Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Аналитическая геометрия.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

10.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2816 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

УПРАЖНЕНИЯ

151

Вычислить

площадь

треугольника

вершинами

в точках

(1,

— 2),

(2, 3).

(4, 5).

1), (3,

3),

(0,

на

одной

прямой?

Лежат ли три точки (1,

(3,

2) я

Составить

уравнение

прямой,

проходящей

через

две

точки

( - 1, 3).

треугольника с вершинами А (х,,

г/,), В (x2f y2)t С (х„ у2).

Найти высоту

7. Пользуясь решением предыдущего упражнения,

найти площадь треуголь

ника с

вершинами А (х„

ух\

В (х2, у2), С(х8, у2).

Показать,

что площадь выпуклого четырехугольника ABCD с вершинами

Л (* 1,

«/,), В(х19 у2),

С(х3, уь\

П (х4,

//4)

равна

“

Г I*1у' 1-1- \*2

i/з I

Н-1-1*4tJi II

L U * 1/2 1

l * i

r / J z / i

| J

При каком порядке обхода

вершин выражение в скобках будет иметь знак

+ ?

Упростить выражения:

cos a

sin Р 1

sin а

sin р

cos а

cosp

а) sin а

cosp

; б)

— cos а

cosp

1 ;

в)

cos а

cos (а +

Р)

cosp

cos(a +

10. Вычислить определитель

АВ D

ВС Е . DE F

11. Найти х из уравнений:

х2 4 9		х	— 1 3		х 2х	9
а) х 2 3	= 0;	б) — 4	х	5 = 0.	в) 3 5	10
1 1 1		6	— 3	7	1 3	8

12. Доказать тождество:

ах	аг +	хг	1
ау	о2+	Уг	1	= а(х — у){у — г)(г — х).
аг	а2+	г2	1

Ч А С Т Ь В Т О Р А Я

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Г Л А В А

МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 1. Прямоугольные координаты. Укажем теперь способ, позво

ляющий определять

положение любой точки пространства числами.

Через

некоторую

точку

О пространства проведем три взаимно

перпендикулярные

оси

Од;,

Оу,

O z— оси

координат, относительно

которых

мы будем

определять положение точек пространства. Оси

координат

обычно

располагают

так,

как

это указано на рис. 82;

оси

Ох и Оу — горизонтально, а ось

Oz —

вертикально; при этом ось Од: направляют

вперед

(в сторону читателя), ось Оу — слева

направо,

ось

Oz — снизу

вверх1). Ось

Од;

называется

осью

абсцисс,

Оу — осью орди

нат,

Oz — осью аппликат. Точка пересече

ния

координатных

осей

называется

нача

лом

координат.

Наконец,

выберем

едини-

цу

масштаба.

Теперь

положение

всякой

точки

прост

ранства можно определить тремя действитель

ными

числами— координатами

этой

точки.

Рис.

82.

В самом деле, всякой точке М соот

ветствует

три точки

Я, Q, R

на осях

ко

ординат,

являющиеся ее проекциями

на

эти

оси**).

Обратно, зная

точки Я,

и R

на

осях,

можно

построить

единственную

точку

М в пространстве,

для

которой

Я,

Q и

являются

проекциями

на

координатные

оси.

Таким

образом,

определение

положения

точки

М сводится

к определению

положений ее

проекций

Я,

Q и Я, лежа

щих соответственно на осях Од:, Оу и Oz, Мы уже знаем, что положение точки Я оси Од: вполне определяется числом х, пред

ставляющим собой величину направленного отрезка ОЯ. Это число х, координата точки Я — проекции точки М на ось Ох, — принимается

*) См. замечание 2 в конце этого параграфа.

*) Проекция точки М пространства на ось — это точка пересечения оси с перпендикулярной к ней плоскостью, проходящей через М.

