книги / Математика. Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия-1

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

и определить r(A).

и определить r(A).

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

1.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 175 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

	Основные формулы	Определения
	Основные формулы	и замечания
		и замечания
		но и то же число;
		г) вычеркивание стро-
		ки, все элементы кото-
		рой равны нулю.

			Задачи
Задача 1.	Составить всевозможные миноры третьего по-
	2	− 1	3	1
рядка матрицы
рядка матрицы	A = 4	0	1	5	.
		3	1
	2	3	1	− 1

Решение.

Для получения миноров третьего порядка надо выделить все три строки матрицы и каких-нибудь три ее столбца.

Таких миноров будет четыре:


M1 =		2	− 1 3		, M 2 =	2			−1		1
		2	− 1 3			2			−1		1
		4 0 1				4		0			5	,
		2	3	1		2			3		−1
M3 =	2		3	1	, M4 =		− 1 3				1
	2		3	1			− 1 3				1
	4 1			5			0		1	5		.
	2		1	− 1			3		1		− 1

	1	2	3	4
Задача 2. Определить ранг матрицы		− 2
Задача 2. Определить ранг матрицы	A = 1	− 2	4	5	.
		6	2	3
	1	6	2	3

Решение.

Минор второго порядка M =							1	2	= −4 ≠ 0 .
							1	− 2
Окаймляющие миноры:
	1		2	3
	1		2	3
M1 =	1		− 2	4	= 0	(окаймляли третьей строкой и третьим
	1		6	2
столбцом),
		1	2	4
		1	2	4
M2 =		1	− 2	5	= 0	(окаймляли третьей строкой и четвер-
		1	6	3

тым столбцом).

Следовательно, r(A)= 2. Базисный минор стоит на пересечении 1-й и 2-й строк с 1-м и 2-м столбцами.

Задача 3. Выполнить элементарные преобразования мат-

Решение.						(а)					(б)

	1 2			3	4		1 2		3 4
A =			− 2					− 4
	1			4	5 0				1	1
				2					− 1 −
	1 6				3		0 4				1
	1					(в)
			2	3	4		1	2	3	4
		0	− 4	1	1
										.
								− 4	1
			0	0			0			1
	0				0

a)элементы первой строки умножили на (–1) и сложили

сэлементами второй строки и с элементами третьей строки;

б) элементы второй строки сложили с элементами третьей строки;

в) вычеркнули третью строку, т.к. все элементы равны нулю. Ранг данной ненулевой матрицы равен числу ненулевых строк матрицы ступенчатого вида, эквивалентной данной мат-

рице.

В данном случае r(A)= 2.

Задача 4. Определить ранг и найти какой-либо базисный

	5	1	− 4	− 2
минор матрицы		− 2
минор матрицы	A = 1	− 2	3	1	.
		1	5	− 2
	3	1	5	− 2

Решение.
	5 1 − 4 − 2					1 − 2		3	1
A =		− 2 3
A =	1	− 2 3		1	5 1			− 4 − 2
			5	− 2
	3 1		5	− 2		3 1		5 − 2
1 − 2 3				1	1 − 2			3	1
		− 19						−133
0	11	− 19		− 7	0		77	−133	− 49
		− 4				− 77		44
0 7		− 4		− 5	0	− 77		44	55
		1		− 2	3		1
					−133
		0		77	−133		− 49 .
				0	− 89		6
		0		0	− 89		6

Следовательно, r(A) = 3 .

Базисным является, например, минор третьего порядка этой

	5	1	− 4
	5	1	− 4
матрицы, отличный от нуля M3 =	1	− 2	3	≠ 0 .
	3	1	5

§ 7. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Основные формулы

Определения и замечания

a11 x1 + a12 x2

+ ... + a1n xn

= b1 ,

Система m линейных уравнений с n-неиз-

+ a22 x2

+ ... + a2n xn

= b2

вестными.

a21 x1

.............................................

(1)

+ a

+ ... + a

= b

m1 1

a11

a12

...

a1n

А – матрица коэффициентов при неизвест-

a22

...

a2n

ных системы (1).

a21

(2)

A =

...

