книги / Численные методы. Ч. 3
.pdf
6. МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Вернемся к уравнению Пуассона (1.1) с граничными условиями (1.2) и
(1.3) |
. Его решение ит, как и ранее, разыскивается в виде (1.4). Обратная |
||||
формулировка этой задачи (1.10) |
|
|
|
||
|
|
J U ^ - d T - ju m^ ~ d T + 1итАц/ксЮ.- J fyikdCl = 0 |
|||
rv |
re |
r„ |
re m |
о |
Q |
получена взвешиванием невязок уравнения (1.1) и граничных условий (1.2),
(1.3) по всей области |
Q и границам |
и |
соответственно. |
Если все |
взвешивающие функции |
удовлетворяют уравнению Лапласа |
|
||
|
Д\|/*=0, к -1 ,т 9 |
|
|
(6.1) |
из предыдущего выражения следует уравнение (1.11) относительно искомой функции ити ее производной дит!дп на соответствующих границах ГQ и Ти,
|
j Um^ - d r = j u ^ - d T - \ Q |
^ kdT + j f y , kdn, k = \ j i |
||
Гу |
TQ |
Гу |
Гр |
П |
Пример 6.1 (из книги [2]). Рассматривается дифференциальное уравнение |
||||
|
|
и”+и+х = 0 |
|
|
с граничными условиями |
ы(о) = 0, |
z/(l) = 0. |
|
|
С помощью функции w взвешиваются невязки дифференциального уравнения, получаемые на приближенном решении и, удовлетворяющем
заданным граничным условиям: |
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
J(w" + w +х)мйс = 0 |
|
||
|
|
|
|
о |
|
|
|
Первое слагаемое под знаком и н т р а л а преобразуется по частям, |
|||||||
|
1 |
1 |
, |
1 |
|
1 |
|
|
| u'wdx = | (u'w) dx- |
J u'w'dx = it'wfQ- J u'w'dx = |
|
||||
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
= |
« 4 - |
J(MW')£C-Jwv/tffr |
= u,w\l0-uw'fQ+ juw ”clx= |
||||
|
|
0 |
|
0 |
J |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
= |
w1r(l)w (l)—w '(o )w (o )- « ( ^ |
' ( l ) ^ w (o )w '(oJuWdx)+ |
= |
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
= -£'(0)w(0)- M(I)W'(I)+ J uw”dx.
Здесь учтено, что в силу заданных граничных условий
ы(0У (0)=0, |
a'(l)tv(l)=0. |
|
Подстановка полученного соотношения в интегральное уравнение |
||
приводит к выражению |
|
|
» |
1 |
1 |
J uw’dx - и'(0)w(o)- tt(l)w/(l)+ J uwdx + J xwdx = |
||
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
= J «(w* + w)dx- u'(o)w(o)-w (l)w'(l)+ fxwdx = 0. |
||
о |
|
0 |
Пусть взвешивающая функция w удовлетворяет уравнению
w” + w=О,
тогда интегральное выражение преобразуется к более простому виду 1
J xwdx = w'(0)^(0)+ M(l)v/(l). 0
Это соотношение является линейным алгебраическим уравнением относительно значений 5Г(о) и м(1) (на левом конце задано значение функции ы, на правом конце - значение производной и' ).
Решением дифференциального уравнения W + w=0 является функция w(x)=Asin(x)+ ВCOS(JC),
где А и В - константы интегрирования. Подстановка этой функции приводит к выражению
1
^х[Аsin(x)+ В cos(x)]obc = к'(о)[Л sin(o)+ В cos(0)]+м(1)[Лcos(l) - Вsin(l)].
0
В силу независимости коэффициентов А и В приходим к системе двух алгебраических уравнений относительно искомых значений и'(0) и w(l),
1
Jxsin (*)<&= M(I)COS(I ),
,о1
J х cos(x)dbc = « #(0)—f7(l)sin(l).
,0
Поскольку |
|
j xsin(x)fc = sin(l)- cos(l), |
Jx cos(x>fx = cos(l)- sm(l)- 1, |
0 |
0 |
решением задачи являются значения |
|
a r(i)= te (iX |
g '( o ) = - |
|
COS^l) |
В результате получены значения искомой функции w(l) и ее производной w'(o) на концах рассматриваемого отрезка без непосредственного решения исходного дифференциального уравнения.
