книги / Элементы математической физики

Соответствующее неоднородное уравнение utt − a2 uxx = f (t, x)

описывает вынужденные колебания одномерной среды под действием силы f(t, x), а уравнение колебаний с трехмерным оператором Лапласа

то есть уравнение

utt − a2 u = f (t,x,y, z)

– колебания трехмерной среды. Поэтому все уравнения такого вида часто называют уравнениями колебаний (волновыми уравнениями, уравнениями Даламбера). Параметр a2 характеризует свойства колеблющейся среды. Все волновые уравнения относят к гиперболическому типу.

Простейшее однородное уравнение параболического типа

ut = a2 uxx

описывает процесс распространения тепла в тонком однородном стержне в отсутствие тепловых источников, поэтому его называют одномернымуравнением теплопроводности(тепловым уравнением).

Двумерное уравнение теплопроводности ut = a2 [uxx + uyy] + f(t,x,y)

также относят к параболическому типу. Оно описывает процесс распространения тепла в тонкой пластине. Слагаемое f(t,x,y) ≠ 0 указывает на наличие источников тепла в пластине.

Однородное уравнение эллиптического типа относительно трех независимых переменных

u ≡ uxx + uyy + uzz = 0

описывает стационарное распределение тепла в некоторой трехмерной области D3 в отсутствие источников тепла внутри этой области

31

elib.pstu.ru

и называется уравнением Лапласа, а соответствующее неоднородное уравнение

uxx + uyy + uzz = −f (t, x, y, z), f (t, x, y, z) ≠ 0

– уравнением Пуассона. В этом уравнении функция f(t,x,y,z) характеризует плотность распределения источников тепла в области D3 и их изменение во времени, потому ее часто называют источниковым членом уравнения Пуассона.

3.3. Краевые и начальные условия для уравнений в частных производных.

Понятие корректности постановки краевой задачи

Уравнения в частных производных имеют в общем случае бесчисленное множество решений. При математическом описании физического процесса прежде всего надо поставить задачу, то есть сформулировать условия, определяющие его однозначно. С этой целью необходимо к уравнениям добавить дополнительные условия в форме начальных и краевых условий.

Постановка задачи о поиске решения уравнения в частных производных с дополнительными условиями должна гарантировать выполнение двух основных требований:

1)решение поставленной задачи должно существовать, то есть среди поставленных условий не должно быть несовместных;

2)решение поставленной задачи должно быть единственным, то есть дополнительных условий достаточно для того, чтобы выделить однозначное решение.

В совокупности оба условия представляют собой требование корректности поставленной задачи.

Если среди дополнительных условий имеются несовместные, задача называется переопределенной. Доказательство существования решения обычно связано с методом его нахождения, а теорему единственности решения часто доказывают отдельно.

Условия Коши определяют ситуацию в начальный момент времени. Если в окрестности некоторой точки процесс развивается

32

elib.pstu.ru

медленно и влиянием границ области, в которой он изучается, можно пренебречь, то эту область можно считать неограниченной. Тогда начальных условий бывает достаточно, чтобы поставленная задача для соответствующего уравнения в частных производных имела единственное решение. Соответствующий пример решения задачи о колебаниях бесконечно длинной струны, форма которой в начальный момент времени задана, рассмотрен ниже (см. метод распространяющихся волн и формулу Даламбера для волнового уравнения).

Поведение процесса внутри (или вне) некоторой конечной области пространства зависит от условий, выполненных на ее границе. Поэтому математическая постановка такой задачи в общем случае включает задание не только начальных, но и граничных (краевых) условий.

Если при этом процесс устоявшийся, то он может не зависеть от времени, и тогда его поведение внутри (или вне) некоторой конечной области пространства может полностью определяться заданием только граничных условий. Например, для однозначной разрешимости задачи о стационарном распределении температуры внутри некоторого круга достаточно задать тепловые условия на границе этого круга (см. ниже решение стационарной краевой задачи для уравнения Лапласа).

В общем случае однозначная разрешимость проблем математической физики требует постановки так называемых начальнокраевых задач, включающих в качестве дополнительных и краевые условия, и условия Коши.

Краевые условия для уравнений второго порядка в частных производных могут накладывать ограничения только на значения искомой функции на границах области или только на значения первых частных производных по пространственным переменным на этих границах. Такого рода условия принято называть соответственно краевыми условиями 1-го и 2-го рода.

Комбинация условий, налагаемых как на значения искомой функции, так и на значения ее производных, приводит к краевым условиям 3-го рода.

33

elib.pstu.ru

Более точные формулировки краевых условий и постановки соответствующих начальных, начально-краевых и краевых задач для уравнений гиперболического, параболического и эллиптического типов будут представлены в последующих разделах.