A – расширенная матрица; она получена из

am1

am2

...

amn

матрицы А присоединением столбца свобод-

...

ных членов.

Замечание.

a21

a22

...

a2n

A =

(3)

Нетрудно заметить, что по известной матри-

...

це A легко составить исходную систему ли-

am1

am2

amn

нейных уравнений и что все элементарные

преобразования системы уравнений можно

производить над ее расширенной матрицей

и в любой момент перейти к системе.

Основные формулы

Определения и замечания

3. Теорема Кронекера – Капелли

Для совместности системы линейных урав-

r(A) = r(

нений (1) необходимо и достаточно, чтобы

(4)

ранг матрицы А равнялся рангу расширен-

ной матрицы

этой системы.

+ b

+ ... + b

+ ...

+ b

= c

Первый этап метода Гаусса (прямой ход) за-

ключается в том, что система (1) приводится

b22 x2 + ... + b2k xk + ... + b2n xn = c2

(5)

к ступенчатому (5) (в частности, к треуголь-

...................................................

ному (6)) виду.

...

+ b

= c

b11x1 + b12 x2 + + b1k xk + + b1n xn = c1... ...

b x

+ ... + b

= c

...................................................

(6)

bkk xk + ... + bkn xn = ck

................................

= c

Основные формулы

Определения и замечания

r(A) = r(

)= n .

(7)

Следует запомнить, что если

r(A) = r(

)

и равен числу неизвестных, то система име-

ет единственное решение.

Другими словами, если данная система

уравнений (1) после выполнения ряда эле-

ментарных

преобразований

приводится

к треугольному виду (6), то это означает, что

система (1) является совместной и опреде-

r(A) = r(

)< n .

ленной.

r(A) = r(

(8)

Следует запомнить, что если

но меньше числа неизвестных, то система

имеет бесконечное количество

различных

решений. Другими словами, если данная

система уравнений (1) после выполнения

ряда элементарных преобразований приво-

дится к ступенчатому виду (5), то это озна-

чает, что система (1) является совместной

и неопределенной.

		Основные формулы				Определения и замечания
		r(A) ≠ r(		).		Система (1) несовместна.
	7.	r(A) ≠ r(	A	).	(9)	Система (1) несовместна.
						Замечание.
						Если в процессе приведения системы (1)
						к ступенчатому виду появляется уравнение
						вида 0xk + 0xk+1 + ... + 0xn = c ≠ 0 , то система
47						несовместна.

	8.					Второй этап метода Гаусса (обратный ход)
	8.					Второй этап метода Гаусса (обратный ход)
						заключается в решении ступенчатой (тре-
						угольной) системы.
						Двигаясь снизу вверх по уравнениям сис-
						темы (6), находим x =		cn	; затем, подстав-
						темы (6), находим x =			; затем, подстав-
							n	bnn
								bnn
						ляя значение	xn в предыдущее уравнение,
						находим xn−1	и т.д.

Основные формулы

Определения и замечания

b x

+ b x

+ ...

+ b

= c

− b +

x +

− ... − b

Если система (1) после элементарных преоб-

11 1

= c

1k 1

k 1

разований приводится к ступенчатой систе-

b x

+ ... + b

− b

k+1

− ... − b

2k+1

ме (5), то, перенеся члены с неизвестными

(10)

...................................................

xk +1,..., xn в правую часть, получим систему

bkk xk

−

bkk+1xk+1

−

...

bkn xn .

вида (10).

Придаем неизвестным

xk +1, ..., xn произвольные зна-

Замечание.

чения αk +1, αk + 2 , ....,αn

и получаем треугольную сис-

xk +1, xk + 2 ,..., xn – свободные неизвестные.

тему:

= c1 − b1k +1αk +1 − ... − b1nαn

x1, x2 ,...., xk

– базисные неизвестные.

b11x1 + b12 x2 + ... + b1k xk

Из системы (11),

поднимаясь снизу вверх,

b22 x2 + ... + b2k xk

= c2 − b2k +1αk +1 − ... − b2nαn

найдем последовательно все остальные не-

(11)

известные xk , xk −1,..., x1.

...................................................

−

Замечание.

bkk xk

k +1

...

bkn

bkk +1

n .

Поскольку

числа

αk +1, αk + 2 , ....,αn могут

иметь различные значения, исходная систе-

ма (1) имеет бесчисленное множество реше-

ний.

Основные формулы

Определения и замечания

a11x1

+ a12 x2 + ... + a1n xn

= 0,

Однородная система m-линейных уравнений

a21x1

+ a22 x2 + ... + a2n xn

= 0,

с n-неизвестными.

(12)

Следует запомнить, что система (12) всегда

10.

.............................................

совместна, т.к. x1 = 0, x2 = 0, …, xn = 0 об-

+ a

+ ... + a

= 0.

разуют решение системы. Это решение на-

r(A) = n.

зывается нулевым.

11.

(13)

Нулевое решение будет единственным ре-

r(A) < n.

шением системы (12).

12.

(14)

Помимо нулевого решения должно сущест-

вовать бесчисленное множество ненулевых

решений.

Замечание.

Если r(A) < n , то (n – r)-неизвестных будут

свободными.

Задачи

Задача 1. Решить систему уравнений

5x1 − x2 + 2x3 + x4 = 7,
	+ 4x3 − 2x4	= 1,
2x1 + x2
	− 6x3 + 5x4	= 0.
x1 − 3x2

Решение.

Составляем расширенную матрицу системы и приводим ее к ступенчатому виду:

		5		− 1 2		1				7		1	− 3	− 6	5	0
		5		− 1 2		1				7		1	− 3	− 6	5	0
						− 2									− 2
	A = 2 1				4	− 2				1		2 1		4	− 2		1
				− 3	− 6	5				0			− 1 2		1	7
		1		− 3	− 6	5				0		5	− 1 2		1	7
		1										5
		1 − 3 − 6				5			0			1 − 3 − 6			5		0
		1 − 3 − 6				5			0			1 − 3 − 6			5		0
						− 12									− 12
	0 7 16					− 12			1		0 7 16				− 12		1 .
		0 14 32				− 24								0	0		5
		0 14 32							7			0 0		0	0		5
									7			0 0
r(A)= 2 , r(			)= 3 , r(A) ≠ r(					). Система несовместна.
r(A)= 2 , r(		A	)= 3 , r(A) ≠ r(				A	). Система несовместна.
														x1 + 2x2 + 2x3 = 0,
Задача 2. Решить систему уравнений 2x1 − x2 + 3x3 = −3,
															+ 4x2 − x3 = 12.
														3x1	+ 4x2 − x3 = 12.

Решение.

Составляем расширенную матрицу системы и приводим ее к ступенчатому виду:

	1 2		2	0		1 2		2	0

		− 1					− 5	− 1
A = 2			3	− 3	~ 0				− 3 ~
	3	4	− 1	12		0	− 2	− 7	12

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 175 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
20.11.202364.74 Mб231Марочник сталей и сплавов.-1.pdf
#
19.11.202327.96 Mб162Марочник сталей и сплавов..pdf
#
12.11.20235.71 Mб7Математика введение в анализ, дифференциальное исчисление функции одной переменной..pdf
#
12.11.202321.37 Mб17Математика без формул..pdf
#
12.11.2023833.93 Кб18Математика. Дифференциальные уравнения.pdf
#
20.11.20231.82 Mб19Математика. Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия-1.pdf
#
12.11.20233.52 Mб3Математика. Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия.pdf
#
12.11.20232.32 Mб11Математика. Функции нескольких переменных.pdf
#
12.11.20238.87 Mб9Математическая логика и теория алгоритмов. Анализ алгоритмов.pdf
#
12.11.20233.59 Mб5Математическая логика и теория алгоритмов. Логика предикатов.pdf
#
12.11.20231.52 Mб5Математическая обработка результатов геодезических измерений..pdf