Фундаментальное решение
Обратимся к уравнению (6.1). Потребуем, чтобы взвешивающие функции удовлетворяли уравнению1
|
|
AV» = 8(*-**)> |
(6-2) |
|
где 5(дс-л:*) - дельта-функция Дирака, |
- точка, где 8-функция обращается |
|||
в бесконечность. Выражение (1.10) преобразуется к виду |
||||
^ |
(/ r - j y k^ d r |
+ ju n ^ d r - j Q |
y v kdr + jfy ,kdQ. (6.3) |
|
дп |
f |
дп |
х |
О |
|
lu |
|
LQ |
|
Это соотношение позволяет определить значение ит искомой функции в точке Хк внутри области О., поскольку все величины, входящие в подынтегральные выражения, стоящие в правой части, либо заданы граничными условиями, либо уже найдены из решения уравнения (1.11).
Пример 6.2. Для рассмотренной выше задачи из примера 6.1 необходимо построить фундаментальное решение и определить значение искомой функции для точки х к, лежащей внутри рассматриваемого отрезка [0, 1]. Фундаментальным решением для этой задачи является функция, удовлетворяющая уравнению
w”+ w = b(x-xk).
Убедимся, что функция
W = ^sin(r), г = |х - х ;|
является искомым фундаментальным решением.
Пусть х > хк. В этом случае г =х - х к. Дифференцирование дает
W = ^-cos(г)/ = ^-cos(r), w”= “ sin(r)r' = -^ sin (r).
Решение уравнения (6.2) называется ф ундамент альным .
Подстановка этих значений в уравнение приводитк выражению
w*+ w = -^sin(r)+ ^sin(r)= О
Пусть х < х*. В этом случае г —х^- х. Аналогично предыдущему случаю
определяются производные,
w' = ~cos(r)r' = -^cos(r), w" = ^sm(r)r' = -^sm(r).
В результате подстановки этих значений в проверяемое уравнение получаем
wп+w =--sin(r) +-sin(r)=0.
2 V; 2 v 9
Пусть x = Xk. Теперь г = О, w~>aо и, следовательно, дифференциальное уравнение терпит разрыв в рассматриваемой точке. Для проверки выполнения условий, накладываемых на 5-функцию, выполняется интегрирование дифференциального уравнения,
1 |
i |
t |
j 1 |
J (w" + w)dx = J w”dx+J wdx = |
ч— Jsin|jc-x k\dx~ |
||
0 |
0 |
0 |
^0 |
= w'(l)- w '(o)+ i|sin(x, - x)dx +i Jsin(x - x k)dx =
10
=\ cos(l- ■**)+1 cos(x*)+ i [l- cos(x*)]+^ [l- cos(l - X*)]=1.
Таким образом показано, что функция w= sin(r)/2 действительно является фундаментальным решением. Выражение
1 |
1 |
|u{w”+w)dx- ы'(0)w(0)- и(l)w'(l)+1xwdx = 0,
О |
о |
полученное в примере 6.1, с учетом уравнения w” +w= b{x-xk) принимает
форму
1
u(xt)=м'(о)и'(о)+иОУ(l)-Jxwdx,
о
позволяющую определить значение функции и в точке х^ Подстановка фундаментального решенияв это уравнение приводит к выражению
и(хк)=й'(О)—sin(xt)+u(l)^-cos(l - xt)~—|xsin|x- xk\dx=
2 |
2 |
x 0 |
Подставив в него соответствующую производную, получим
J = J 1
ОГ 4%г2
При интегрировании учтено, что на поверхности сферы г = р = const. Но это как раз и означает выполнение уравнения (6.2) независимо от величины
радиуса сферы, поскольку |8(r)rfQ = l. В приложении представлен ряд
о
фундаментальных решений, приведенных в монографии [2] для некоторых дифференциальных уравнений.
При получении уравнения (6.3) предполагалось, что точечный источник располагается внутри области Q. Рассмотрим случай, когда особая точка попадает на границу области, например хк еГе . На рис. 6Л показана часть
области с точкой причем эта особая точка окружена внешней полусферой 6 с радиусом, равным р.
