
книги / Аналитическая геометрия.-1
.pdfИ. И. ПРИВАЛОВ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
ИЗДАНИЕ ДВАДЦАТЬ ДЕВЯТОЕ,
СТЕРЕОТИПНОЕ
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования РСФСР
в качестве учебника для высших технических учебных заведений
И З Д А Т Е Л Ь С Т В О « НАУКА»
М О С К В А 1 9 6 4
517.3
П75 УДК 516. •/« (075.8)
Иван Иванович Привалов. Аналитическая геометрия.
М.* Физматгиз, 1964 г., 272 стр. о илл.
Техн. редактор К. Ф. Брудно. |
Редактор Я. А. Угарова. |
Корректор Г. С. Страхов |
Печать с матриц. Подписано к печати 18/X1I 1963 г. Бумага 60Х90"/|С. Физ. печ. л. 17 Условн. печ, л. 17, Уч.-изд. л. 16. 12. Тираж 100 000 экз. Цена книги 58 коп.
Заказ № 1180.
Издательство «Наукаэ Редакция математической литературы. Москва. В-71, Ленинский проспект, 15.
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова Главполиграфпрома Государственного комитета Совета Министров СССР по печати*
Москва, Ж-54. Валовая, 28.
|
|
|
|
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
|
|||
Предисловие автора к тринадцатому изданию |
|
|
7 |
|||||||
От издательства |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
||
Вв е д е н ие . |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
||
|
|
|
|
|
ЧАСТЬ |
П Е Р В А Я |
|
|
||
|
|
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ |
||||||||
Г л а в а I. Метод координат |
|
|
|
|
|
1! |
||||
§ |
1. |
Направленные |
отрезки . . . |
|
|
11 |
||||
§ |
2. Координаты на прямой линии...................................... |
|
|
14 |
||||||
§ |
3. Расстояние между двумя точками на прямойлинии |
15 |
||||||||
§ |
4. |
Прямоугольные |
координаты |
на плоскости . . |
15 |
|||||
J |
5. Расстояние между двумя точками на плоскости |
18 |
||||||||
§ |
6. Деление отрезка в данном отношении |
|
19 |
|||||||
§ |
7. |
Угол между двумя о с я м и ..................... |
|
|
|
22 |
||||
§ 8. Основные положения теории проекций ................ |
|
24 |
||||||||
§ 9. Проекции направленного отрезка на оси координат |
27 |
|||||||||
§ |
10. |
Площадь треугольника |
|
|
|
|
29 |
|||
§ 11. Полярные координаты . |
|
|
|
|
31 |
|||||
Упражнения. |
|
|
|
|
|
|
|
33 |
||
Г л а в а II. Линии и их уравнения . |
|
|
|
36 |
||||||
§ |
1. Составление уравнений заданных линий |
|
36 |
|||||||
§ |
2. |
Геометрический |
смысл уравнений |
|
|
37 |
||||
§ |
3. |
Две основные задачи . |
|
|
|
|
40 |
|||
§ |
4. Пересечение двух |
линий.................. |
|
|
|
40 |
||||
§ |
5. Параметрические |
уравнения |
линий . . . |
|
41 |
|||||
§ |
6. Уравнения линий в полярных координатах |
|
41 |
|||||||
Упражнения . |
|
|
|
|
|
|
|
44 |
||
Г л а в а |
III. Прямая линия |
|
|
|
|
|
46 |
|||
§ |
L |
Угловой коэффициент прямой.................................... |
|
|
46 |
|||||
§ |
2. |
Уравнение прямой |
линии |
с |
угловымкоэффициентом...47 |
|||||
§ |
3. Геометрический |
смысл |
уравнения |
первой |
степени |
между двумя |
||||
§ |
4. |
переменными |
общего..................... |
уравнения |
первой |
степени |
48 |
|||
Исследование |
А х -{-B y-J- |
|||||||||
§ • & |
+ С = 0 .......... |
|
|
линии |
в |
отрезках |
50 |
|||
Уравнение прямой |
51 |
4 |
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
§ |
6. |
Построение прямой линии по ее уравнению , |
53 |
§ |
Т. |
