книги / Моделирование систем.-1
.pdf4. Любую размерную функцию размерных величин можно представить в виде произведения размерного степенного комплекса, составленного из этих величин и безразмерной функции этих же величин:
y = F(x1, x2, …, xn), [y] [1],
[xi] = [1], i = 1:n, [y] = [k],
F(x1, x2, …, xn) = kФ(x1, x2, …, xn),
где [Ф] = 1.
3.6. Определение критериев подобия
Теория подобия – это теория, дающая возможность установить наличие подобия или позволяющая разработать способы получения его.
Основной характеристикой подобных объектов являются критерии подобия, с помощью которых устанавливаются закономерности взаимооднозначного соответствия модели и оригинала.
Критерии подобия – это идентичные по форме алгебраической записи и равные численно для подобных объектов безразмерные степенные комплексы определенных групп параметров, характеризующих эти объекты.
Пусть объект описывается уравнением f( p1, p2, …, pn) = 0,
где f – функциональная зависимость между параметрами объекта; pi – параметры объекта. Данное уравнение – полное физическое уравнение, характеризующее объект во всех ситуациях.
В частных случаях некоторые параметры при некоторых условиях остаются постоянными, тогда данное уравнение будет называться неполным физическим уравнением.
81
Пусть Pj = const = k1, тогда
f( p1, p2, …, pk, pk+1, …, pn) = 0,
где {p1, …, pn} – все параметры; {p1, …, pk} – группа независимых параметров; {pk+1, …, pn} – группа зависимых параметров; n – общее количество всех параметров; k – количество независимых параметров, которое определяется как ранг матрицы, состоящей из степеней единиц измерения параметров; (n – k) – количество зависимых параметров; количество критериев подобия для данной системы i 1: (n k) .
Критерии подобия могут быть установлены при известном и неизвестном математическом описании объекта.
3.6.1. Определение критериев подобия при известном математическом описании
Пусть объект описывается уравнением |
|
f ( p1, p2 , ..., pn ) 0 . |
(3.18) |
По четвертому свойству степенных комплексов любая размерная функция может быть представлена в виде произведения степенного комплекса размерной величины и безразмерной функции этих же величин:
|
|
f p1, |
p2 ,..., pn |
|
|
|
|
|
|
pα1 |
pα2 |
,..., pαn Ô( p , p |
2 |
,..., |
p |
n |
) 0 , |
(3.19) |
|
1 |
2 |
n |
1 |
|
|
|
|
где Ф(р1, р2, …, рn) – безразмерная функция.
Из свойств степенных комплексов безразмерная функция размерных величин может быть представлена в виде функции безразмерных степенных комплексов:
Ф(p1, p2, …, pn) = ( 1, 2, …, n), |
(3.20) |
где 1, 2, …, n – безразмерные степенные комплексы, кото-
рые называются критериями.
82
Пример 1. Дана электрическая цепь, состоящая из последовательного соединения конденсатора с емкостью С и активного сопротивления R, которая включается на постоянное напряжение Е (при нулевых начальных условиях). Процесс изменения напряжения uС(t) на конденсаторе определяется следующим дифференциальным уравнением:
RC |
duC |
u |
Ñ |
E 0 . |
(3.21) |
|
|||||
|
dt |
|
|
||
|
|
|
|
Решение уравнения (3.21) имеет вид
u |
|
|
e |
|
t |
|
(3.22) |
C |
E 1 |
|
RC . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно правилу Фурье все члены уравнения, описывающего какой-либо физический процесс, имеют одинаковую размерность. Поэтому уравнение (3.21) можно привести к безразмерному виду, если разделить его на один из членов, в частности на uC:
|
duC |
1 |
1 |
|
|
|
RC |
dt |
|
E |
|
1 0. |
(3.23) |
u |
u |
|||||
|
|
C |
|
C |
|
|
В теории подобия широко используется метод интегральных оценок – способ определения критериев подобия по известному математическому описанию процесса путем приведения его к безразмерному виду, при котором символы дифференцирования и интегрирования в выражениях для определения критериев подобия опускаются.
Данный способ базируется на основных свойствах дифференцирования:
dx |
lim |
x |
|
x |
, |
|
||
dt |
t 0 |
t |
|
|
t |
|
|
|
d 2 x |
lim |
2 x |
|
2 x |
, |
|||
dt2 |
t2 |
|
t2 |
|||||
t 0 |
|
|
|
|
...................................
83
d n x |
lim |
n x |
|
n x |
. |
(3.24) |
|
dtn |
tn |
tn |
|||||
t 0 |
|
|
|
С точки зрения размерности производные можно представить в виде
dx |
|
x |
|
x |
, |
|
|
||
dt |
t |
|
|
|
|
||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
||
d 2 x |
|
2 x |
|
|
x |
, |
|||
dt2 |
t2 |
|
t2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
....................... |
|
|
|||||||
d n x |
|
n x |
|
|
x |
|
. |
||
dtn |
tn |
|
tn |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Аналогично для интегрирования:
idt it,
idt1dt2 it2 ,
...................................
idt1dt2 dtn itn .
Тогда уравнение (3.23) можно переписать:
RC uC |
1 |
E |
|
1 |
1 RC 1 E |
1 |
1 0 . |
|||
|
|
|
|
|||||||
t uC |
|
uC |
|
|
t |
uC |
||||
Введем обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
RC |
1 |
RCt 1 , |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
2 |
E |
|
1 |
EuC1 . |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
uC |
|
|
|
(3.25)
(3.26)
(3.27)
(3.28)
(3.29)
Тогда уравнение (3.21) может быть представлено как уравнение безразмерных степенных комплексов:
84
1 1 2 |
0 . |
(3.30) |
Степенные 1 и 2 являются критериями подобия,
а уравнение (3.30) – критериальным уравнением. Пример 2. Пусть процесс,
происходящий в цепи, представленной на рис. 3.7, описывается уравнением
L di |
|
1 |
idt Ri |
|
|
|
|
||
|
(3.31) |
Рис. 3.7. Электрическая цепь |
|||||||
dt |
|
C |
|||||||
|
U sin t. |
|
|
(к примеру 2) |
|
||||
После преобразования с помощью метода интегральных |
|||||||||
оценок уравнение (3.31) примет вид |
|
||||||||
|
|
|
L |
i |
|
1 |
it Ri U sin ωt. |
(3.32) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
t |
C |
|
|
||
Параметрами системы являются: |
|
||||||||
|
|
|
P {L,C, R,ω,U ,i,t) . |
(3.33) |
|||||
Количество параметров |
n = 7. Преобразуем |
уравне- |
|||||||
ние (3.22) к безразмерному: |
|
|
L Rt1 CRt U sin ωt Ri1 1 0 .
Вводим критерии:
π1 L Rt1 LR 1t 1,
π2 CRt iC 1R 1,
π3 U Ri1 UR 1i 1,
π4 ωt.
(3.34)
(3.35)
85
Тогда критериальное уравнение будет иметь вид
1 2 3 sin 4 . |
(3.36) |
3.6.2. Определение критериев подобия при неизвестном математическом описании
Если неизвестно математическое описание объекта, то используется следующий алгоритм:
1. Выявление параметров Pi , i 1: n , характеризующих процесс в объекте.
2.Составление полной матрицы размерности параметров (матрица А).
3.Определение количества зависимых и независимых
параметров (k, m n k) .
4. Представление зависимых параметров в виде
P π Px1 Py1 |
Pz1 |
, |
j k : n . |
(3.37) |
|
j |
j 1 2 |
k |
|
|
|
5. Определение критериев подобия:
i |
|
|
Pj |
|
, |
j k : n . |
(3.38) |
|
P |
x y |
z |
1 |
|||||
|
1 P |
1 |
P |
|
|
|
||
|
1 |
2 |
|
k |
|
|
|
|
Данный алгоритм можно применять и для объектов с известным математическим описанием. В этом алгоритме при-
меняется метод анализа размерностей физических вели-
чин Pi , определяющих характер процесса. Возможность ус-
тановления критериев подобия, когда вид функциональной зависимости неизвестен, создает предпосылки для представления данных экспериментального исследования в обобщенной форме и распространения результатов единичного эксперимента на группу или класс подобных процессов.
Допустим, что в качестве основных единиц измерения выбраны [a, b, , q] . Тогда размерность каждого параметра
определяется по формуле
86
[P ] [aα1bα2 |
... qαl ], |
|
1 |
|
|
[P ] [aβ1bβ2 |
... qβl ], |
|
2 |
|
|
............................. , |
(3.39) |
|
[P ] [aω1bω2 |
... qωl ], |
|
n |
|
|
где l – количество единиц измерения. Матрица размерности имеет вид
α1 α2
A β1 β2
. .
ω1 ω2
… αn |
|
||
|
|
|
|
… |
βn . |
(3.40) |
|
… |
. |
|
|
|
|
||
… ω |
|
|
|
|
|
n |
|
Количество независимых переменных определяется по формуле
k rank A . |
(3.41) |
Количество зависимых переменных определяется как m n k .
Тогда для зависимых параметров формула размерности будет иметь вид
aγ1 bγ2 ... qγl [1] aα1 bα2 ... qαl x1 a bβ2 ... q l y1 ...[aσ1bσ2 ... qσl ]z1 ,
a |
λ |
b |
λ |
|
... q |
λ |
|
=[1] a |
α |
|
b |
α |
|
|
... q |
α |
|
|
x2 |
a |
|
|
b |
|
|
... q |
β |
|
|
y2 |
|
|
σ |
b |
σ |
|
... q |
σ |
|
|
z2 |
, |
(3.42) |
|||||||
1 |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
... a |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|||||||||||||||
........................................................................................................... |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
μ μ |
2 |
|
μ |
l |
|
α α |
2 |
... q |
α |
j |
x |
m |
a |
|
|
|
|
|
β |
l |
ym |
|
σ σ |
2 ... q |
σ |
j |
|
z |
m |
, |
|||||||||||||||||||
1b |
... q |
[1] a |
1b |
|
|
|
|
|
|
b |
... q |
|
|
... a |
1b |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
γi , λi , μi , αi , βi , σi |
– известные; |
|
|
xi , |
|
yi , |
zi |
|
– неизвестные |
величины.
