Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Численный расчёт стержневых систем

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

755.42 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Рис. 1.8

узла j. Однако здесь удобнее расположить перемещения и силы

в матрицах v и P в ином порядке. При выбранной системе местных осей узловые силы распадаются на четыре группы, которые можно рассматривать независимо друг от друга. Силы Pi x и Pj x

вызывают только осевую деформацию бруса и определяются перемещениями vi x и vj x . Образуем из них соответствующие подмат-

рицы:

	P		v

Pa = i x			; va = i x
	Pj		vj
		x		x

Эти подматрицы связаны между собой равенством

(1.21)

Pa = kava ,

где

– некоторая квадратная матрица размером 2×2.

Силы Pi

, Pi

, а также моменты Mi z , Mi z вызывают изгиб бруса

только

в плоскости

определяются

только перемещениями

, vj

и углами поворота

θi z , θj z . Составим из этих компонент

подматрицы:

i y

Mi z

;

θi z

Pb =

vb =

j y

M j z

θj z

Связь между ними снова представим в форме

b =

b ,

(1.22)

где kb – квадратная матрица размером 4×4.

Аналогично образуем подматрицы сил и перемещений, опре-

деляющих изгиб бруса в плоскости xz :

i z

θi

;

Pc =

vc =

j z

M j

θj

Соответствующую матрицу жесткости обозначим kc , получим:

Pc = kc vc .

Наконец, кручение стержня вокруг оси матрицы:

Pd =

i x ;

vd =

i x

M j

θj

(1.23)

x характеризуют под-

Они связаны соотношением

d =

d .

(1.24)

Здесь kd еще одна подлежащая отысканию матрица размером 2×2.

В совокупности формулы (1.21)–(1.24) дают связь между узловыми силами P = {Pa Pb Pc Pd }т и перемещениями v = {va vb vc vd }т

рассматриваемого конструктивного элемента. Объединим эти формулы общим равенством

a 0 0 0

0 kb 0 0

0 0 kc 0

0 0 0 kd

Оно имеет стандартную форму

kv.

Здесь

k =

(1.25)

Таким образом, при выбранном расположении компонент P

и v матрица жесткости k оказывается блочно-диагональной. Переходя к вычислению отдельных блоков матрицы жестко-

сти, начнем с матрицы ka . Эта подматрица связывает силы Pa и перемещения va равенством (1.21). Перемещения и силы в матрицах va и Pa расположены в том же порядке, что и в матрицах v

и P для ферменного элемента, и определяют они деформацию бру-

са вдоль оси. Поэтому подматрица ka совпадает с матрицей жесткости (1.14) ферменного элемента в местной системе координат:

1−1

ka =

(1.26)

−1

Для вычисления подматрицы

необходимо рассмотреть из-

гиб бруса в плоскости

(рис. 1.9, а). Пусть u

– прогиб бруса на

расстоянии

от левого конца.

Введем безразмерную координату

ξ =

−1, которая изменяется от –1 в узле i до +1 в узле j.

а	б
	Рис. 1.9

Если на концах бруса заданы поперечные смещения и углы поворота, то изогнутая форма бруса будет однозначно определена. Другими словами, в соответствии с технической теорией изгиба балки прогиб uy однозначно определяется узловыми перемещения-

ми vb . В матричных обозначениях это означает существование равенства

		(ξ) = N (ξ)		b ,	(1.27)
u			v
	y

где N (ξ) – матрица-строка, четыре элемента которой являются функциями координаты ξ. Эта матрица будет в явной форме полу-

чена ниже, а сейчас перейдем к вычислению подматрицы kb , считая, что матрица N (ξ) известна.

Выпишем известные из курса сопротивления материалов дифференциальные соотношения для изгиба балки постоянной же-

сткости в плоскости xy:

d 2u

d 3u y

d 4u

M = EJz

;

Q = d x

= EJz

;

q = d x

= EJz

dx 2

d x3

d x 4

где Jz – момент инерции поперечного сечения относительно оси z;

М – изгибающий момент в сечении балки; Q – перерезывающая сила; q – погонная поперечная нагрузка.

Положительные направления Q и М показаны на рис. 1.9, б, а положительная нагрузка q действует по оси y. Такое правило зна-

ков для М, Q и q при выбранной системе координат определяет положительные знаки в записанных выше формулах.

