно положить:

jVL4= cosa, iWfi==sina,

Ж С = — р.

(25)

66

ПРЯМАЯ

ЛИНИЯ

[гл. Ill

или

Ж2(Д2+

Д2) =

1,

откуда

1

Ж =

(26)

бодного

члена

С,

как

это

видно из последнего

равенства

(25).

При С = 0

знак

можно

выбрать

произвольно.

Подставляя найденное значение Ж в равенства (25), получим

формулы

для

cos a,

sin а и р :

co sa =

sin а =

-

В

(25')

I£|/*Лг+ В2’

2+ B Z' P

+ V А2+ £ г ’

+ V A

Итак, уравнение (24) приводится к нормальному виду путем

умножения

его

на

множитель

Ж, определяемый по формуле (26).

Этот множитель Ж носит название нормирующего множителя.

П р и м е р .

Уравнение

прямой

линии

Зх — Ау — 5 = 0

привести

к нор­

мальному виду.

Нормирующий

множитель

равен:

М =

+

У 3 2-|-4 г

- Умножая

на него данное уравнение,

получим:

&

Для данной

прямой, следовательно,

имеем:

р =

1,

c o s a = - — , sina =

j4

-

О

5

разные стороны от данной прямой,

и со знаком

минус,

если они

лежат

по одну сторону от прямой.

Для точек,

лежащих

на

прямой, откло­

нение равно

нулю.

Пусть даны прямая

линия

уравне­

нием в

нормальном виде

х cos a -f- У sin a — р =

0

(27)

и точка

А (х г%у х). Найдем отклонение

d точки

А от данной

прямой.

пр O R A K P = n p O P = p .

( 2 8 )

УПРАЖНЕНИЯ

69

10. Диагонали

ромба,

равные

8

и

6

единицам длины,

приняты за

оси

координат. Найти уравнения сторон этого ромба.

11. Определить площадь треугольника,

заключенного

между

осями

коор­

динат и прямой 2х +

Ьу — 20 =

0.

12. Найти

площадь треугольника,

ограниченного прямыми

У

- 2 =

0,

3* —20 +

4 =

0,

х - 2 у - 7

=

0.

13.

Какая

зависимость

должна

быть

между

коэффициентами

а

и

Ъ%

чтобы прямая

=

1

была

наклонена

к

оси

Ох

под

углом:

а) 45°;

б)

60°;

в) 135°?

14.

Исследовать, как расположены относительно осей координат сле­

дующие

прямые:

а)

х —20 =

0;

б)

х — 1=

0;

в)

0 +

1 =

0;

г) х — 0 =

0;

д)

х +

у = 0;

е)

Ъх= 0;

ж)

Зу =

0;

з)

Зх +

20 — 6 =

0.

Построить

эти

прямые.

15.

Найти уравнение прямой, проходящей через точку (2,

3)

и наклонен­

ной к оси абсцисс под углом в 45°.

(2,

— 3)

парал­

16.

Найти уравнение прямой, проходящей через точку

лельно прямой, соединяющей точки (1, 2) и (— 1,

— 5).

(1,

2) и

перпен­

17.

Найти уравнение прямой, проходящей через точку

дикулярной к прямой, соединяющей точки

(4,

3) и (— 2,

1).

В (5, 1),

С (3,

6),

18.

Даны вершины

четырехугольника

ABCD: А (2,

2),

D(0, 3). Найти точку пересечения его диагоналей.

19. Вычислить угол между

прямыми:

a) 0 = -i-x + 2, 0 = 3* — 7; б)0 = 3х — 4, у = 3* + 5;

в) 0 = 3* — 1, у — — у Х + 4; г) 2* + 30 — 1 = 0 ; 4х + б0 + 2 = О;

Д) V zx — y — 1= 0, 1 ^ 3 i- 3 r / + 6= 0; е)

=

± - L = l -

ж) 2 х — 0 + 5= 0, * + 30 — 2 = 0; з) 4х + 30 — 1 = 0 , * + 20 = 0;

и)

* + 40 +

3 = 0,

50 +

7 =

0.

