книги / Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости

Легко заметить сходство между этими уравнениями и уравнениями {5.17)—(5.19). Здесь й, v, появляются вместо и*, v*, w* и само давление р занимает место р'. Отсюда следует, что если бы вывод в § 5.6 был выполнен с новыми соотношениями для скорости и давления, содержащими й, й, w, то результатом было бы уравне­ ние для давления. Его можно записать в виде

О'р Рр ■— awPw ”t~ ^N PN ""f” ^sPs "T" ^ TP T ”1 авРв ""b b> (5.30)

где aE, aw, aN, as, ат, ав и aP заданы согласно (5.23) и b опреде­ лено соотношением

b = — — 9р)±Ах---уА-- + [(ри)® — (р«)е] AyAz -f [(pv)s —

At

л?ямЛл/(~'ледУет заметить. что выражение для b является только раз- •'—Hqc^to-между уравнением для давления (5.30) и уравнением для

поправки давления (5.22). Выражение (5.31) для Ь использует псевдоскорости й, й, w, хотя b в уравнении для р' рассчитывалось через значение скоростей со звездочкой. Несмотря на то что уравнение для описания давления и уравнение для поправки дав­ ления почти идентичны, имеется одно важное отличие: при выводе уравнения для давления не вводились допущения. Таким образом,

-если корректное поле скорости использовалось для расчета пссвдоскоростей, уравнение для давления сразу будет давать коррект­

ное значение давления.

Алгоритм SIMPLER. Модифицированный алгоритм включает

решение уравнения для давления с целью получения поля давле­ ния и решение уравнения для поправленного давления только с

. целью корректировки скоростей. Можно установить следующую последовательность действий.

1. Ввести предположение о поле скорости.

2. Рассчитать коэффициенты уравнения количества движения и затем рассчитать й, й, w из уравнений, таких же, как (5.26), подставив значения скорости н„ь в соседних близлежащих точках.

3. Рассчитать коэффициенты уравнения для давления (5.30)

ирешить его с целью получения поля давления.

4.Обработать это поле давления в качестве р*, решить урав­ нение количества движения для получения и*, v*, w*.

5.Рассчитать массовый источник [уравнение (5.23)] и затем решить уравнения поля р'.

6.Скорректировать поле скорости (по не поля давления) с по­ мощью уравнений (5.17) — (5.19).

7.Решить, если это необходимо, дискретные аналоги для дру­ гих Ф.

8.Вернуться к пункту 2 и повторять расчеты до тех пор, пока не будет достигнута сходимость.

Обсуждение. 1. Легко видеть, что для одномерной задачи,

111

обсуждаемой выше, алгоритм SIMPLER сразу дает сходящееся решение. Вообще, поскольку уравнение для коррекции давления позволяет получить разумные поля скорости и уравнение для давления дает прямой результат (без допущений) на основе за­ данного поля скорости, то сходимость к решению будет более быстрой.

2.В алгоритме SIMPLE предполагаемое поле давления играет важную роль. Кроме того, SIMPLER не использует предполагае­ мые давления, а строит поле давления по заданному полю ско­ рости.

3.Если заданное поле скорости окажется точным, то в алго­

ритме SIMPLER уравнение для давления дает точное поле дав­ ления и пет необходимости в каких-либо последующих итерациях. Однако поскольку точное поле скорости и предполагаемое поле давления используются для начала процедуры SIMPLE, то обычно ситуация вначале ухудшается. Использование предполагаемого давления приводит к значениям скорости со звездочкой, которые отличаются от заданных точных значений. В таком случае предпо­ ложения, заложенные в уравнение для р', дают неточные поля скорости и давления в конце первой итерации. Сходимость тре­ бует большого числа итераций, несмотря на то что вначале имелось точное поле скорости.

4.Вследствие близкого сходства между уравнениями для дав­ ления и для поправки давления рассмотренные в § 5.7 граничные условия уравнения для р' также относятся к уравнению для давления.

5.Несмотря на то что алгоритм SIMPLER создан для того, чтобы давать более быструю сходимость, чем SIMPLE, следует признать, что одна итерация SIMPLER требует больше расчет­

ных усилий. Во-первых, уравнение для описания поведения дав­ ления должно быть решено в дополнение ко всем уравнениям, решаемым в SIMPLE, во-вторых, расчет й, v, w представляет не­ которую трудность, которой нет в SIMPLE. Однако поскольку SIMPLER требует меньшего числа итераций для достижения сходимости, то дополнительное усилие на итерацию более чем компенсируется экономией усилий в целом.