§ 1]

ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ

1 5 3

за первую координату точки М и называется ее абсциссой. Совер шенно так же положение точек Q и R вполне определяется числами у и z, представляющими собой величины направленных отрезков


OQ и OR. Числа у					и г,		координаты точек Q и R,— проекций точки
М на оси			Оу и	Oz,— принимаются со
ответственно за вторую и третью коор
динаты точки				М. Вторая				координата
у	называется			ординатой				и	третья
z — аппликатой.
	Таким		образом,		положение				любой
точки		М пространства вполне опреде
ляется		тройкой		чисел х , у , z,					первое
из	которых является					абсциссой			точки,
второе — ординатой					и	третье — аппли
катой.
	Координаты			точки		условимся			запи
сывать в скобках рядом с буквой, обо
значающей			се,	ставя		на	первом		месте
абсциссу,			на втором — ординату и на
третьем — аппликату					М (дг, у , z).
	Оси координат Ох, Оу и Oz,
взятые попарно, определяют три вза
имно		перпендикулярные					плоскости хОу, yOz и zOx, называемые

плоскостями координат. Эти три плоскости делят все пространство на восемь частей, называемых октантами, причем точкам каждого октанта соответствует определенная комбинация знаков координат (рис. 83):

в	1	октанте	* >		0.	*><>,	2	>	0	,
во	11	октанте	х < 0 ,			у > 0 ,	* >		0	,
в	III	октанте	*	<	0,	* < о ,	2	>	0	,
в	IV	октанте	* >		0,	^ < 0,	г >		0	,
в	V	октанте	* > о ,			у > 0 ,	* < 0,
в	VI	октанте	х < 0 ,			у > 0 ,	. 2 <		0,
в	VII	октанте	*	<	0,	^ < 0,	2 <		0,
в	VIII	октанте	*	>	0,	у < 0 ,	2 <		0.

Если точка М лежит в плоскости координат д:Оу, то						z — 0;
аналогично для	точек плоскости	yOz координата je= 0; для				точек
плоскости zOx координата у = 0.		Если	точка М лежит на оси				Ох,
то y = z = 0;	аналогично для	точек	оси	Оу	координаты	z	и х
равны нулю, для точек оси Oz		координаты		х	и у равны	нулю.
Наконец, в начале координат x — y = z — 0.

Координаты, которые принимаются в описанном способе для опре деления положения точки, называются прямоугольными, так как точ ка М определяется пересечением трех плоскостей, пересекающихся

1 5 4	МЕТОД	КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ	[гл. I
под	прямыми углами (см.	задачу И), и по имени	Декарта — также

декартовыми. Из описанного метода координат вытекает решение

двух основных задач.
З а д а ч а	I. По данной точке М					определить ее координаты.
Через данную точку М проводим три плоскости параллельно
плоскостям координат; три				точки	Р, Q и /?,		получающиеся в пере
сечении этих	плоскостей		с	осями	координат		Ох, Оу и Oz и являю
щиеся проекциями		точки	М на эти оси,			определяют три координаты:
	х =	вел ОР,		у = вел OQ,		z — вел OR.

Проведенные через точку М три плоскости вместе с тремя^коор динатными плоскостями образуют прямоугольный параллелепипед,

ребра которого OP, OQ и OR называются координатными отрезками

точки М.		II. Зная координаты х, у и z			точки М, построить
З а д а ч а
эту	точку.		числам х, у	и z строим		Q и R
По трем		данным			три точки Р,
на	осях координат,		откладывая	соответственно по осям		отрезки
OP,	OQ и OR, величины которых			равны соответственно х,		у и z.

Проводя	через	точки Р, Q и R три плоскости, параллельные пло
скостям	координат,		в	пересечении их получим единственную точку М ,
для которой х,		у,	z	будут	координатами.
З а м е ч а н и е			1.	Если	мы условимся рассматривать направлен

ные отрезки PS и SM (рис. 82) как отрезки осей, направления ко торых совпадают с направлениями параллельных им координатных осей, то ордината точки М будет выражаться не только величиной отрезка OQ, но и равной ей величиной отрезка PS.

Аналогично аппликата точки М выразится как величиной отрез

ка OR, так и величиной отрезка SM.

Тогда при решении этих основных задач не является необходи мым проводить плоскости, параллельные плоскостям координат. Так, в задаче I опускаем из данной точки М перпендикуляр на плоскость координат хОу. Его основание S (рис. 82) определит проекцию

точки	М на плоскость хОу. Из точки 5 опускаем перпендикуляр
на ось	Ох; его основание Р определит проекцию точки М на ось Ох.

Следовательно, три звена направленной ломаной линии OPSM определяют три координаты точки М:

вел О Р = х , в е л Р 5 = у , B enSM = z.