20.

Найти угол между прямыми: 3* — 20 +

7 =

0, 2 * +

30— 5 =

0.

с пря­

21.

Провести через точку (3, 3) прямые, составляющие

углы в 45°

мой 5* — 40 — 1 = 0 .

стороны

которого выражены

22. Найти внутренние углы треугольника,

уравнениями

* — 0 — 3 = 0, * — 3 0 — 4 = 0, 4* + 20+ 3 = 0.

23.

Найти

длины

сторон

и внутренние

углы

треугольника с вершинами

А (2, 1), В(3,

1),

С( 1,

2).

В (3, 0) и точка пересечения

24.

Даны две вершины треугольника А (2, 2),

его медиан D (3, 1). Найти третью вершину С.

начало координат

25.

Найти уравнение

прямой,

которая

проходит через

и а) параллельна прямой у =

2* +

3; б) перпендикулярна к прямой у =

— * — 1;

в) образует угол

в 45°

с

прямой у =

3* +

5.

70

ПРЯМАЯ

ЛИНИЯ

[гл .

Ill

26.

Найти

уравнение прямой, которая проходит через

точку

(—2, 3)

и

а) параллельна

оси Ох; б) параллельна биссектрисе

I

координатного угла;

в) параллельна

прямой у = 4х — 7; г) образует угол в 60° с прямой у = 2х — Г;

д) перпендикулярна к прямой

f/ =

-—x +

8.

27.

Найти

уравнения двух перпендикуляров к прямой

у =

5% +

1, вос­

ставленных в точках пересечения ее с осями координат.

х — // — 3 =

+

28.

Провести

через

точку

пересечения

прямых

0,

2х +

3//— 1 1 = 0

прямую, параллельную прямой 5х — 4у— 17 =

0.

4х +

+

29.

Провести

через

точку

пересечения

прямых

Зх — у — 3 =

0,

3// — 4 = 0 прямую, перпендикулярную

к первой из них.

30.

Провесги

прямую, соединяющую

точку пересечения прямых

И

х -

l 7 f / - 9

= 0,

12х +

1 3 г / - 5 =

0

с

началом координат.

х-{-у — 6 =

3!. Через точку пересечения

прямых

0,

2х — # — 3 =

0 про­

вести прямую

под углом в 45° к прямой

Зле— 5 = 0.

с

32.

Найти

прямую,

проходящую

через

точку

(2, —3)

и

образующую

осью

Ох угол,

вдвое

больший

угла,

образуемого

с

той

же осью прямою

y = Y x + 3-

прямых х — 2у— 5 =

33.

Через

точку

пересечения

0

и

2х — 3^ — 8 =

0

провести

прямую,

параллельную

прямой

Зх — 2 //+ 2 =

0.

34.

Через

точку

пересечения

прямых 2х— 3# +

5 =

0

и х — 4 # + 5 =

0

провести

прямую

под

углом

в

45° к прямой

2 х — 3 =

0 (угол отсчитывается

от

прямой 2х — 3 = 0).

35.

Стороны треугольника

выражаются уравнениями

х + 3 / / - 2 = 0, 2х + // + 5 = 0, З х - 4 = 0.

Найти уравнения высот этого треугольника.

36.

Вершины треугольника суть (0,

5), (1, — 2), (—6, 5).

Найти

уравнения

нениями

у== 4 х - f-4, у = — х + 4,

4// = х + 1.

40.

Найти уравнение прямой,

проходящей через начало координат и через

ниями х — у — 4 =

0, 2х — 1 1 / / + 37

=

0, 2х + 7у — 17 = 0.

( - 1

,

41*. На

прямой 4х +

3 # — 12 =

0

найти

точку,

равноудаленную отточек

- 2 ) и

(1, 4).

42. На

прямой

Зх +

2*/ — 5 = 0

найти

точку,

равноудаленную от точек

( - 1

,

- 1 ) и

(3, 3).