Угол между двумя прямыми............................................................. |
53 |
§8. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых . . 55
§9. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном
|
|
направлении .......................................................................... |
|
. |
|
56 |
§ 10. |
Взаимное расположение двух прямых на плоскости |
|
58 |
|||
§ 11. Уравнение пучка прямых ............................................................. |
|
|
60 |
|||
§ |
12> Уравнение прямой, проходящей через |
две данные точки |
. . |
62 |
||
§ |
13. |
Условие, при котором три данные точки лежат на одной |
пря |
64 |
||
|
|
мой .................................... |
• ...................... |
|
|
|
§ |
14. |
Нормальное уравнение прямой л и н и и .................................................... |
|
64 |
||
§ 15. |
Приведение общего уравнения первой степени к нормальному |
|
||||
|
- |
виду ................................................................................... |
|
|
|
65 |
§ 16. |
Расстояние от данной точки до данной |
прямой . |
|
66 |
||
§ 17. Уравнение прямой в полярной системе координат |
|
68 |
||||
Упражнения |
|
|
|
68 |
||
Г л а в а IV. Элементарная |
теория конических |
сечений |
|
73 |
||
§ |
1. |
Предварительные |
замечания |
|
|
73 |
§ |
2. Окружность |
|
|
|
73 |
|
§ |
3! |
Эллипс ............................... |
|
|
|
75_ |
§ |
4. |
Гипербола и ее асимптоты |
|
|
77 |
|
§ |
5; |
Парабола .................................................................................................................. |
|
|
|
81 |
§6. ^Построение точек эллипса, гиперболы и параболы посредством
|
|
циркуля и л и н е й к и ...................................................................... |
|
|
|
82 |
|
§ |
7. |
Эллипс, гипербола и парабола как коническиесечения |
83 |
||||
§ |
8. |
Эксцентриситет и директрисы |
эллипса . |
|
84 |
||
§ |
9. |
Эксцентриситет и директрисы |
гиперболы |
|
86 |
||
§ |
10. |
Эксцентриситет и директриса |
параболы .......................... |
. |
87 |
||
§ 11. Уравнение конического сечения в полярных координатах |
88 |
||||||
§ 12. Диаметры эллипса. Сопряженные диаметры . |
. |
90 |
|||||
§ 13. Диаметры гиперболы. Сопряженные диаметры |
|
93 |
|||||
§ 14. |
Диаметры параболы |
, |
, |
|
94 |
||
§ 15. |
Касательная ............................................. |
|
|
|
95 |
||
§ 16. |
Эллипс |
как проекция |
окружности . |
|
98 |
||
§ 17. Параметрические уравнения эллипса |
|
99 |
|||||
Упражнения |
|
|
|
|
99 |
||
Г л а в а |
V. Преобразование координат. Классификация |
линий |
. 106 |
||||
§ |
1. |
Задача преобразования |
координат |
|
106 |
||
§ |
2. |
Перенос |
начала координат |
|
|
106 |
|
§ |
3. |
Поворот |
осей координат |
|
|
107 |
|
§ |
4. |
Общий случай ............................................ |
|
|
|
108 |
§5. Некоторые приложения формул преобразования координат . . 109
§6. Преобразование общего уравнения второй степени, не содержащего
|
|
произведения переменных ..................................................... |
. 1 1 3 |
§ |
7. |
Преобразование общего уравнения второй степени |
120 |
§ |
8. |
Классификация линий |
123 |
Упражнения |
125 |
||
Гу1а в а |
VI. Определители 2-го и 3-го порядка |
128 |
|
§ |
1. |
Определители 2-го порядка .............................................................. |
128 |
§ |
2. |
Однородная система двух уравнений с тремя неизвестными |
. 131 |
|
|
ОГЛ АВЛ ЕНИ Е |
5 |
§ |
3. |
Определители 3-го порядка ........................... |
. 1 3 3 |
§ |
4. |
Основные свойства определителей3-гопорядка |
...........................135 |
§ |
5. |
Система трех уравнений первойстепени стремя |
неизвестными 139 |
§ |
6. |
Однородная систем а....................................................................... |
141 |
§ |
7. Общее исследование системы |
трех уравнений первой |
степени |
|||
§ |
8. |
с тремя |
неизвестными................................................. |
|
. . 144 |
|
Некоторые приложения определителей к аналитической геомет- |
||||||
|
|
рии . |
|
|
|
148 |
Упражнения |
|
|
|
. . 150 |
||
|
|
|
|
Ч А С Т Ь в т о р а я |
|
|
|
|
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ |
|
|||
Гла в а |
I. Метод координат в пространстве |
152 |
||||
§ |
1. Прямоугольные координаты |
. . . |
152 |
|||
§ |
2. |
Основные за д а ч и ....................................... |
155 |
|||
§ |
3. Основные положения теории проекции в пространстве |
158 |
||||
§ |
4. |
Вычисление угла между двумя осями в пространстве |
160 |
|||
Упражнения |
|
|
|
162 |
||
Гл а в а |
II. Элементы векторной алгебры |
164 |
||||
§ |
1. |
Векторы |
и скаляры |
|
164 |
|
§ |
2. |
Сложение |
векторов |
|
165 |
|
§ |
3. |
Вычитание векторов |
|
168 |
||
§ |
4. |
Умножение вектора на число |
|
169 |
||
§ |
5. |
Проекции |
вектора . . |
................................................... |
170 |
|
§ |
6. |
Действия над векторами, заданными своими проекциями |
173 |
|||
§ |
7. |
Скалярное произведение векторов |
174 |
|||
§ |
8. |
Основные свойства скалярного произведения ................. |
175 |
|||
§ |
9. |
Скалярное произведение векторов, заданных проекциями |
176 |
|||
§ 10. |
Направление вектора |
|
178 |
|||
§ 11. |
Векторное произведение .................................. |
|
180 |
|||
§ 12. Основные свойства векторного произведения ................. |
182 |
|||||
§ 13. Векторное произведение векторов, заданных проекциями |
184 |
|||||
§ 14. Векторно-скалярное произведение................. |
187 |
|||||
§ 15. Векторно-скалярное произведение в проекциях |
189 |
|||||
§ 16. Двойное векторное произведение |
191 |
|||||
Упражнения |
|
|
|
193 |
||
Г л а в а |
III. Геометрическое значение уравнений |
195 |
||||
§ |
1. |
Уравнение поверхности................. |
|
195 |
||
§ |
2. |
Геометрический смысл уравнений |
195 |
|||
§ |
3. |
Две основные задачи .. |
|
197 |
||
§ |
4. |
Сфера |
|
|
|
197 |
§ |
5. |
Цилиндрические поверхности . . |
198 |
|||
§ |
6. |
Уравнения линии |
в пространстве |
199 |
||
§ |
7. |
Пересечение трех |
поверхностей |
|
200 |
|
Упражнения |
|
|
|
200 |
||
Гл а в а |
IV. Плоскость |
|
|
201 |
||
§ |
1. |
Нормальное уравнение плоскости . %• u ........................................ |
201 |
§2. Геометрический смысл уравнения первой степени между тремя переменными. Приведение общего уравнения первой степени
к нормальному виду |
• |
• 203 |
6 |
|
|
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
§ |
3. |
Исследование общего |
уравнения плоскости |
. 206 |
|
§ |
4. |
Уравнение |
плоскостив отрезках .............................. |
. 207 |
|
5 |
5. |
Уравнение |
плоскости, |
проходящейчерез даннуюточку.. |
. 209 |
§ |
6. Уравнение |
плоскости, |
проходящейчерез триданныеточки . |
||||
§ |
7. |
Угол между двумя плоскостями |
. |
|
. 212 |
||
§ |
8. |
Условия параллельности и перпендикулярности двух |
плоскостей 213 |
||||
§ |
9. |
Точка пересечения трех |
плоскостей |
. |
* |
216 |
|
S Ю. Расстояние от точки до плоскости |
|
|
217 |
||||
Упражнения |
|
|
|
. |
219 |
||
Г л а в а |
|
V. Прямая |
линия |
|
|
. 222 |
|
§ |
1. |
Уравнения |
прямой л и н и и ............................................................................... |
|
|
222 |
§2. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Общие урав
|
|
нения прямой |
. |
. |
|
|
|
. 225 |
§ |
3. |
Угол между двумя |
прямыми линиями |
. |
|
. . . |
229 |
|
§ |
4. |
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых |
. 229 |
|||||
§ |
5. |
Уравнения прямой, проходящей через две данные |
точки |
. 230 |
||||
§ |
6. |
Угол между прямой и плоскостью |
|
. |
. . . |
231 |
§7. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и пло
|
|
скости |
|
|
. |
|
|
. 231 |
|
§ |
8. |
Уравнение |
пучка плоскостей |
. |
|
|
. 232 |
||
§ |
9. |
Пересечение прямой с плоскостью ............................................................. |
|
|
233 |
||||
§ 10. |
Условие, при котором две прямые лежат в одной |
плоскости |
. 234 |
||||||
Упражнения |
|
|
|
|
|
|
. 236 |
||
Г л а в а |
|
VI. Цилиндрические и конические поверхности. |
Поверхности |
||||||
|
|
вращения. Поверхности 2-го порядка |
|
• |
• 241 |
||||
§ |
1. |
Классификация |
поверхностей . |
. . |
|
• 241 |
|||
§ |
2. |
Цилиндрические |
поверхности |
(общий случай) |
|
. 241 |
|||
§ |
3. |
Конические |
поверхности |
. |
|
|
• 242 |
||
§ |
4. |
Поверхности вращения |
|
|
|
• 243 |
|||
§ < 5. |
Эллипсоид |
\ . |
|
|
|
|
|
• 245 |
|
§ 16. |
Однополсстный |
|
гиперболоид |
|
|
• • |
• 246 |
||
§ с 7. |
Двуполостный |
гиперболоид |
|
|
• • |
• 248 |
|||
§ (8. |
Эллиптический |
параболоид . |
|
|
• |
• 249 |
|||
§ ' 9 . Гиперболический параболоид |
|
............................... |
|
250 |
|||||
§*10. Конус 2-го |
порядка . |
|
|
|
• 251 |
||||
§/11. Цилиндры 2-го порядка .................................................................. |
поверхностей |
|
• • |
• 252 |
|||||
§ 12. |
Прямолинейные образующие |
2-го порядка. Конст |
|||||||
|
|
рукции В. Г. Шухова |
|
|
|
• 252 |
|||
Упражнения |
|
|
|
|
|
|
• 255 |
||
О т в е т ы |
|
|
|
|
|
|
|
• 256 |
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К ТРИНАДЦАТОМУ ИЗДАНИЮ
В настоящем издании моей книги «Аналитическая геометрия» подвергнут переработке материал предыдущего издания. Выполняя эту методическую работу, я стремился устранить трудности в пони мании учащимися некоторых вопросов курса, замеченные в процессе преподавания рядом преподавателей втузов. Приношу глубокую бла годарность всем приславшим свои замечания. Особо ценные указания я получил от доцента В. П. Минорского, которому выражаю сердеч ную благодарность,
И. Привалов
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
При редактировании 18-го издания этой книги были учтены заме чания, сделанные при обсуждении предыдущих изданий на заседании втузовской секции Московского математического общества. В резуль тате переработки книга приняла тот вид, который она сохраняла до настоящего издания.
