книги / Сопротивление материалов. Ч. 1-1
.pdfОпределим касательное напряженке в точке 3.
285,8-Ю3 -3 0 0 '10~6
= 85,4-10* Пп.
Т(1> ~ 13380- Ю' 1 7,5-КГ3
В соответствии с четвертой теорией прочкостк вычислим эквивалентное напряжение в точке 3 сечения В и сравним его с расчётным сопротивлением.
=• у!°0) * 3 ' т|2*) =т1][]У +3-85.42 = 186М Па<Д.
Таким образом, двутавр № 36 обеспечивает прочность балки.
6. |
В опасном |
сечении |
построить |
эпюры нормальных к |
касательных напряжений. |
|
|
В. Нормальные |
|
Эпюры |
напряжений |
построим |
в сечении |
|
напряжения при изгибе линеПпо зависят от расстояния до осп банки, принимав в точке 3 значение 113 МПа.
V верхней и нижней кромок сечения напряжения равны:
= 7 § : = |
^ |
= ,гз- ,0‘ /? " = 123МЛ* |
На рис. 5.6,6 показана эпюра Еюрыапьных напряжений а*. Поскольку момент в опасном ссчелин отрицательный, верхняя часть сечения находится в растянутом состоянии, т.с. напряжения ПОЛОЖИ 1ельМЫ.
Формула Журавского достоверно описывает распределение напряжений лишь в стенке двутавра, поэтому приведенная на рис. 5.6, в эпюра т покроена для центральной части сечения.
Наибольшего значения 120,5 МГГа касательное напряжение достигает ла оси сечения.
5.5Пример рхс«с1га Валки ш и«равнопрочною материяля
Ия условия прочности по нормальным напряжениям подобрать размеры заданного типа сстения балки.
Материал: чугун Сч 12*28.
Схема балки и топ сечения приведены на рисунке 5.7.
я в1м
С=Л»| $ - 12кН/м
Г=60»И л'«:окн-м л=5 ^“4
ЛрТОИПа Л ^ 1бЭ«1Пя1
Рнс.5.7
1. Составить уравнения поперечных сил к изгибающих моментов по участкам и построить их эпюры.
Запишем, как н в ранее рассмотренных задачах, уравнения стаппи и найдем опорные реакции
5лпА-В: |
Мл- М—-2—-(о т—с)* Р(а+с) =0 |
|
ЛГц = 60-4-20-11 3-166[к/ / м] |
ХГУ=Э: |
ДА *-42 кН |
Знак минус означает, что рсахщ(я Кл направлена и противоположную сторону, т. е. вниз. Дли контроля правильности
найденных реакций убедимся, что сумма моментов отиоентсльн и равна нулю.
1Ш1Г 0: -Л/, - ЯДа 4-е) +А/ |
= - 166 4 42-4 - 20+18 = 0 |
Силовые участки выделим так, как это доказало на рис. 5.7.6. Для каждого из участков с помощью метода сечений запишем выражения поперечной силы (}у и изгибающего момента МЧ| а также вычислим их значения на границах участков.
Для правого участка полу >|нм;
I.052,51 ы
<?/=*,--42 Ш
Л, = 2, = 166-42 /, //,(0 )- 166 кНы; МЛ 1)424 кНм.
На втором участке действует распределенная нагрузка, шпенейвность которой линейно возрастает от нуля в начале участка до значения ^ в конце.
Обозначим интенсивность в произвольном сечении 2* через я* и ьыраэпм ее величину:
Внутренние усилия на этом участке примут следующий вид:
II. 0<22<5м
{?, = К - |
- -42 - 2• г \ ; |
Р,<0>=-42 кН; |
(^(З^ -бО кН . |
Л/. = ЛГ, + ЛА(г, |
+а)+ А Г -& 1 ? ь А = ]^ _ 4 2 .2,-4 2 + 2 0 - ^ ; |
М,(0)=144кНи; М.(3)=0кМм.
При записи слагаемых от распределенной нагрузки учтено, что ее равнодействующая численно равна площади эпюры интенсивности и проходит через сс центр тяжести. В нашем случае эпюра интенсивности представляет собой треугольник высотой яес основанием 2 3, центр тяжести которого находится на расстоянии 2/3*23от начало участка.
Эпюры Оу и Ми построенные на основе полученных значений и дифференциальных зависимостей, представлены карие. 5.7. в, г.
2. Определить положение опасных сечений и показать опасные точки на чертеже балки.
Наибольшую опасность разрушения представляет сечение Л, в котором максимален изгибающий момент, к сечение В, где наибольшего по обсалцлной величине значения достигает поперечная сила.
На рис. 5.9 а показаны опасные точки в сечениях. В точках типа I и 2 достигают наибольшего значения нормальные напряжения, а а то1псахтипа
3 • касательные. |
|
3. |
Определить момент инерции сечения относытольн нейтральной |
оси (через параметр Ь).
НаЯдем положение центра тяжести сечения, чергс хогорый проходит нейтральная ось X. Разобьем сечения па прямоугольники, как уго показано на рис. 3.$ и выберем вспомопательную ось Х0.
Расстояние от нес до центра тяжести Ус определим с помощью
Ч г статических моментов 5 ^ показанных прямоугольников, площади которых обозначим А„ а расстояние до центров тяжести от оси Хо-Ус
Рдс. 5.»
Момент инерции сечения относительно оси X найдем как сумму моментов составляющих прямоугольников
1 |
11* |
|
1( 1.1 |
м |
^ |
1 |
^2С^^- ^<0.*Ь^)к 5А4) =30.2А41 |
12 |
|
»* |
4. Решить вопрос о рациональном положении сечения, Нормальные напряжения при изгибе меняются по высоте сечения
линеПно, увеличиваясь с расстоянием от нейтральной оси. Поэтому для балок «з неравнопрочных материалов рациональным будет такое
положение сечения, при котором напряжения в зоне сжатия будут больше, чем напряжения в растянутоЛ зоне сечения. Поскольку изгибающий момент в опасном сечении положителен, сжата будет верхняя относительно нейтральной оси X часть сечения и рациональный будет положение, обратное исходному Сем. рис. 5.9а).
5. Определить величину параметра Ь поперечного сечения балки из условия прочности по нормальным напряжениям.
Запишем условие прочности в растянутой зоне сечения
З д есь= 2,64Ъ - расстояние от оси ло нолболес удаленной том
сечения в зоне растяжения. м*м
ьг Ж |
а т . |
4 |
м ю [и] |
р о .2 |
я, V 30,2.70т |
1 1 |
Определим параметр Ь из условия прочности о ежвтоП зоне сечения
тдеу^, =3,36Ь ■ расстояние от оси до наиболее удаленной точки сечения в зоне сжатия.
30,26*•Чш 3,364*4
№ А36166 Ю1 |
, , |
|
|
?30,3.160-10* " ' |
1 4 |
Окончательно принимаем по ГОСТу 6636-69 Ь=60 мм. |
||
б. |
Проверить прочность подобранного сечения по касательным |
|
напряжениям.
Воспользуемся формулой Журавского для касательных напряжений.
0> *г
Здесь 0 га (?“ ' в60 кН- поперечная сплав сечении В;
- статический момент отсеченной части сечения; Ьу - ширина сечения, в.машем случпе Ь,~2Ь.
Статический момент вычислим как произведение площади заштрихованных прямоугольников (рис, 5.9а), на расстояннеогосн до их центра тяжести:
3 ,- =2(1,16ЬХ1,68Ь)=11,291’.
Таким образом, наибольшее касательное напряжение:
60.10'-I1,29(0.06)*
г*. =■---------------------- *М 2 104Пя, 30,2(0,06)'-2 0,06
Подобранные размеры сечения обеспечивают прочность к ло касательным напряжениям.
7.Построить эпюры о п т е опасном сечении.
Эпюру нормальных напряжений построим в сечении А, где максимален изгибающий момент, эпюру касательных - о сечении В, где больше поперечная сила.
|
а) |
б) |
в) |
|
|
Рис. 5.9 |
|
Нормальные напряженка вычисляются по формуле |
|
||
<п |
М, |
|
|
------ у |
|
|
|
|
4 |
|
|
Для построения эпюры, имеющей линейный вил, достаточно вычислить напряжения в двух точках.
|
166-10’ 7 -З.Зб0(06=К5,5-ИК'[Па] |
* Л ’>,,1,"30.2-{0,С6)4 |
|
ЛГ, |
166 10’ т 2.64 0,06*=67,2 Ш^Па! |
= Т " А » П30,2. (0.06У4
Эпюра нормальных напряжений показана па рис. 5.96. IГрн построении учтено, что верхине волокна балки находятся в сжатом состоянии, а нижние - в растянутом.
НК
Касательные напряжения меняются ло высоте сечения нелинейно. В точках 1 и 2 напряжения т равна нулю, наибольшего значения 3,12 МПа
они достигают нп оси ссченкх. |
|
|
В точках ш ла 4 |
(рис- 5.!>а) на |
эпюре имеется скачкообразное |
пшене мне значения та |
счет увеличения |
ширины сечения с 2Ь до 4Ь. |
Вычислим напряжения в данной точке по формуле Журавского, учитывая, что статический момент
5; *“= «• 6(2,м е - 0,56)=8,56Ь3.
Таким образом:
*>= " н а ' ' ” ' ‘ 1,34 ,0<1 [[1'')=2’361МПа]
Т(4»- [П*]=1,18|МПа]
Эпюра касательных напряжений покатана на рис. 5,9в.
5.6 Пример расчета ремы на прочность
Для -заданной плоской рамы из условия прочности по нормальным напряжениям подобрать двутавровое сечение (Л=21(I МПа).
1 Вычертим в масштабе расчетную схему рамы с указанием численных значений заданных величин (рис. 5.10, а).
2 Запишем уравнения равновесия рамы и определим опорные реакции:
2 ^ = 0 ://,, - Ч а = 0,НА =4 п*12-5 = €ЭкН
= б:Яд Й+4 -Я — - />(6>+ 0 = О,
-1 2 -5 >2,5 + 9-8
-13 х11;
1У**0:йА +Яв - Р = 0,Н а = - Л в +/> = 13 + 9 = 2 2 кН.