5.9. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мы завершили построение численного метода. Однако большое количество разнообразных и важных вопросов по-прежнему оста­ лось не рассмотренным. Эти вопросы лучше проанализировать на данном этапе, когда читатель имеет общее представление о про­ цедуре решения. Следующая глава посвящена этим вопросам.

ЗАДАЧИ

5.1. Двухмерное течение с постоянной плотностью и вязкостью подчиняетс следующим уравнениям:

112

Исключите p из первых двух уравнений, дифференцируя первое по у, а второе

по х и вычитая одно из другого. Выразите результирующее уравнение через со как зависимую переменную, где со — завихренность, причем со= ди!ду—dv/dx.

Покажите, что результатом является

5.2. Определите функцию тока как

дф/дх = — о и дф/др = и.

Покажите, что ф тождественно удовлетворяет уравнению неразрывности из за­ дачи 5.1. Далее, используя определение со в задаче 5.1, покажите, что

д2ф/дх2 + д2ф/ду2= со.

5.3. В стационарном одномерном случае с постоянной плотностью, показан­ ном на рис. 5.11, скорость и рассчитывается для точек А, В и С, хотя давление

в итерационном процессе уравнения количества движения дают и*в = 8 и «*£- = 11.

5.4.Одномерное течение через пористый материал описывается уравнением

c\u\u+dpfdx = 0, где с-— постоянная. Уравнение неразрывности представляется в виде d{u A )/d x —0, где А — эффективная площадь потока. Используя процедуру SIMPLE для сетки, показанной на рис. 5.11 (точку А можно опустить), рассчи­ тайте рг, ив и ис на основании данных

113

где А — площадь поперечного сечения. Пусть заданы следующие условия:

уравнение неразрывности имеет вид d(pu)/dx=0. Ссылаясь па рис. 5.1, запишите

дискретный аналог этого уравнения через ре, рто, ие и uw. Далее, используйте

следующую зависимость для коррекции плотности: р=р*+6р'; эту зависимость можно получить из соответствующего уравнения состояния. Предполагая кусоч­ но-линейный профиль р', получите дискретный аналог для коррекции давления.

Используйте аппроксимацию

ргг = (р* + р') (а* -|- и') к р*ц* + р'м* + р*и'.

Заметим, что результирующие коэффициенты имеют конвективные и диффузион­ ные части и возможны отрицательные значения коэффициентов, когда числа Маха являются большими. Можно ли предложить схему, подобную схеме с раз­ ностями против потока, чтобы избежать отрицательных значений коэффициен­ тов?

и Q*. Необходима ли итерационная процедура? Почему?

114

Г л а в а 6

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

6.1. ИТЕРАЦИОННЫЙ ХАРАКТЕР МЕТОДИКИ РАСЧЕТА

Описанная в этой книге методика расчета предназначена для решения системы нелинейных уравнений с помощью итерационной процедуры. Рассмотрим общие свойства этой процедуры.

1. Итерации играют двойную роль.

а) В общем случае рассматриваемые уравнения нелинейны и взаимосвязаны. Мы записываем их в линейном виде и рассчиты­ ваем коэффициенты по известным из предыдущей итерации зна­ чениям переменных.

б) Система линейных алгебраических уравнений для одной зависимой переменной решается быстрее итерационным методом, чем прямым.

2. Так как на каждом промежуточном шаге коэффициенты линейных уравнений известны только приближенно, итерационное

до некоторой сходимости необходимо повторно рассчитать коэф­ фициенты. Здесь уместно проявлять чувство соразмерности. За­ тратив определенные усилия на расчет коэффициентов, мы должны получить достаточно хорошее решение системы алгебраических уравнений, воздерживаясь при этом от чрезмерной работы по расчету значений коэффициентов, которые, как нам хорошо из­ вестно, являются только приближенными. Использование метода прямогорешения для многомерных задач обычно приводит к очень большой затрате времени на решение уравнений.

3. Аналогичные рассуждения были использованы в гл. 5, когда преимущество было отдано последовательной методике решения уравнений гидродинамики, а не одновременной. Уравнения коли­ чества движения и уравнение для поправки давления решаются последовательно. Альтернативный подход, обычно используемый в большинстве конечно-элементных методов расчета течений, за­ ключается в одновременном решении линеаризованных уравнений неразрывности и всех уравнении количества движения. Такое одно­ временное решение, проводимое прямым методом, требует боль­ ших затрат времени счета и памяти ЭВМ. Ввиду нелинейности уравнений количества движения эти затраты должны иметь место на каждой итерации. При этом процесс может описываться не только уравнениями неразрывности и количества движения. Часто эти уравнения связаны с уравнением энергии (через свойства жидкости и подъемную силу), с уравнениями для параметров турбулентности (через коэффициент турбулентной вязкости), с уравнениями для концентраций химических компонент и т. д. Оче­ видно, что нецелесообразно пытаться решать одновременно все эти уравнения; обычно дополнительные уравнения решаются по­ следовательно. В этих условиях затрата больших усилий на чис­

115

ленный расчет одновременно уравнений неразрывности и количе­ ства движения кажется непропорциональной.