В 27-м издании произведены некоторые сокращения. В связи с тем, что общая теория линий второго порядка не входит в программы
втузов, полностью исключена глава VII части первой; |
исключены |
||||||||||||
также § 5 |
и |
§ |
7 |
из |
главы V |
части |
первой. Элементарные вопросы |
||||||
преобразования |
линий |
второго |
порядка, содержащиеся ранее частично |
||||||||||
в |
§§ |
1—4 |
главы VII, |
составили |
теперь § 6 и § 7 главы |
V; бывший |
|||||||
§ |
6 |
этой же |
главы |
стал |
теперь |
§ |
5. |
Задача № 9 бывшей главы |
|||||
VII перенесена |
в задачи |
к главе |
V |
и |
имеет теперь № 19. |
|
Весь материал, не содержащийся в программах втузов, набран мелким шрифтом; мелким шрифтом набраны также выводы уравнений прямой и плоскости в главах IV— V второй части, не использующие векторной алгебры.
Вся работа по подготовке книги, как к 18-му, так и к 27-му изданию проведена Е. Е. Бреневым, Н. А. Олисовым и Н. Я. Сысоевой. Работа над 18-м изданием проходила под наблюдением П. К. Рашев ского. В подготовке 27-го издания участвовал И. Г. Араманович.
ВВЕДЕНИЕ
Предмет аналитической геометрии заключается в исследовании геометрических форм с помощью алгебраического анализа. В различ ных отделах элементарной математики алгебра прилагается к реше нию многих геометрических вопросов. Так, например, в геометрии с помощью чисел приходится определять длины отрезков и дуг,
площади фигур, |
объемы тел; |
в тригонометрии пользуются числовыми |
||||||||
соотношениями |
для |
установления |
зависимостей |
между углами и от |
||||||
ношениями |
отрезков. Но, в то время как в этих |
отделах математики |
||||||||
с помощью |
анализа решается |
вопрос о размерах геометрических форм, |
||||||||
в аналитической |
геометрии с |
помощью |
чисел характеризуется самая |
|||||||
существенная их особенность— их |
положение. |
|
|
|
||||||
Числа, определяющие положение геометрической формы, назы |
||||||||||
ваются |
ее |
координатами. Способ же, |
с помощью |
которого |
опреде |
|||||
ляется |
положение |
геометрической |
формы, носит |
название |
способа |
|||||
или метода |
координат. Геометрические |
формы весьма разнообразны, |
и при построении аналитической геометрии, естественно, мы должны принять одну какую-нибудь из форм за первичную, с помощью которой мы будем образовывать все остальные. Проще всего за такую начальную форму принять геометрическую точку. Тогда всякую другую
геометрическую |
форму, например линию или поверхность, можно рас |
|
сматривать как |
геометрическое место точек. |
|
Приняв за |
начальный |
элемент точку, мы должны прежде всего |
показать, каким |
образом |
определяется положение точки в простран |
стве с помощью чисел. Эта первая идея метода координат была положена в основу решения различных геометрических задач. Вторая идея этого метода заключается в установлении того, каким образом геометрические свойства линии отражаются на координатах точек, принадлежащих этой линии. Плодотворные идеи метода координат нашли себе применение во всех отраслях математики и механики;
благодаря развитию дифференциального и |
интегрального исчисле |
ния они сделались весьма мощным орудием |
математического иссле |
дования.
Приступая к изложению аналитической геометрии, мы, ради удоб ства, делим весь курс на две части. В первой части будем за ниматься исследованием плоских геометрических форм средствами
10 |
|
ВВЕДЕНИЕ |
||
алгебры, |
основанными |
на применении координат. Во второй части |
||
мы будем |
аналогично поступать с пространственными геометрическими |
|||
формами. |
|
|
|
|
Служебную роль |
в курсе |
имеет |
глава, посвященная изложению |
|
теории определителей |
2-го и |
3-го |
порядка. Эта глава, равно как |
идальнейшие ее приложения, может быть опущена.
Вцелях большей геометрической наглядности исходные уравнения плоскости и прямой в пространстве даны в векторной форме. Соот ветственно с этим включена глава, в которой изложены необходимые сведения из векторной алгебры. Однако, учитывая потребности тех втузов, в которых при изучении аналитической геометрии не проходят векторной алгебры, мы даем параллельно векторному изложению теории плоскости и прямой также и координатное.