Так же при решении задачи II откладываем по оси Од; от точки О отрезок длиною |дг| единиц (вперед или назад — смотря по знаку х); через конец Р этого отрезка проводим в плоскости хОу прямую па раллельно оси Оу и откладываем на ней от точки Р отрезок длиною \у\

§ 21	ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ					155
(вправо	или влево — смотря по знаку у);	получим точку S ,			через
которую проводим прямую параллельно оси			Oz и откладываем			на
ней от	точки 5 отрезок длиною \z\ (вверх		или	вниз — смотря		по
знаку z). Конец этого отрезка и является искомой точкой М.
Направленные отрезки PS и SM (так		же	как	и отрезки	ОР,

OQ и OR) мы будем называть координатными отрезками точки Ж.

Направленную ломаную линию

OPSM,

на

чалом которой является начало координат, а

концом — точка

Ж, и

три

звена

которой яв

ляются координатными отрезками точки Ж,

будем

называть

координатной

ломаной

линией

точки Ж.

Из

всего

изложенного

следует,

что

каж

дой точке пространства в выбранной системе

координат

соответствует тройка чисел х , y tz—

координат

точки — и,

обратно,

всякая

тройка

действительных чисел х, у, z определяет в

указанные три

числа

пространстве

единственную

точку, для

которой

являются

соответственно

абсциссой,

ординатой

и аппликатой.

По

этому

задать

точку — это значит задать

ее

ко-

\ординаты; найти точку — значит найти ее ко

	ординаты.
	З а м е ч а н и е		2.	Возможны два типа взаимного
	расположения осей прямоугольной декартовой систе-
--------------мы координат в пространстве. Если мы будем смот
	реть из какой-либо точки положительной полуоси Oz
	на положительную полуось Оу, то ось Ох может
	быть направлена вправо или влево. В первом слу-
Рнс. 85.	чае система	координат			называется правой	сис
	темой (рис.	84),	а	во	втором — левой (рис.	85).
Для правой системы поворот от оси				Ох к оси Оу на прямой		угол

будет нам казаться происходящим против часовой, стрелки (если


смотреть	на	плоскость		хОу из	какой-либо	точки положительной
полуоси	Oz),	а для	левой — по		часовой. Можно пользоваться как
правой, так и		левой	системами. В дальнейшем			мы будем применять
только правую		систему		координат.

§ 2. Основные задачи. Изложенный в § 1 метод координат приложим к решению многих задач. Рассмотрим сначала одну задачу вспомогательного характера, а затем (так же как и в первой части книги) разберем задачу о расстоянии между двумя точками и задачу

оделении отрезка в данном отношении.

За д а ч а I. Зная координаты точки относительно некоторой системы, найти координаты той же точки относительно новой системы, оси которой параллельны прежним осям.


156		МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ					[ГЛ. I
Пусть	координаты		точки		М	относительно системы координат
Oxyz суть	х, у	и z.	Возьмем		другую систему		координат OxX YZ9
оси которой ОхХ 9 OxY и				OxZ		соответственно	параллельны осям
Ох9 Оу и	Oz и	направлены		в	те	же стороны (рис. 86). Координаты

точки Ох— нового начала — в старой системе пусть будут а9 Ь и с. Обозначим через X, Y и Z координаты точки М в новой системе. Спрашивается, как связаны между собой координаты точки М в ста

рой и	новой системах? Пусть			А — проекция	точки О, на ось Оу,
a Q и	Qx— проекции		точки М	соответственно	на оси Оу и OxY x).
Тогда (ч. 1, гл. I,		§	1)
или	вел Оф =	вел СМ-[-вел Л <2= вел СМЦ-вел О ^ ,
			y =	b + Y .	(1)

Совершенно так же, проектируя точки О, и Ж на оси Ох и Oz9

найдем:		(2)
* =	а +	(2)
z =	c -\-Z .	(3)

Полученные формулы позволяют, зная X , Y и Z, найти лг, у и z. Чтобы, обратно, зная х 9 у и z 7 найти новые координаты X , У и Z, нужно разрешить уравнения (2), (1) и (3) относительно X , Y и Z. Будем иметь:

	Х = х — a, Y = у — bt				Z = z — с.	(4)
З а д а ч а II.		Найти	расстояние	между двумя		данными точ
ками.	точка	М имеет	координаты	лг,	у и гг,, то	ее расстояние
Если
от начала	координат представляет длину диагонали					прямоугольного

]) Вывод формулы проведен для координаты у , так как в этом случае чертеж наиболее нагляден.