В заключение этого раздела отметим, что достаточно часто при формулировке краевых условий для простоты описания пользуются физическими законами в линейной форме. Более сложные краевые условия приходится формулировать в случае действия на границах существенно нелинейных сил и смещений при постановке периодических краевых задач и т.п. Примеры различных граничных условий можно найти в специальной и учебной литературе (см., напри-

мер, [1]).

Контрольные вопросы

1.Выпишите формулы замены переменных для уравнения с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными. С какой целью выполняется замена переменных?

2.Как определяется тип квазилинейного дифференциального уравнения с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными?

3.Выпишите канонические формы линейных уравнений с частными производными второго порядка: а) гиперболического типа; б) параболического типа; в) эллиптического типа.

4.Что такое оператор Лапласа и для чего он используется?

5.Запишите общий вид одномерного волнового уравнения с помощью оператора Лапласа. Какие физические процессы может описывать это уравнение?

6.Какие физические процессы описывает двумерное волновое уравнение?

7.Запишите общий вид трехмерного уравнения эллиптического типа с помощью оператора Лапласа. Какие физические процессы описывает это уравнение?

34

elib.pstu.ru

4. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Уравнения с частными производными второго порядка гиперболического типа связаны с описанием колебательных процессов. Даже простейшие однородные и неоднородные волновые уравнения позволяют моделировать многие физические процессы.

4.1. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа

Одна из классических задач, обычно рассматриваемых в теории уравнений гиперболического типа, – это задача о малых поперечных колебаниях тонкой струны, подробно рассмотренная в учебнике А.Н. Тихонова, А.А. Самарского [1].

4.1.1. Задача о малых поперечных колебаниях гибкой струны

Пусть струна длиной l располагается вдоль оси x, а поведение каждой ее точки можно описать с помощью абсциссы x. Струна обладает массой, ее плотность в каждой точке также зависит от абсциссы x и равна (x).

В процессе колебаний струна отклоняется от оси x. Предполагается, что смещение u струны перпендикулярно оси x, и в любой момент времени t все точки струны лежат в одной и той же плоскости – плоскости (x,u). Тогда смещение u каждой точки струны – это функция ее абсциссы x и времени t: u = u(t, x).

Колебания струны происходят в результате ее смещения под действием сил натяжения и внешних сил.

Рассматриваются малые колебания струны: математически это означает, что в расчетах величиной квадрата скорости ux2 можно

будет пренебрегать. Как следствие, при малых поперечных колебаниях удлинения участков струны в процессе колебаний не происходит, а величина T натяжения струны остается постоянной, T = T0.

35

elib.pstu.ru

Кроме того, предполагается, что струна не сопротивляется изгибу, то есть возникающие в ней напряжения всегда направлены по касательной к ее профилю. Такая струна называется гибкой.

Внешние силы считаем непрерывно распределенными вдоль струны с плотностью F(t, x), рассчитанной на единицу длины. Плотность F(t, x) внешних сил называют нагрузкой. Так как струна обладает массой, на нее действуют силы инерции, противодействующие силам натяжения и внешней нагрузки.

Требуемое уравнение колебаний струны можно получить на основании второго закона Ньютона, учитывая баланс силы инерции с силой натяжения струныи с действующимина неевнешними силами.

После ряда преобразований, с учетом сделанных выше предположений, уравнение колебаний струны можно представить в следующем виде:

Если плотность струны постоянна, то есть если ρ(x) = ρ = const, то полученное уравнение обычно записывают в виде

нужденных колебаний струны (одномерным неоднородным волновым уравнением).

Если же внешняя нагрузка отсутствует, то есть если f(t,x) ≡ 0, то уравнение (4.1) принимает вид

и называется уравнением свободных колебаний.

Начальные условия (условия Коши) определяют форму струны и ее скорость в начальный момент времени. Они задают значения

36

elib.pstu.ru

искомой функции u(t, x) и ее первой производной по времени в начальный момент:

При этом струна может быть жестко закреплена на любом из концов, один из концов может быть свободным, закрепление может быть шарнирным, на концы струны может постоянно действовать сила, возможны и другие ситуации. Разнообразные условия на границах участка [0,l], то есть на концах x = 0 и x = l этой струны, в простейших случаях могут быть классифицированы следующим образом:

граничное условие 1-го рода

u (t, 0) = (x)

определяет режим колебаний струны в точке x = 0 в любой момент времени t. В частности, если u(t,0) = 0, то это означает, что в точке x = 0 соответствующий конец струны закреплен на оси x;

граничное условие 2-го рода

ux (t, 0) = (x)

задает силу, постоянно действующую на конец струны. В частности, если ux(t,0) = 0, то это означает, что в точке x = 0 соответствующий конец струны свободен и на него не действуют никакие силы;

граничное условие 3-го рода

ux (t, 0) = h [u (t, 0) − (t)]

задает условия упругого закрепления конца струны в точке x = 0. Аналогично краевые условия задаются на втором конце стру-

ны, то есть при x = l.