4. Для приведенного в данной книге метода нет никакой суще­ ственной разницы между решением стационарной задачи и выпол­ нением одного шага по времени при решении нестационарной задачи. В случае стационарной задачи задаются некоторым обра­ зом угаданные значения переменных Ф и проводится решение до получения установившихся значений. Для нестационарного случая задача ставится следующим образом: при заданных значениях Ф в момент времени t и угаданных значениях Ф в момент t + \ t найти значения Ф в момент t+At. Так же как и в случае ста­ ционарной задачи, в нестационарной задаче на каждом шаге по времени надо провести некоторое количество итераций, при этом, чтобы охватить необходимый промежуток времени, требуется по­ следовательно сделать большое количество шагов.

5. Таким образом, может сложиться впечатление, что решение нестационарной задачи требует усилий, эквивалентных расчету последовательности стационарных задач. Это частично верно, но следует учитывать одно обстоятельство. При разумных At в каче­ стве угаданных значений Ф в момент времени /+А / можно исполь­ зовать известные значения Ф в момент t. Так как эта экстрапо­ ляция сравнительно хороша (по сравнению с довольно произволь­ ным выбором при решении стационарной задачи), обычно для получения сходимости решения на одном шаге по времени тре­ буется лишь несколько итераций. Иногда их число может дохо­ дить до единицы. Таким образом, когда утверждается, что метод решения нелинейной нестационарной задачи является безытерационным, это фактически означает, что при данном шаге по вре­ мени для получения решения оказывается достаточно одной итерации. В таких методах должны употребляться сравнительно малые шаги по времени, в то время как при использовании много­ кратных итераций на одном шаге по времени можно было бы употреблять большие значения At.

6.Такой одноитерационный на одном шаге по времени метод иногда используется для получения стационарного решения после большого количества шагов по времени. В действительности, эти шаги эквивалентны итерациям, и нестационарный член в уравне­ ниях обеспечивает некоторого рода нижнюю релаксацию.

7.В программе для ЭВМ, включающей итерации на шаге по времени, должна быть предусмотрена машинная память для зна­

чений Ф в моменты времени t и t+At. Кроме того, в программе решения стационарной задачи должна быть отведена память только для одного набора значений Ф, в которую последова­ тельно заносятся новые значения переменной до достижения схо­ димости.

8. Использование итераций во многом упрощает построение численного метода. С их помощью можно, по крайней мере в прин­ ципе, справиться с любой нелинейностью и взаимозависимостью. Конечно, имеет смысл лишь такой итерационный метод, с помощью

116

которого можно достигнуть сходимости. На этом этапе полезно исследовать перспективы получения сходящегося решения.

а) Четыре основных правила (см. § 2.4) позволили получать дискретный аналог, для которого гарантирована при фиксирован­ ных значениях коэффициентов сходимость методов поточечного решения или переменных направлений.

б) Если коэффициенты не постоянны, но изменяются сравни­ тельно медленно, мы получим, по-видимому, сходящееся решение. Соответствующая линеаризация источникового члена и подходя­ щая нижняя релаксация зависимых переменных должны, вообще говоря, замедлить изменения переменных и, следовательно, коэф­ фициентов.

в) Дополнительно к зависимым переменным можно с успехом применять нижнюю релаксацию и к другим величинам. Например, уравнения движения связаны с уравнениями для температуры концентрации в основном через плотность р. Применение нижней

где р«ов — новое значение р; рпрсд— значение р на предыдущей итерации, приведет к сравнительно малому влиянию изменений температуры и концентрации на поле скорости. Для ослабления влияния параметров турбулентности на поле скорости можно при­ менить нижнюю релаксацию к коэффициенту диффузии Г. Тогда текущее значение Г рассчитывается по соотношению

Здесь, так же как и в (6.1), а обозначает коэффициент релакса­ ции. При нижней релаксации 1 > а > 0 . Часто зависимость от других переменных проявляется через источниковый член (напри­ мер, подъемная сила в уравнении количества движения зависит от температуры). Нижнюю релаксацию источникового члена можно получить, используя соотношение

S c — OtSc.HOB + (1 °0 S Q , пред. (6.3)

Нижнюю релаксацию можно применять даже к граничным усло­ виям. Например, необязательно считать, что температура горячей стенки или скорость вращения вращающегося диска принимают свои значения прямо с первой итерации; можно в течение итера­ ций . медленно подправлять граничное условие так, чтобы в конце концов получить требуемое значение, т. е. использовать соотношение

Конечно, значения а в (6.1) —(6.4) необязательно должны быть одинаковыми, так же как и для каждой узловой точки.

г) Следует помнить, что в общем случае произвольных нели­ нейностей и взаимозависимостей мы не гарантированы от расхо­ димости решения. Обнаружено, что для многих случаев полезно

117

применение рассмотренного выше метода нижней релаксации, однако в каждом конкретном случае может потребоваться свой способ применения этого метода. Несмотря на отсутствие общей гарантии, тем не менее обнадеживающим является тот факт, что были получены сходящиеся решения для большого числа довольно сложных задач.

В гл. 8 приведены примеры таких решений; кроме них также были получены и опубликованы результаты решения множества других задач.

9. Как уже отмечалось, итерационный процесс считается окон­ ченным, когда дальнейшие итерации не приводят к изменению зависимых переменных. На практике процесс итераций заканчи­ вают тогда, когда удовлетворяется некоторый произвольный кри­ терий сходимости. Выбор этого критерия зависит от характера задачи и целей расчета. Обычно рассматриваются наиболее суще­ ственные величины, получаемые в расчете (такие, как макси­ мальная скорость, полная сила трения, некоторый перепад дав­ ления или суммарный тепловой поток), и ставится условие окон­ чания итераций при достижении в двух последовательных итерациях значения относительного изменения этих величин, не превышаю­ щего заданного малого числа. Часто формулировка критерия схо­ димости связывается с относительным изменением значений всех зависимых переменных в узловых точках. В некоторых случаях критерий такого типа может вводить в заблуждение. При использо­ вании сильной нижней релаксации изменение зависимых перемен- 'ных в итерациях намеренно замедляется, это может вызвать иллюзию сходимости, даже если рассчитанное решение еще далеко от истинного. Более разумный способ проверки сходимости за­ ключается в рассмотрении степени удовлетворения дискретного аналога при подстановке текущих значений зависимой переменной. Для каждой узловой точки можно рассчитать невязку:

следующее условие: максимальное значение |i?| должно быть меньше некоторого малого числа. В частности, как упоминалось в § 5.7, в качестве одного из показателей сходимости итерацион­ ного процесса можно использовать значение b в уравнении (5.22), которое является невязкой для дискретного аналога уравнения неразрывности.

6.2.ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ИСТОЧНИКОВОГО ЧЛЕНА

В§ 3.2 дано общее представление о линеаризации источникового члена. Согласно одному из основных правил (правилу 3) при линеаризации источникового члена в виде

118

щему точке пересечения прямой 5 = 5 с + 5рФр с осью абсцисс. Если

величина |5р| больше тангенса угла наклона касательной, Фр окажется ближе к ФР*. Использование малой величины |5 Р|

означает большее изменение ФР от Фр* до Фр. Таким образом, аналогичное нижней релаксации влияние величины SP становится очевидным.

4. Иногда анализ предельного случая больших значений источникового члена можно использовать для получения такой линеари­ зации, при которой Фр изменяется в некоторых разумных пре­ делах. Предположим, что при текущем значении Фр* мы хотим

получить на следующей итерации значение Фр, близкое к задан­

ной величине Фр. Этого можно достичь с помощью следующей линеаризации:

Пусть текущее значение концентрации равно тх*. Если 5* поло­ жительна, то тх будет возрастать и можно положить t%= 1. При •отрицательном S* можно считать пц = 0. Можно потребовать также, чтобы за одну итерацию т г не изменялась больше чем па половину

отрицательном шг= т г*/2. Так как этот анализ основан на рас­ смотрении предельного случая большого значения источникового члена, то значение ФР на следующей итерации, на которое также

влияют остальные члены уравнения, не будет в точности равно Фр. Организация итераций подобным образом не оказывает влияния на конечное значение ФР, а лишь управляет изменением ФР в течение итераций. Ее цель заключается в стремлении избежать быстрых изменений решения и появления физически неправдо­ подобных значений в процессе итераций.

5. Вообще говоря, величине Ф можно приписывать известное значение только в точках на границе расчетной области. Во внутренней узловой точке заданное значение можно получить как решение задачи, если положить в этой точке

(6. 11)

где 1030 обозначает достаточно большое число, такое, что все члены дискретного аналога пренебрежимо малы по сравнению с Источниковым, тогда

(6. 12)

(6.13)

320