§.2J		ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ					157
параллелепипеда, три измерения которого суть \х \ у(^ \| и \z\							(рис. 82).
Следовательно, обозначая через d искомое расстояние, имеем:
откуда		____________
		d = У х г-\-уг- ^ z z9					(5)
т. е. расстояние точки		М (х,	у , z) от начала		координат равно
квадратному корню из суммы			квадратов	координат этой точки.
Пусть	теперь даны	две точки Мх(хХУу ХУ zx)			и	Mt (xty у гУ zt);
чтобы найти расстояние		между	ними, перенесем		начало		координат
в точку	Мх(х1У у ХУ zx)y сохраняя направления осей.					Относительно
новых осей координаты		точки	Мх будут	(0, 0,	0),	а координаты
точки	определятся формулами (4): Мг {хг— х 1Уу г— у 1Уzt — zx).
Следовательно, по формуле (5) получим:
	d — V (x t — х,)г+		(уг— .у,)2+	(гг — г,)2,			(6)

т. е. расстояние между двумя точками Мх (хХУу ХУгх) и Мг{хгуу „ гг) равно квадратному корню из суммы квадратов разностей одно именных координат этих точек.

П р и м е р .	Найти	расстояние между	точкой Afj(l, 2,	3) и	точкой
Af, ( — I. 2. - 2 ) .		по формуле (6)	__________		__
Искомое	расстояние	по формуле (6)	будет d = У 2 24 -	0 + 5 г=	V29.

	З а д а ч а			III. Найти координаты					точки М, делящей данный
отрезок АВ в данном							отношении.
	Пусть			заданы			две	точки
А ( х 1 > У ху			* I). В		( х ьу У г у * t )			и Д ан0
отношение Л, в котором некоторая
точка М (лг,				у % z)		делит		направ
ленный		отрезок			АВ:
			^ __ вел AM *)
					ъелЖв
Найдем		координаты точки М.
	Пусть		Q,,		S y	Qt	суть	проек-	Рис. 87.
ции	точек			Л,	Му	В	на	ось Оу
(см.	рис.		87).		Тогда		АМ :М В = QxS:SQzy так как отрезки двух

прямых, заключенные между параллельными плоскостями, пропор циональны.

___Легко заметить, что величины направленных отрезков АМУМВУ QXS и SQt удовлетворяют аналогичному равенству

вел ЛУИ	вел QXS	(8 )
вел МВ	вел SQt

*) Подробно постановку задачи см. ч. 1, гл. I, § 6.

1 5 8 МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ [г л . I

Так как						___
	1, гл. I, §		вел Q S = y — y t,			вел SQt = y z— у
(ч.	1, гл. I, §		3) и, по условию,
				вел A M __ ^
					вел МВ	*
то равенство (8) примет вид:
откуда			у ) < или y			b y t — t y ,
у —	у 1 — К ( у г —		у ) < или y	—	y t =	b y t — t y ,		Т. е .. у +	Я . у = 1у , 4 - Я . у 2.
Вынося в левой			части у за		скобку, получим:
и,	наконец,				___ У\ + ЬУг
					___ У\ + ЬУг				(9 )
				У — Т + Т -					(9 )
Чтобы найти координаты х и z						искомой		точки	Ж, проектируем
точки Л, Ж,		Б на оси Ох и Oz и				аналогично получаем:
					. __1 + ^2				(10)
					\ + Х		’
					z,	-f-
	Полагая в	полученных		формулах Я =			1,	найдем координаты сере
дины отрезка
		Х = = * _ 1 + Ь '			y = ! ± p z ,				( 12)

т. е. координаты середины отрезка равны полусуммам координат его начала и конца.

П р и м е р .

Найти

координаты

точки

М,

делящей

отрезок

АВ

между

точками Л (1, 2,

3) и В( — 1, 2, 3)

в отношении

1:2.

Здесь хх= \ ,

ух= 2,

гх =

х2 = — 1,

yz— 2,

zz=

Х =

Следовательно,

§ 3. Основные положения теории проекций в пространстве.

Предварительно

мы

уточним

понятие

угла

между

двумя

осями

в пространстве.

1Х и

в точке S . Угол

Рассмотрим

две

оси

/2,

пересекающиеся

между ними

условимся* понимать

как

угол,

на который

нужно по

вернуть одну из них вокруг точки 5, чтобы ее положительное направление совпало с положительным направлением другой оси (поворот производится в плоскости, определяемой осями).