Приравнивая показатели степеней при одноименных единицах измерения ab q в левой части выражения и в
правой его части, записанной в виде произведения формул размерностей независимых параметров, получим m систем линейных уравнений из l уравнений с неизвестными хi, …, zi при а, в, …, q соответственно:
87
γ α x |
|
|
β |
|
|
y |
|
|
σ z |
|
; |
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
; |
|
|
||||
γ |
2 |
α |
2 |
x |
1 |
β |
2 |
y |
1 |
|
σ |
2 |
z |
1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
............................................ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
αl x2 βl y2 σl z2 ; |
|
|
|||||||||||||||||||||
γl |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ1 α1 x2 β1 y2 σ1 z2 ; |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
α |
|
|
x |
|
β |
|
|
y |
|
σ |
|
|
z |
|
; |
|
|||||||
λ |
2 |
2 |
2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.43) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.............................................. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
αl x2 βl y2 σl z2 ; |
|
||||||||||||||||||||||
λl |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
................................................ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
μ |
1 α1 xk β1 yk σ1 zk ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
α |
|
|
|
x |
|
β |
|
|
y |
|
σ |
|
|
z |
|
; |
|
||||||
μ |
2 |
2 |
|
k |
2 |
k |
2 |
|
k |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
............................................. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
αl xk |
βl yk |
σl zk . |
|
|
|||||||||||||||||||
μl |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решив эти системы уравнений, находим критерии подобия по формулам (3.38):
π1 |
|
Pk 1 |
|
; |
|
|
|
||||
Px1 Py1 ...P z1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
k |
|
|
|
|
|
|
π2 |
|
|
Pk 2 |
|
|
; |
(3.44) |
||||
P x2 |
P y2 |
...P z2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
2 |
k |
|
|
|
|
|
||||
…………………… |
|
||||||||||
πm |
|
|
|
Pk m |
|
|
|
|
. |
||
P xm |
P ym |
... P zm |
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||
1 |
2 |
k |
|
|
|
|
|
88
Пример. Рассмотрим пример 2 из п. 3.6.1. |
|
||||||||||||||||||||||
1. |
Определим |
по |
|
методике |
|
вектор |
параметров |
||||||||||||||||
P {i,U , t, L, c, R, ω}, |
n 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
Составим матрицу размерности А: |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
T |
|
0 |
I |
0 |
|
, |
|
|
|
|
||||
|
[i] L M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
T |
3 |
|
I |
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
[u] L M |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
T |
1 |
I |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
[t] L M |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
T |
|
2 |
|
I |
2 |
|
|
|
(3.45) |
|||||
|
[L] L M |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||
|
[C] |
|
2 |
M |
|
1 |
T |
|
4 |
I |
2 |
, |
|
|
|
||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
[R] |
|
2 |
|
|
|
1 |
T |
3 |
I |
2 |
, |
|
|
|
||||||||
|
L M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
T |
1 |
I |
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
[ω] L M |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
A |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
(3.46) |
||||||||
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
3. Система является линейно зависимой (количество строк не равно количеству столбцов). Исключая зависимые строки 7, 6 и 4 (строка 7 является линейной комбинацией строки 3; строка 6 может быть представлена как разность строк 5 и 4; строка 4 = строка 2 + строка 3 – строка 1), получаем матрицу
89
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|||||
2 |
1 |
3 |
1 |
(3.47) |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
||
|
|||||
2 |
1 |
4 |
2 |
|
Исключая из матрицы столбец 1, являющийся зависимым от столбца 2 (столбец 2 = столбец 1·0,5), получаем матрицу
0 |
0 |
1 |
|
|
|
||||
2 |
3 |
1 |
(3.48) |
|
0 |
1 |
0 |
||
|
||||
2 |
4 |
2 |
|
Ранг данной матрицы равен 3, тогда количество независимых параметров k = 3, а количество критериев m n k
7 3 4 .
4.Группа независимых параметров [i, U , t] , соответст-
вующая матрице
0 |
0 |
1 |
|
|
|||
2 |
3 |
1 |
(3.49) |
0 |
1 |
0 |
|
Тогда зависимые переменные – это [L, C, R, ω] .
5. По формуле (3.38) составим выражения для критериев подобия:
π1 |
|
|
L |
|
; |
|||
i x1U y1 t z1 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
π2 |
|
|
C |
|
|
; |
||
|
i x2 U y2 t z2 |
|
|
|||||
|
|
|
(3.50) |
|||||
|
|
|
R |
|||||
π3 |
|
|
|
; |
||||
|
i x3 U y3 t z3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
π4 |
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
i x4 U y4 t z4
90