книги / Аналитическая геометрия.-1

УПРАЖНЕНИЯ

221

3* + 2у + 62 - 35 = 0,

21х — 30у — 70г — 237 = 0.

29. Найти

уравнение

плоскости,

параллельной плоскости хОг и

прохо­

дящей через точку (х„ ylt

г,).

проходящей

через три точки: (1, 1,

1)

30. Найти

уравнение

плоскости,

(2, 2, 2) и (3, 3, 3).

плоскости,

проходящей

через точки (х„

ylt

г,),

31. Найти

уравнение

перпендикулярной

к плоскостям

Агх +

Вху + С|2 + D1= 0,

Агх +

Вгу + С2г +

Dz=

0.

33. Найти точку пересечения плоскостей

х + */ +

2= 0,

2х — 3// +

4г = 0,

4х— 11у +

102=

0.

34.

Найти точку пересечения плоскостей

х + у + 2— 2 = 0; 2х — Зу + 4г — 3 = 0; 4 х — 1 \у + Юг — 5 = 0.

35.

Найти точку пересечения плоскостей

х — у -+ 2— I = °,

х + у — 2— 2 =

0, 5* + */— г — 7 = 0.

Г ЛАВА V

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

§ 1. Уравнения прямой линии. Положение

прямой линии

в про­

странстве

будет

вполне

определено,

если

зададим

на

прямой

опре­

деленную

точку

Ж0 при

помощи ее

радиуса-вектора г0 и вектор s

(отличный от нулевого), которому прямая

параллельна

(рис.

116). Этот

вектор

s

на­

Ъ

зовем направляющим

вектором

прямой. Пе-

ременной точке Ж прямой линии соответ-

ствует ее радиус-вектор

ОМ — т,

и

из

Рис. 116.

рис. 116 мы получаем:

дм==6м0+лСм.

(1)

r = r4-f< s,

(2)

причем t играет роль переменного параметра. Уравнение

(2) назо­

вем векторным уравнением прямой линии.

тельно

системы

с

началом

координат в точке О через а,

£,

с (это

будут проекции радиуса-вектора

г0), текущие координаты точки Ж —

через

JC,

у , z

(проекции радиуса-вектора

г)

и, наконец,

проекции

вектора

s — через

т, п , р.

Тогда, написав урабнёниё (2)

в

проек­

циях, получим:

(3)

x =

a - \ - m t ,

y =

b '- \- n i\

z =

c '- \ - p t,

§ и

УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ ЛИНИИ

223

Когда

параметр

t

изменяется,

точка с координатами х , у, z, опре­

деляемыми из

уравнений

(3),

движется по данной прямой. Уравне­

ния (3)

называют параметрическими уравнениями прямой линии.

Так как т, п,

р — проекции

направляющего вектора

s, которому

прямая

параллельна,

то

числа

т , л, р характеризуют

направление

прямой

линии в пространстве и их принято

называть направляющими

коэффициентами этой прямой. Заметим,

что при единичном

векторе

s = s°

коэффициенты т ,

л, р

становятся

косинусами углов

а, р, у,

координат Ох, Оу, Oz.

В этом случае

уравнения (2) и

(3) при­

мут вид:

x = a -\-t c°s a,

г =

го"Ь^°»

z = c -\-t cos у,

(2')

y =

£-{~*cos Р»

(3')

Ж0(д, Ь, с), взятое со

знаком -f- или —

в

зависимости

от

того,

будет ли направление вектора МйМ одинаково

или противоположно

направлению вектора s° (MQM = ts°). Другими

словами, в уравнениях

(2') и (3') i есть величина

направленного

отрезка MQM

рассматри­

ваемой прямой,

считая,

что

положительное

направление прямой

сов­

падает с направлением вектора s°.

cos р, cosy, зная ту

Посмотрим,

возможно

ли определить

cos a,

л, р.

Очевидно,

имеем:

S =

ss°,

где s

обозначает длину

вектора

s. Переписав

последнее

равенство

в проекциях, получим:

m = s cos а,

л =

$С05р,

p = s cosy,

(4)

s = У т2 -\- п2 -\-рг вектора

s{m, л, р).

Таким образом, из равенств (4) находим:

__ т ___ ______ т______

^

s

У т2+ пг -f- рг 4 \

0

п

п

|

(4’)

C0SP —

s

— y m*+ n * + p i’

j-

C0SY

—

+

J

2 2 4

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

[г л . V

Вместо параметрических уравнений (3) и (3') обычно определяют

прямую линию

посредством системы двух

уравнений первой степени

нений

(3)

или

(3')

путем исключения параметра

i. Так,

из уравне­

ний

(2) находим:

а __^ У — Ь __ ,

г — с _ 4

или

т

п

»

р

»

т

=

п

=

.

(5)

р

4 '

Уравнения

(5)

назовем

каноническими уравнениями прямой линии.

В частности,

при

т = cos а,

я =

cos (5,

p =

cosy

уравнения (5)

примут

вид:

х — а __ f/ — b ___г — с

cos a

cos р

cos у

*

Система

двух

уравнений

(5)

представляет

нашу

прямую линию

как

пересечение двух

плоскостей,

определяемых

уравнениями

х — а г — с у — Ъ 2 — с

т

р

*

п

р

Заметим,

что

в

канонических

уравнениях

все

коэффициенты

т , я, р одновременно

не могут

обратиться

в

нуль,

так

как s=^=0.

Но некоторые из них могут быть

равны

нулю. В этом

случае за­

пись (5)

понимают

условно,

в

том

смысле,

как

это разъяснялось

в § 13 гл. II.

т = 0,

Пусть,

например,

а

я=^=0. Тогда

в

соответствии со ска­

занным

в

§

13 гл. II

п (х — а) =

0 • (_у — Ь),

т. е.

х — а = 0.

Тот

же

результат

мы,

конечно,

получим

и

из

уравнений (3). Заме­

тим,

что

равенства

означают

геометрически

одно

и

то

же:

первое

из них

показывает,

что

прямая

перпендикулярна

к

оси

Qxy а вто{юе,

что

прямая лежит

в плоскости,

перпендикулярной

к

оси

Ох.

З а м е ч а н и е .

Можно

вывести

уравнения прямой

линии,

не прибегая

к векторам. Возьмем

на

прямой линии, определенную точку М0(а, Ъ, с) и пере­

менную

точку

М (х,

у ,

г).

Обозначим

через

а,

(5,

у

углы

данной прямой

(определенным

образом

выбранного направления этой

прямой) с осями коорди­

нат Ох, Оу,

Ог, а через Q — расстояние МПМ, взятое со знаком-j - или — в за­

висимости от того, будет ли

направление отрезка М0М одинаково* или противо-

п оложно выбранному* направлению на

прямой.

§ 2J

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

225

х — а = Q cos a,

y — b =

Qcos р,

г — с =

Q cos у.

Исключая Q из трех последних

уравнений,

за­

пишем уравнения

прямой линии в виде

х ~ а = У — ь _ г — с

cosa

cos р

cos у

'

'

Умножая

знаменатели

отношений (5') на одно

и то же

произвольное число, представим

урав­

нения прямой линии в виде

х — а __ у — b _

z —~с

.g.

т

п

~~

р

'

'

''

Рис. 117.

т

п

=

^

р

(5)

' 1

коэффициент р отличен от нуля,

т. е. прямая не параллельна пло­

скости хОу. Запишем эти уравнения раздельно

в таком виде:

х — а __ z —с

у — Ъ___г — с

(6)

т

р

’

п

р

При нашем условии уравнения (6) вполне

определяют прямую.

Каждое из них в отдельности

выражает плоскость, причем первая

из них параллельна оси Оу, а

вторая — оси Ох.

Таким образом, представляя

прямую

линию

уравнениями вида (б),

рующих эту

прямую на плоскости

координат xOz и yOz. Первое

из уравнений

(6), рассматриваемое

в плоскости xOz, определяет

можно

сказать, что дать уравнения прямой линии в виде (6) — это

значит

дать

ее проекции на плоскости координат

xOz и yO z.

Если бы направляющий коэффициент р был равен нулю, то

обязательно

хотя бы один из двух

других коэффициентов, напри­

мер Му

был

бы отличен от нуля, т.

е. прямая

не была бы парал­

лельна плоскости yOz. В этом случае

мы могли бы выразить прямую

228

ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

Ггл. v

Решая первое из этих уравнений относительно

х, а

второе относительно у ,

найдем искомые уравнения в проекциях:

х = — 2z +

1»

у =

— Зг.

П р и м е р

3. Привести уравнения

в проекциях

^

х = 3z — 2, у = 2z -f- 1

к каноническому виду.

Решая данные уравнения относительно г, получим:

___* +

2

„ _ У -

1

Отсюда

3

’

2

*

х +

2 _ г / — 1 _

2

3

2

1

*

П р и м е р

4. Привести уравнения

в проекциях

У — — 2,

г = Ъх — 1

к каноническому виду.

Переписав систему уравнений в виде

найдем:

у = 0-х — 2, а = Зх — 1,

х _</ + 2 _ z +

1

1

0

3

’

Уравнения в проекциях можно

получить

и из общих

уравнений прямой (7),

х и у; если прямая

параллельна плоскости хОу,

то привести

уравнения (7)

к уравнениям (6) не удастся,

но тогда

можно привести уравнения (7) к урав­

нениям в проекциях на другую пару координатных плоскостей.

Если

требуется

общие

уравнения прямой

привести к

каноническим,

то можно предварительно перейти к уравнениям в проекциях.

П р и м е р 5. Привести уравнения

прямой

2х-\-у — z + 1 = 0 ,

Ъх — .у -\-2г — 3 = 0

к каноническому виду.

относительно х и у , найдем уравнения в проек­

Решая данные уравнения

циях

Выражаем

из этих уравнений

z:

§ Я

УСЛОВИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ

2 2 9

X

2_

г

5

х — а , у — Ьх

2 — ct

х — Ощ У — Ь2 г — с2

тх

пх

рх

’

т2

~

п2

р2

Очевидно,

за угол

ср

между

ними

можно

принять

угол

между

их направляющими

векторами

{тхх пХУ рх)

и

{ т 2, л2, р2)

или

угол,

дополняющий

его

до

я.

Поэтому

по

формуле

(17')

§

10

гл. II

имеем:

тхт2 + пхп2 +

рхр2

cos ф = ±

(8)

В формуле (8) можно ставить любой знак,

что соответствует

вы­

бору одного из двух различных

углов

между

данными прямыми.

П р и м е р . Найти угол между

прямыми

х — \

у

2 + 3

X _ у + 2 _ г

1

“ — 4 *

1

2

— 2

— 1 *

Для первой прямой, направляющие коэффициенты будут: т , = 1, л, =

— 4

р, = 1, а для

второй: тг — 2, п2=

— 2, рг=

— 1. Следовательно:

COS Ф =

i r

1.2 + ( - 4 ) ( - 2 ) + 1 . ( - 1)

1

4)’ +

1* • Y 2 1 + ( - 2)* +

V \* + ( -

( - ! ) *

тхтг + п \пг Л~Р\Рг = 0 (условие перпендикулярности).

(9)

З а м е ч а н и е . Это

условие получится сразу, если заметим,

что

скалярное

произведение

векторов {тхх пхх р х) и {/»*, пг1 рг) должно

быть равно

нулю.

2 3 0

ПРЯМАЯ

ЛИНИЯ

[гл. V

Так как

направление

прямой

определяется

отношениями т :п:р,

то условие параллельности двух прямых будет:

=

(условие параллельности).

( Ю . )

З а м е ч а н и е .

Это

условие

можно

получить, заметив, что век­

торы {/я,, я,, р,}

и {тгУпгу рг)

коллинеарны.

линии,

проходящей

З а д а ч а .

Составить

уравнения

прямой

через данную точку (а,

Ьу с) параллельно прямой

х — а __ у — ь __z — с

М

N

Р

*

Так как эта прямая параллельна

данной

прямой,

то должно вы­

полняться условие

их

параллельности:

М _ __

т

п

р ’

откуда

можно

взять М = т у N = n , Р = р . Следовательно, уравнения

искомой

прямой суть:

х — а ___у — Ь __ z — с

т

п

р

*

§ 5. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки.

Пусть

нужно

найти

уравнения

прямой,

проходящей

через

точки

Мх(я,, у г, Zy)

и Мг (хгу у гУ zt). Будем

искать

эти уравнения

в кано­

нической форме.

Для

решения

задачи достаточно

знать

координаты одной из

Мх(х1Уy x, z x). За направляющий же

вектор прямой примем вектор

МхМг. Проекциями его на координатные оси будут:

*t —

Уг— Ух

г г — г х.

Уравнения искомой прямой примут вид:

х — Х у

у — у у

z — Z y

(Н )

X

1-х

_ У г У х __:3» Т" г х

Так как точка М%(xz, yXt гг) лежит на прямой, то

------ i

т

П