<?.1сИ |
А/, я11м |
Рис. 5.10
Указываем на расчетной схеме величину и фактическое направление всех реакций. При составлении уравнений реакцию Км направили вверх. Так как реакция Ил получилась отрицательной, е« направление на расчетной схеме необходимо сменить на противоположное, г.е. вниз.
3. Выделии па расчетной схеме четыре участка. Запишем для каждого из них выражения внутренних усилий и найдем их значения на границах участков.
1. 05г,5 5м; |
|
Л* ■ -Лл ■ -22 кН; <Эв-//4 - -60 кН; кГ *-И г жл= -60 .г,; |
|
А/(0}«Ор,А/<5)*-Ю0хИм. |
|
2 . О 5 |
б ы . |
N в-Я ^ «-60*11; |
0= К , = 22x11; А/ = Ял ч г-Мл 5 - 2 2 х ,-300; |
АГ(О)--300к11м; |
Л/(6)=-168x11 ы. |
3.0 5 г, 55. |
|
Л >-Л ,-1ЭЫ1; 0 * ч ж,«12-х,; |
(ДО«ЪДО)-60в1|-. |
М в -?• ж , о -6г{; Д/(0)вф, |
-150нН и. |
4.0 5 *, 5 2, |
|
м = 0г д = Р=9кИ; М =-?•*««-9*.; ЛД0)«0: Д^2)«-1ВкН-к.
Стропы эпюры /V Срнс. 5 . 1 0 , (рис. 5.10, о), Л/(рис. 5.10^). Положительные ординаты N на ригеле откладываем вверх, на стойках-снаружи рамы. Эпюр/ Л/стропи па растянутых волокнах.
Указание: расчетную схему рамы и эпюры /V, (}, М разместить на одном листе.
4. Подбираем номер двутавра из условия прочности по нормальным напряжениям от максимального изгибающего
моими* ЦМи,-300 кН м, XV, г |
• Ю6 = 1«9сы 1 |
ЛН 210
Назначаем двутавр |
№56, |
у |
которого |
589 |
см1, о |
площадь |
сечения Л=400 си2. |
|
|
|
|
|
|
5. Проверим прочность подобранного двутавра с учетом |
||||||
действии продольной |
силы |
в |
наиболее опасном |
сечении |
(ригель |
|
при ?1я0), где ЛМ00 кНм, а Аь 60 кН.
с. |
, 1Л>1п |
п 300-10 1 ( |
60-10° 189*6= 195М11а<К»210МЛш |
№. |
А |
"1589 10* |
10010" |
Как видим, нормппы1ые напряжения от продольной силы составляют 3,17 % от напряжений, возникающих под действием иимбающего ыомеIста и поэтому, как правило, м<иут не учитываться.
5.7Контрольное заднике б. Расчет балки на прочность по
нормальным напряжениям
Для задашюЛ балки из условия прочности по нормальным напряжениям определить размеры различных по форме поперечных сечений: двутавра, прямоугольника (с отношением сторон ЛФ=1,Е), квадрата, круга, кольца (при <00=0,Е) и оценить их рациональность.
Схемы балок приведены иа рис.5.И , численные данны е-в табл.5.1. Материал балки: сталь Сг.З.
|
|
|
|
|
Таблица 5.1 |
|
Цифры |
1-я |
2-я |
3-я |
4*я |
5-я |
6-я |
шифра |
схема |
а, м |
|
кН |
<Т,кН/м |
Л/, 1С1111 |
1 |
1, И,21 |
0.4 |
1,4 |
10 |
10 |
20 |
2 |
2, 12.22 |
0,5 |
1,$ |
12 |
12 |
22 |
3 |
3,13,23 |
0,6 |
1,6 |
15 |
14 |
24 |
4 |
4,14,24 |
0,7 |
1.7 |
18 |
16 |
26 |
5 |
5,15,25 |
0,Е |
1,8 |
20 |
1Е |
28 |
6 |
6.16,26 |
0,9 |
1.9 |
24 |
20 |
30 |
7 |
7,17,27 |
1.0 |
2.0 |
28 |
22 |
32 |
К |
8.18,2В |
1,1 |
2.1 |
30 |
24 |
18 |
9 |
9 ,19,29 |
1.2 |
2,2 |
32 |
15 |
16 |
0 |
10. 20, 3» |
___ У ___ ___ 2,4 |
35 |
25 |
14 |
|
Содержание и порядок выполнения работы:
1. вычертить схему балки, указать численные значения заданных величии.
2.Составить равнения поперечных сил и изгибающих моментов по участком н построить до эпюры.
3.Произвести проверку с помощью дифференциальных зависимостей.
«1. |
Подобрать размеры |
указанных выше |
сечений >п условия |
|
прочности по нормальным напряжениям. |
|
|
5. |
Оценить рациональность подобранных сечений. |
||
6. Построить эпюру нормальных напряжений |
в опасном сечении |
||
|
(для двутавра, кольца). |
|
|