Рис. 6.1. Нахождение точечного источника на границе Г области П
Рассматриваем выражение |
|
|
(6.4) |
J m Я» |
J m Ли |
Го-е |
|
где Гд - е - поверхность Гр без области, вырезанной; полусферой е- ДлЯ эт0 полусферы производная в подынтегральном выражении
|
|
|
dWk _ dV* _ |
1 |
|
|
|
|
|
дп |
дг |
4пг2 |
латаемое в |
и на поверхности полусферы постоянна, причем г = р. Второе слаг |
||||||
выражении (6.4) равно |
|
|
|
■\ |
— |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
-Ъп. |
k |
V |
n |
M |
- ; к Ы " - * ' |
2 |
|
• |
дп |
|
4пр2{ |
|
212яр ; |
|
где ит - среднее по поверхности полусферы 8 значение ит.
Отсюда следует, что
Ьдп dT- г-+0
Первое слагаемое соотношения (6.4) преобразуется к виду
ь |
е->0 Г ” дп |
’ |
где Гд соответствует границе TQ с выколотой точкой |
Для второго интеграла |
|
по границе Гр, входящего в соотношение (6.3), выполняются аналогичные преобразования:
lQ y kdr + $Qvkdr,
Гв-е е
J О ч Л - е-+0 -+ lQ y kd r,
где Q - среднее по поверхности полусферы е значение Q. В итоге, после выполнения всех преобразований для соотношения (6.3) получаем выражение
« „ (**)= |
.fv,,ti ! r d r + l Um^ |
t d r +\ и^ |
~ {Q4,kdr |
|
^um{xk) = \ u ^ - d T - \ ^ k^ - d r |
+ \u m^ d r - \ Q |
^ kdr + \ j ^ k(Kl. (5.5) |
||
Гу |
Гу |
re |
ге |
о |
Вслучае попадания особой точки х* на границу Гц результат
преобразований получаетсяаналогичным. |
Выражение |
(6.5) позволяет |
определять искомое решение ит и dujdn |
на всей |
транице Гобласти Q, не |
прибегая к построению решения уравнения Лапласа (6.1), используя лишь
фундаментальное решение, |
что |
позволяет сократить |
необходимые |
вычислительные ресурсы. |
|
|
|
Для удобства последующих преобразований вводим обозначения |
|||
хеГ у, |
_ \ d u j d n , хеГу, |
|
|
U~ \« m> х е Т Q, |
q ~[Q, хеГ д. |
|
|
Пусть гранща Г области Q аппроксимируется набором граничных элементов Г; в виде отрезков прямых. Пусть Nu элементов принадлежат границе Гу и N Q элементов - границе TQ, то есть всего N = Nu + NQ граничных элементов. В этом случае на границе Гу неизвестны Nu величин дит/дп, на
неизвестных. 1,0длежат ^ |
д е л е н и ю Ne значений ит. Всего |
N |
= Na + Л'е |
В пределах каждого |
граничного элемента Г, значения и, |
и |
считаются |
постоянными и приведенными к центру этого элемента. Поскольку вся граница представляется объединением у
>1
выражение (6.5) преобразуется к виду
Г |
Г |
о |
>1 Г) С»л |
у_, J |
£ |
где у* - функция, являющаяся фундаментальным решением уравнения (6.2) при точечном источнике, расположенном в центре к-го граничного элемента. Пусть
*->■
к Ф)
i дп
Теперь выражение (6.5) можно представить в виде системы линейных алгебраических уравнений
N
м |
Iм |
+ г а м п , |
(6.6) |
1 е д = Х в д |
|
||
каждое из которых получается при помещении точечного источника последовательно в центр соответствующего граничного элемента. В системе уравнений (6.6) содержатся 2N величин Uj.cjj. Однако из них известны Nu
величин и - U на границе |
и NQ значений q =Q на границе TQ. |
Следовательно, система N уравнений (6.6) содержит ровно N неизвестных |
|
величин, подлежащих определению. |
|
После решения этой системы уравнений и определения решения на границе Г области Q выражение (6.3) позволяет отыскать искомое решение в любой точке Xkyлежащей внутри исследуемой области. В этом случае функция \ук является фундаментальным решением уравнения Пуассона с точечным источником, расположенным в точке хк.
Пример 6.4. На внутренней стенке Гi длинного полого цилиндра с радиусами R} = 0,5 м и R2 = 1 м (рис. 6.2) поддерживается постоянная температура Тх= 50° С. На его внешней стенке Г2 температура также постоянна, Тг = 100° С. Требуется найти распределение температуры в стенке цилиндра.