Комбинация указанных типов краевых условий на обоих концах струны приводит к шести типам простейших краевых задач.

37

elib.pstu.ru

Некоторые из этих задач будут рассмотрены в следующих разделах настоящего пособия.

4.1.2. Вывод уравнения электрических колебаний

Процесс прохождения электрического тока по проводу с распределенными параметрами характеризуется силой тока I и напряжением U, которые являются функциями времени t и положения точки x: I = I(t,x) и U = U(t,x).

Применяя закон Ома к участку длиной dx, можно написать, что падение напряжения − Ux dx на элементе провода dx равняется сумме электродвижущих сил, определяемых сопротивлением R и коэффициентом самоиндукции L:

где сопротивление R и коэффициент самоиндукции L рассчитаны на единицу длины.

Количество электричества, притекающее на элемент провода dx за время dt, то есть разность

равна сумме двух величин: количества электричества, необходимого для зарядки элемента dx, и количества, теряющегося из-за несовершенства изоляции:

C [U(t + dt, x) − U(x,t)] dx + G dx·U dt =

Здесь C и G – соответственно коэффициенты емкости и утечки, рассчитанные на единицу длины, причем величину потерь мы считаем пропорциональной напряжению врассматриваемойточке x провода.

Из формул (4.5)–(4.7) вытекает следующая система:

Ix CUt GU 0, Ux LIt RI 0,

называемая системой телеграфных уравнений.

38

elib.pstu.ru

Отметим, что эти уравнения в рамках теории электромагнитного поля являются приближенными, так как не учитывают электромагнитных колебаний в среде, окружающей провод.

Систему полученных связанных друг с другом телеграфных уравнений можно разделить на два отдельных уравнения, одно из которых определит колебания электрического тока, а второе – напряжения.

Чтобы получить уравнение относительно функции силы тока I, продифференцируем первое из полученных равенств по переменной x, а второе – по времени t, умножив его на С. Производя вычитание в предположении постоянства коэффициентов, получим следующее равенство:

Ixx + G U x – CL Itt – CR It = 0.

Заменяя производную Ux ее значением из второго уравнения системы, получаем искомое уравнение для силы тока I(t,x) в следующей форме:

Очевидно, это линейное дифференциальное уравнение в частных производных гиперболического типа, определяющее режим колебаний силы тока в электрической сети.

Аналогично выглядит уравнение для напряжения U(t,x):

Уравнение (4.9), как и уравнение (4.8), называется телеграф-

ным уравнением.

Если можно пренебречь потерями через изоляцию и если сопротивление электрической сети очень мало, то есть если можно считать, что G = R = 0, то из уравнения (4.9) получаем знакомое однородное волновое уравнение

которое на этот раз описывает свободные колебания напряжения в электрической сети.

39

elib.pstu.ru

4.1.3. Поперечные колебания мембраны

Мембраной называется плоская пленка, не сопротивляющаяся изгибу и сдвигу. Мембрана имеет массу, которая определяется функцией распределенияплотности по всей поверхности мембраны.

Рассмотрим мембрану, натянутую на плоский контур С. Будем изучать поперечные колебания мембраны, то есть колебания, в которых возможные смещения точек мембраны перпендикулярны ее плоскости.

Пусть dl – элемент дуги произвольного контура, взятого на поверхности мембраны и проходящего через точку М(x, y). На элемент дуги действует натяжение, равное Тdl. Вектор Т, вследствие отсутствия сопротивления изгибу и сдвигу, лежит в плоскости, касательной к мгновенной поверхности мембраны в момент времени t, причем этот вектор перпендикулярен к элементу дуги dl.

Можно показать, что отсутствие сопротивления сдвигу приводит к тому, что величина в любой момент времени t является функцией трех независимых переменных t, x и y, то есть Т = Т(t, x, y). Эти свойства вектора Т служат математическим выражением отсутствия сопротивления мембраны изгибу и сдвигу.

Пусть функция u = u(t, x, y) определяет форму мембраны в момент времени t. Будем изучать малые колебания мембраны, то есть будем пренебрегать квадратами первых производных ux и uy.

Можно показать, что в этом случае в процессе колебаний не происходит растяжения мембраны и ее натяжение остается постоянным:

Пусть на мембрану действуют внешние силы, плотность которых (отнесенную к единице площади) обозначим F(t, x, y).

Вывод уравнения колебаний мембраны опирается на теорему о приращении количества движения, согласно которой справедливо следующее равенство: изменение количества движения равно импульсу вертикальных составляющих сил натяжения и внешних сил, действующих на мембрану.

40

elib.pstu.ru