Переходя к дифференцированию по ξ, перепишем данные соотношения в следующем виде:

M =	4EJz	u′′	(ξ) ; Q =		8EJz	u′′′(ξ) ; uIV (ξ) =		ql4	. (1.28)
	l2 y				l3	y	y	16EJ
								z
На концах балки (при				ξ = −1		и	ξ =1) изгибающий момент

и перерезывающая сила должны совпадать с их узловыми значениями. Учитывая направления сил и моментов, показанные на

рис. 1.9, запишем:

=Q(−1) ;

Mi z = −M (−1) ;

= −Q(1) ; Mi z =

= M (1) . Подставим в эти равенства соотношения (1.28):

8EJ

′′′y (−1);

Mi z

= −

4EJ

u′′y

(−1);

(1.29)

8EJ

4EJ

= −

′′′y (1);

Mi z

= −

u′′y

(1).

С учетом (1.27) получаем отсюда следующую связь между узловыми силами и узловыми перемещениями:

= 8EJz

N′′′(−1)

;

= −

4EJz

N′′(−1)

b ;

i z

i y

(1.30)

= −8EJz N′′′(1)

4EJz

N′′(1)

;

i z

i y

В матричной записи эти формулы имеют стандартный вид

Pb = kbvb , где

8N′′′(−1)

−4lN′′(−1)

kb =

−8N′′′(1)

(1.31)

4lN′′(1)

Таким образом,

для формирования матрицы

необходимо

определить матрицу-строку N (ξ) и воспользоваться формулой

(1.31).

Для отыскания матрицы N (ξ) обратимся к последнему соот-

ношению (1.28). Здесь рассматривается изгиб бруса под действием одних лишь узловых сил и моментов. В соответствии с этим пола-

гая q = 0, запишем: uyIV (ξ) = 0. Решение этого однородного дифференциального уравнения имеет вид

u		(ξ) =C1 +C2ξ+C3ξ2 +C4ξ3 ,	(1.32)
	y

где C1 , …, C4 – произвольные постоянные, подлежащие определению из граничных условий. Последние заключаются в том, что на левом конце балки прогиб uy должен равняться ui у , а угол поворо-

та

duy

2 duy

должен равняться

;

аналогичные соотношения

d x

l dξ

i x

имеют место на правом конце. Таким образом, решение (1.32) необходимо подчинить следующим условиям:

(−1) = vi

;

uy (−1) =θi z ; u

(1) = vi

;

uy (1) = θi z . (1.33)

Дифференцируя (1.32) по ξ, находим: u′y (ξ) =C2 +2C3ξ+3C4ξ2.

На основании (1.33) приходим к уравнениям:

C1 −C2 +C3 −C4 = vi

;

C1 +C2 +C3 +C4 = vi

;

−2C +3C

= 1

+2C +3C

= 1

(1.34)

;

θ .

i z

Решая эту систему, находим:

C1 = 12 (vi y +vj y )+ 8l (θi z −θj z ); C2 = − 34 (vi y −vj y )− 8l (θi z +θj z ) ;

C3 = −8l (θi z −θj z );

C4 = 14 (vi y −vj y )+ 8l (θi z +θj z ) .

После подстановки постоянных в (1.32) получим уравнение изогнутой оси бруса:

uy = 14 (2 −3ξ+ξ3 )vi y + 8l (1−ξ−ξ2 +ξ3 )θi z + 14 (2 +3ξ−ξ3 )vj y −

−8l (1+ξ−ξ2 −ξ3 )θj z .

Вматричной форме это выражение имеет требуемый вид:

uy = N (ξ)vb ,

где

N (ξ) = 1			(2 −3ξ+ξ3 )			l	(1−ξ−ξ2	+ξ3 ) →
N (ξ) = 1			(2 −3ξ+ξ3 )		8		(1−ξ−ξ2	+ξ3 ) →
		4			8
→	1	(2 +3ξ−ξ3 )		l	(−1−ξ+ξ2 +ξ3 ) .
→	4	(2 +3ξ−ξ3 )		8	(−1−ξ+ξ2 +ξ3 ) .
	4			8

Дифференцируя последнее равенство, получим:


N ′′(ξ) =	3	ξ 1 (−1+3ξ)					−		3	ξ			1 (1	+3ξ)	;
N ′′(ξ) =		ξ 1 (−1+3ξ)					−			ξ			1 (1	+3ξ)	;
		4					2						4
	2	4					2						4
	N ′′′(ξ) =		3		3	l	−	3			3	l	.
	N ′′′(ξ) =					l	−					l	.
				4			2				4
			2	4			2				4

По формуле (1.31) получаем искомую матрицу:

			12	6l	−12	6l
			6l	4l2 −6l 2l2
	EJz
kb =	EJz						.
kb =	l3		−12	−6l	12 −6l		.
	l3		−12	−6l	12 −6l
				2l2 −6l		4l2
		6l		2l2 −6l		4l2

(1.35)

(1.36)

Далее рассмотрим изгиб бруса в плоскости xz (рис. 1.10). В этой плоскости положительные узловые моменты (а также углы поворота) направлены по сравнению с предыдущим случаем (см. рис. 1.9) в противоположную сторону. В остальном обе схемы идентичны.

Повторяя предыдущие выкладки, найдем подматрицу

−6l −12 −6l

−6l

4l2

2l2

kc =

(1.37)

−12

12 6l

−6l

2l2

4l2

где J y – момент инерции сечения бруса относительно оси y.

Рис. 1.10			Рис. 1.11
Рассмотрим, наконец, кручение бруса (рис.	1.11). Сечение j
относительно сечения i закручивается на угол	θj		−θi		. Из курса
		x		x

сопротивления материалов известно, что крутящий момент в сечении бруса, необходимый для создания такого угла закручивания,

GJкр

(θj

) =

GJкр

M j

−θi

[−11]

i x ,

θj

где GJкр – жесткость стержня на кручение.

Из уравнения равновесия имеем также:

GJкр

= −M

[1 −1]

i x

j x

θj

Объединяя эти соотношения в одно матричное равенство, получаем:

Pd =

d ,

(1.38)

кр

−1

где kd =

−1

Формулами (1.25), (1.26), (1.36), (1.37) и (1.38) определяется матрица жесткости бруса постоянной жесткости в местной системе координат.

Теперь балочный элемент будем рассматривать в общей системе координат. В этой системе координат матрицу v(e) образуем, перечисляя, как обычно, сначала перемещения узла i, а затем – узла j. В свою очередь, в каждом узле условимся перечислять сначала

линейные смещения, а затем угловые. Обозначим матрицы линейных и угловых перемещений узла i:


v* =	vvix		;	θ	i	=	θθix .
i		iy			i			iy
	v						θ
		iz						iz

Тогда матрица перемещений узла i

vi = i .

θi

Аналогичные обозначения введем для перемещений узла j.

Матрица узловых перемещений всего бруса в общей системе координат будет иметь следующую блочную форму:

vi* v(e) = vvi = θv*i .

j jθj

Подобным же образом составим матрицу узловых сил P(e) , перечисляя сначала силы и моменты в узле i:

Pix(e)

Pi* = Piy(e)

Piz(e)

		M

	;	Mi = M

		M

(e) ix

(e) iy

(e) iz

;

P*
Pi(e) = i	.
Mi

Пользуясь подобными обозначениями для узла j, запишем:

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
20.11.20235.3 Mб15Численные методы. Ч. 1.pdf
#
20.11.20238.37 Mб7Численные методы. Ч. 2.pdf
#
20.11.20237.06 Mб18Численные методы. Ч. 3.pdf
#
20.11.20236.88 Mб14Численные методы. Ч. 4.pdf
#
20.11.20237.5 Mб14Численные методы. Ч. 5.pdf
#
20.11.2023755.42 Кб10Численный расчёт стержневых систем..pdf
#
20.11.2023972.67 Кб12Числовые и степенные ряды. Ряды Фурье.pdf
#
20.11.20233.44 Mб30Чтение и перевод юридических текстов..pdf
#
20.11.2023605.64 Кб8Что нужно знать о зарубежных партнёрах особенности культуры, деловой этикет, переговоры..pdf
#
20.11.20238.48 Mб7Что такое философия..pdf
#
20.11.202346.99 Mб47Чугуны. Структура и термическая обработка.pdf