Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Численные методы. Ч. 3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

7.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Аппроксимация решения кусочно-линейными функциями

Стержень, имеющий длину L, разбивается на 4 (для определенности равных отрезка длиной Л = 1/4 каждый. Для произвольного отрезка [xi>xj

(рис. 3.1, б) температурное поле описывается уравнением (3.1), граничные условия записываются в форме

dT	dT	(3.3)
А,-—	—Qi, А—	(3.3)
dx	dx

где <?/, г- тепловые потоки на внутренних границах конечного элемента.

Построим разрешающие соотношения метода Галеркина (вариант метода взвешенных невязок, при котором в качестве взвешивающих и пробных функций используются одни и те же функции). Первоначально выбираются кусочно-линейные пробные функции в виде

4>i={xj - x)/h> Ф; =(*-•*! )/Л-

С использованием этих функций решение задачи на отрезке	[»>/]
разыскивается в виде
Тт = Tjtyf + Гуфj ,	(3.4)
где Г„ 7}- узловые значения искомого распределения температуры.

Невязка уравнения (3.1), получаемая на приближении (3 .4), взвешивается с использованием функций ф, и фу,

— ( A. ^ JB-1+W Ф ^ = 0,

dx l	dx
	(3.5)
dx I	■W ($jdx = 0;
dx I	dx

Первое из этих уравнений преобразуется к виду

A Q L ф I' _	f л^н. ^	dx + ] w<p,dx=0.
dx L	{ dx dx	J
'Xi	x,	X,

Поскольку ф,|^ =1. ф,|х = 0, из последнего выражения следует

-л	£ш	- f x^L s.^i-d x+	f fV<p,dx=0
-л	dx X ,	J dx dx	J
	dx X ,	X ,

Учитывая (3.3) и используя представление решения (3.4), приходим к выражению

х,	Ъ	(3-6)

Аналогичные преобразования второго уравнения системы (3.5) приводят к соотношению

(3.7)

В итоге получена система линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений температур 7} и 7}, то есть коэффициентов разложения (3.4) решения по пробным функциям. Подсчитаем интегралы в выражениях (3.6) и (3.7).

		d<Pi _	1	d<?j _ 1 .
		dx	h ’	dx	h ’
l dx	dx	h2 1	h	^ dx	dx
				xi
		XJ
	<*р, d% dx = j Xd% dip, dx = - X_jd x					X
Х1		X,	dx	dx	h2	h ’
Х1		X,
		Wh				Wh
						2

Подстановка полученных значений в формулы (3.6) и (3.7) приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно искомы* коэффициентов 7) и 7},

“ ft

h 2

(3.8)

* + ™ - 0

И 2

Удобно эту систему уравнений представить в матричной форме

~-X/h X/h

_ X/h -Xlh\[Tj] \qr Whl2\	(3.9)

Процедура ансамблирования конечных элементов

Рассмотрим композицию из четырех конечных элементов, для каждого из которых запишем свою систему уравнений (3.8):

Qo t= £	q2	I]h		*2h	2	Уо’
Qo t= £	q2	т	я.	т *.	т
		т	я.	т *.	т
		- Т<	Г	Т‘ Г
			'	X	X	Wh
Яг	1~ ► Яз			Т’ Г	Т’ Г	T ~	q‘ -
Яг	1~ ► Яз			».	>.	Wh
			~Т> Г Т' Г			Т	"	1’ -
				'	X	т X	Wh		,
	Яз<«-[	У~> 44			т> Г	тТ	Т " '”
	Яз<«-[	У~> 44			_ х	>.	г а
					•W		T	' ?<•
						Т Х	Т Х		Wh	,
	44					T- r	Tsh " т			_ , < -
	44
						4 Л	J h		2	1

Витоге получена система восьми алгебраических уравнений с

одиннадцатью неизвестными 7], Г2, Г3, Г4, Г5, , q'2, ?3, 9з, <j4, ^ Для замыкания

системы уравнений следует добавить три дополнительных уравнения теплового баланса

q2 + q'2=0,
■q3+q'3=0,	(3.10)
qA+q'A=0.

Отметим, что внутренние переменные q2, q'2, q3, q3, q4, q'4 можно

исключить из системы уравнений, складывая уравнения попарно и используя равенства (3.10). Так, для двух первых систем уравнений получаем

„ X	_ X			Wh .
+ Т1 Т ~ Т2 Т				— ^	2о>
1И	2 h			Wh
„ X	гг, X			Wh
- тч	* Ч			Wh	,
	„ X	-	X	Wh	,
	* Т>	Г Т'Ъ		= Т	- 4 .
	m X	_	X	Wh
	- Т 2— к Г, —
	2 А	3	А

выведено из него за счет тепловых потоков с торцов. Это становится очевидным, если вспомнить, что решается стационарное уравнение теплопроводности, решением которого является температурное поле, установившееся за бесконечно большой промежуток времени. Невыполнение балансового соотношения (3.12) приведет либо к накоплению тепла в стержне (при Wh > q. +qj) и, следовательно, к бесконечно высоким температурам, либо

к принудительному отводу тепла из стержня (при < ?/ + ) и соответственно

к бесконечно низким температурам. При точном выполнении соотношения (3.12) стержень будет находиться в состоянии термического равновесия при любых значениях температур. Это означает, что решение оказывается неединственным, то есть исходная задача сформулирована некорректно. Это очевидно из уравнений (3.1) - (3.2), которые определяют решение с точностью до постоянной величины.

Вырожденность системы уравнений (3.8) на уровне отдельного конечного элемента приводит к вырожденное™ системы алгебраических уравнений (3.11) для всего ансамбля конечных элементов. Легко установить, что и в этом случае суммирование всех уравнений системы (3.11) приводит к балансовому соотношению Q0 +QL - WL. Несмотря на некорректность задачи (3.1) - (3.2),

рассмотренный порядок построения разрешающих соотношений является верным и используется для построения разрешающих соотношений. Для корректной постановки задачи следует изменить граничные условия. Пусть на левом конце стержня поддерживается постоянная температура Т \^ = Т Для

учета этого граничного условия к полученной системе (3.11) следует добавить уравнение

Т{=Т

(коэффициент Г], как это уже отмечалось ранее, аппроксимирует значение искомой температуры в этом узле) и считать поток Q0 на левом конце стержня неизвестным. В этом случае получена система шести уравнений с неизвестными Tl9T29T39T49T59Q0, имеющая ненулевой определитель,

					= T,
+ 7' —_ г —				n	mi
Т] h	T lh	р X		+ a "T*
X	2Х	р X			= Wh,
V ' 2T		h			= Wh,
V ' 2T		h
	X	2X			= Wh.
	- Г , -	+ T , - - T A-			= Wh.
		h	’ A	j, X
		X	j, 2X	j, X	= Wh.
		- r4	* r ,~h	Tih	= Wh.
		- r4	* r ,~h	Tih
			_ Т Ъ	T ih	2 * L
			T ,h	T ih	2 * L

- f — + т	a	\	Wh	+ a7’
		J	= —
S ' 5			2

В результате всех преобразований система линейных алгебраических уравнений принимает вид

-1/h

о	О	О
21/h	-1/h	0
1	NJ	1
0	-1/h	21/h
о	о	1

0	' х	т
0	Тг	Wh
0	■п	Wh
-1/h	т<	Wh
1/h + a	Ть.	Wh/l + aT,

Пример 3.1. Решим полученную систему линейных алгебраических уравнений при следующих исходных данных. Пусть длина стального стержня L = 1 м, мощность внутренних тепловых источников W= 100 Вт/м3, коэффициент теплопроводности стали X = 70 Вт/м-град, температура окружающей среды

= 20°, Т = 100°, a = 30 Вт/м^град. Система уравнений принимает вид

1	0	0	0	0	X	100 '
-280	560	-280	0	0	т2	25
0	-280	560	-280	0	т3 >= <	25
0	0	-280	560	-280	тА	25
0	0	0	-280	310	X	612,5

Решение этой системы
Г] = 100,	Т2 = 10557/112, Г3 = 619/7, ТА= 9241/112, Т5 = 153/2
в узловых точках тождественно удовлетворяет точному решению задачи
	Т = - - х 2- —		х +100.
	7	14
Величина теплового потока на левом конце стержня, определяемая
численно,
	О - ™ - Т ,^- + гГ2Д-		= -1595 Вт/м2
	h	2h
Используя точное решение задачи, определяем производную
	dT___ 10		319
	dx~	1 Х	14 ’
и, подставляя х -	0, находим точное значение теплового потока
	dT	= -1595 Вт/м2
	О - ' * - dx	= -1595 Вт/м2
	О - ' * - dx

- f f f * 4	* * A4		* * * +b ^ 0
Входящие в эту систему уравнений интегралы равны
^ = \|г ( 2* - * ; - * Л ^!г	= \|	г(2* - * * - * Л	^	= ~ { 2 х - х, - х} ,
dx	А
•*,		*
7 , dp, dq>,	j	4X7/-,	v	7X

		Jr	dx	dx
		*/	dx	dx
dx	dx	A	j	i	i *
dx	dx		j	dx	dx
dx	dx	J		dx	dx
		*

g j f l x -

AJ V

~h hJ v ~

Jti

- x

кJ

\2 -	16X
.f d x	= -----,
J>	3A
1 «•4><, >	1 К 1 к
К
1 ТX & н *1 1

X * * )* = ЗА

* )& =	8Х
у /	3/2

Лр,<Р,А _Л х'р> <»л —- £ b . -				J* 1	1 J 1
dx dx	* dx dx		A4 1
	*i
	7	2W*rt	V		Wh
	\W<vldx = -^r \{x -xJXx-xk)dx = — ,

8Х

ЗА

X , *

7„, .	2JP7/	V	w	^
J Жф;Л	= - T - J ( x - x j x		-x *)d r = — ,
				6
7 • ,	4 ^ h	v	U -	2Wh
				2№7J

р ф 4Л = - ^ | ( х - х , Х * - ^ ) * = — •

	Т 1 Х -	Г	А +	8Х	Wh	л
				г
Ч‘	Т‘ ЗА	Tj3А		'* з а + ~6~= 0 .
				*
qj	Т>зh	lj ЗА		ЗА	6
	т ^ т ^ - г ^ + ^ - о .
	ЗА	у ЗА		ЗА
Эта же система в матричной форме принимает вид
"-7А./ЗА	-УЗА		8Я/ЗА' X			'д,-т/6'
-УЗА - 7УЗА			8 УЗА ■TJ			qj-Wh/6•
8УЗА	8Х/ЗА		—16 уЗЛ ы			-2Wh/3

Суммируя все уравнения этой системы, получаем уже известное условие теплового баланса (3.12)

0 = qi +qJ -Wh.

Пример 3.2. Рассмотрим задачу из примера 3.1 с теми же исходными данными. Пусть весь стержень аппроксимируется одним конечным элементом. Будем считать, как и в предыдущем случае, что на его левом конце задана температура Tjx=0 = Т, а на правом - граничные условия третьего рода

сГГ %*

Для рассматриваемого случая система уравнений приводится к виду

1	0	0	X	f
- У З L	- а - 7 X/3L	8УЗ L	' Tj ' = «-a T a -WL/6
_8УЗL	8у з L	-16 у з у	Тк.	-2WL/3
Для принятых L, W,X, 7^, Т и а эта система уравнений принимает вид
1	0	0		100
-70/3 -3 0 -4 9 0 /3		560/3		►= <-6 0 0 -5 0 /3
560/3	560/3	—1120/3_ Л .		-200/3
и имеет решение 7^=100 (левый		конец стержня), 7} = 153/2 (правый конец),

Тк = 619/7 (центр стержня). С учетом вида пробных функций (3.3) решение запишется в виде

5	TI Q
Тт= tyP, + Tj<fj + Tk(f>k = - -	х 2 - — X + 100'.

Полученное выражение является точным решением этой задачи.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
20.11.20236 Mб18Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости..pdf
#
20.11.202312.47 Mб63Численные методы решения некорректных задач..pdf
#
20.11.202338.46 Mб10Численные методы решения экстремальных задач..pdf
#
20.11.20235.3 Mб15Численные методы. Ч. 1.pdf
#
20.11.20238.37 Mб7Численные методы. Ч. 2.pdf
#
20.11.20237.06 Mб18Численные методы. Ч. 3.pdf
#
20.11.20236.88 Mб14Численные методы. Ч. 4.pdf
#
20.11.20237.5 Mб14Численные методы. Ч. 5.pdf
#
20.11.2023755.42 Кб10Численный расчёт стержневых систем..pdf
#
20.11.2023972.67 Кб12Числовые и степенные ряды. Ряды Фурье.pdf
#
20.11.20233.44 Mб30Чтение и перевод юридических текстов..pdf