§ 3]

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПРОЕКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ

159

Угол условимся брать лишь в границах от 0 до я, не различая порядка, в котором указаны оси (если нет особых указаний). Поэтому

угол между осями /, и /2 будем обозначать или (/^ /2) или (1^1Х).

Заметим, что угол между двумя осями на плоскости мы брали со знаком (знак выбирался в зависимости от направления поворота: по или против движения стрелки часов). Однако в пространстве направление поворота от одной из осей до другой зависит от того, с какой стороны мы будем смотреть на плоскость, определяемую данными пересекающимися прямыми. Поэтому в пространстве мы условились не различать порядок, в котором заданы оси, и угол брать в границах от 0 до я.

Мы предполагали, что данные оси имеют общую точку. Рассмотрим теперь две непересекающиеся оси /, и /2 (рис. 88);

выберем произвольную точку 5 пространства и проведем через нее

две оси		1Х и	/2,	соответственно па				4
раллельные осям /,					и	/2 и	одина
ково	с	ними	направленные;				углом
между	непересекающимися осями 1Х
и /2 мы будем				считать		угол	между
осями	1Х и /2.
Угол между				осью	и	направлен
ным отрезком			в	пространстве			усло
вимся	понимать			как	угол		между	Рис. 88.

этой осью и осью, положительное направление которой совпадает с направлением данного отрезка.

Аналогично углом между двумя направленными отрезками будем считать угол между осями, положительные направления которых совпадают соответственно с направлениями данных отрезков.

Основные положения теории проекций (ч. 1, гл. I, § 8) легко переносятся на пространство. Как уже было сказано, проекцией точки М пространства на ось называется точка /я, получаемая в пересечении оси с перпендикулярной к ней плоскостью, проходящей через точку Ж (рис. 89). Определение проекции направлешюго отрезка

на ось остается тем же, что и на плоскости; пр^ А£==вел ab (рис. 90).

160

МЕТОД КООРДИНАТ

В ПРОСТРАНСТВЕ

[ГЛ. I

Как

случае

плоскости, проекция

направленного

отрезка

АВ

на ось

равна произведению

длины

АВ проектируемого

отрезка на

косинус угла а между осью про

екций

и данным

отрезком:

пр, АВ =

А В • cos а.

(13)

Для доказательства этой фор

мулы в случае пространства прове

дем через начало А отрезка

АВ

вспомогательную ось V (рис. 90),

параллельную оси / и имеющую

то же положительное направление.

Очевидно, пр, А В = пр*/ АВУа угол

осью V и

между

осью

и отрезком

АВ

равен углу

между

этим

отрезком.

Теперь

можно восполь

зоваться справедливостью доказываемой формулы при расположении направленного отрезка и оси Г в одной плоскости. Остается еще

заметить,	что хотя угол а между			осью	и отрезком на плоскости
мы брали	со	знаком	или — , а также		допускали	значения угла,
ббльшие	по	абсолютной	величине,	чем я,	но всегда	можно выбрать

этот угол по абсолютной величине не превосходящим я; кроме того,

можно заменить угол в формуле			(13) его	абсолютной		величиной,
что	не влияет на значение	косинуса. Таким			образом, угол в
этой	формуле достаточно брать	в	границах	от	0 до я,	что нахо

дится в соответствии с определением угла для пространственного случая.

Так же легко проверить, что					если		рассматриваемый направлен
ный отрезок		АВ расположен		на некоторой				оси	и, то его проекция
на ось	/ и в	случае, пространства			будет		равна		произведению		вели
чины отрезка на			косинус угла <р между осями I и и:
			пр, ЛБ==вел i4Z?«cos ф.								(14)
Определение			направленной	ломаной		и ее проекции на ось остается
таким	же,	как	и для плоскости.		На	рис.		91	пр ABCDEF=Benaf.
Как и раньше, проекция ломаной					равна		сумме проекций			ее звеньев.
Проекция ломаной не зависит				от	ее формы, а				зависит	лишь от по
ложения начальной и конечной точек.						Проекция ломаной равна					про
екции ее замыкающего отрезка. Проекция								замкнутой ломаной			равна
нулю.

§ 4. Вычисление угла между двумя осями в пространстве.

Рассмотрим некоторую ось / в пространстве, и пусть а, р, у суть углы, которые она, образует с осями координат (рис. 92).

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2816 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги