книги / Математика. Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия-1

Основные формулы

Определения

и замечания

17.

∆ = a11 A11 + a12 A12 + ... + a1n A1n .

(17)

Формула (17)

дает разложение

определителя

n-го порядка по

элементам пер-

вой строки.

Замечание.

Для определите-

лей любых по-

рядков остаются

в силе определе-

ния минора и ал-

гебраического

дополнения дан-

ного элемента

(формулы (13),

(14)).

Задачи

Задача 1.

Вычислить:

3

− 7

= 3 5 − 1 (− 7) = 15 + 7 = 22 .

1

5

3

5

− 1

Задача 2. Дана матрица A =

4

7

2 . Найти M

31, A23 .

− 3

4

6

Решение.

Минор M31 , соответствующий элементу a31 , есть опреде-

литель M31 =

5

− 1

. Он получается, если вычеркнуть из данно-

7

2

A = (− 1)2+3 M = (− 1)5

3

5

= −27 .

23

23

− 3

4

3

2

− 1

= 3

4

3

(− 1)1+1 + 2

− 5 3

(− 1)1+ 2 +

∆ =

− 5 4

3

2

1

7

1

7

2

7

+ (− 1)

− 5 4

(−1)1+3 = 3 25 + 2 (− 41)(−1)+ (− 1)(− 13)=

2

1

= 75 + 82 + 13 = 170.

3

2

−1

∆ =

− 5

4

3

.

2

1

7

3 + 2 (− 2)

2 + 1 (− 2) − 1+ 7(− 2)

− 1

0

− 15

∆ =

− 5 + 2 (− 4) 4 + 1 (− 4)

3 + 7(− 4)

=

− 13 0

− 25

.

2

1

7

2

1

7

− 1

0

− 15

= 1 (−

1)2+3

− 1 − 15

− 1 − 15

− 13 0

− 25

= −

.

− 13 − 25

− 13 − 25

2

1

7

Согласно формуле (5)

из первого столбца выносим (–1),

3

5

7

2

∆ =

1

2

3

4

.

− 2

− 3

3

3

1

3

5

− 4

0

− 1

− 2

− 10

∆ =

1

2

3

4

.

0

1

9

11

0

1

2

− 8

∆ = 1

− 1

− 2

− 10

(− 1)3 =

1

2

10

1

9

11

1

9

11

1

2

− 8

1

2

− 8

∆ =

1

2

10

= 1

7

1

(− 1)2 .

0

7

1

0

− 18

0

0

− 18

Основные формулы

Определения

и замечания

a11x + a12 y = b1,

Система двух

линей-

1.

a21x + a22 y = b2.

(1)

ных уравнений с дву-

мя

неизвестными

x

и y .

Следует

запомнить,

что система (1) неод-

нородная,

если хотя

бы один из свободных

членов b1 или b2 от-

личен от нуля.

2. ∆ =

a11

a12

– главный опреде-

(2)

Определитель

состав-

a21

a22

литель системы (1).

лен из коэффициентов

при неизвестных сис-

темы (1).

∆x

=

b1

a12

,

Определитель ∆x по-

3.

b2

a22

(3)

лучается

из главного

a11

b1

определителя системы

∆ y

=

.

∆ ,

если в нем коэф-

a21

b2

фициенты a11 и a21

при

неизвестном

x

заменить свободными

членами b1 и b2.

Определитель ∆ y по-

лучается

из главного

определителя системы

∆ , если в нем коэф-

фициенты

a12

и

a22

Основные формулы

Определения

и замечания

при неизвестном y

заменить свободными

членами b1 и b2 .

4. Решение системы (1) определяется

формулами Крамера

x =

∆

x , y =

∆ y

.

(4)

∆

∆

5.

∆ ≠ 0 (для системы (1)).

(5)

Система (1) имеет

единственное реше-

ние, определяемое

формулами (4).

6.

∆ = 0 ,

Система (1) решений

∆ x ≠ 0 или ∆ y ≠ 0 , или оба.

(6)

не имеет.

запомнить,

Следует

что система, не имею-

щая решений, называ-

ется несовместной.

7.

∆ = 0 ,

∆ x = 0 ,

∆ y = 0 .

(7)

Система

(1)

имеет

y =

b1 − a11x

бесчисленное

множе-

.

(8)

ство решений.

a12

Замечание.

Задавая,

например,

произвольное

значе-

ние x, получим соот-

ветствующее

значе-

ние y по формуле (8).

Основные формулы

Определения

и замечания

8.

a11x + a12 y = 0,

(9)

Система (9) – одно-

родная.

a21x + a22 y = 0.

Следует запомнить,

что однородная систе-

ма (9) всегда имеет

нулевое решение:

x = 0, y = 0 .

9.

∆ ≠ 0 (для системы (9)).

(10)

Система имеет един-

ственное решение

x = 0, y = 0 .

10.

∆ = 0.

(11)

Система (9), кроме ну-

левого решения, имеет

бесконечно много дру-

гих решений.

Задача 1. Решить систему

3x − 2y = 5,

4x + 5y = 1.

Решение.

Здесь ∆ =

3

− 2

= 23, ∆ x

=

5

− 2

= 27, ∆ y

=

3

5

= −17 .

4

5

1

5

4

1

Поскольку главный определитель системы

∆ ≠ 0,

система

x =

∆

x =

27

;

y =

∆ y

=

− 17

.

23

∆

23

∆

Задача 2. Решить систему

4x − 3y = 5,

8x − 6y = 11.

Решение.

Здесь ∆ =

4

− 3

= 0, ∆ x =

5

− 3

= −3

5

1

= −3 (− 1) = 3 .

8

− 6

11

− 6

11

2

Поскольку

∆ = 0,

∆ x ≠ 0,

следовательно,

данная система

Задача 3.

Решить систему

5x − y = 4,

= −12.

− 15x + 3y

Решение.

Здесь

∆ =

5

− 1

= 0, ∆ x

=

4

− 1

= 0, ∆ y =

5

4

= 0 .

− 15

3

− 12

3

− 15

− 12

Поскольку ∆ = 0, ∆ x

= 0, ∆ y

= 0, система имеет бесконечно

Задача 4.

Решить систему

3x − 8y = 0,

4x + 5y = 0.

Решение.

Здесь ∆ =

3

− 8

= 47 .

4

5

Поскольку

∆ ≠ 0 и система однородная, система имеет

единственное решение x = 0, y = 0 .

Задача 5.

Решить систему

4x − 3y = 0,

8x − 6y = 0.

Решение.

Здесь ∆ =

4

− 3

= 0 .

8

− 6

Поскольку

∆ = 0,

система имеет бесконечно много реше-

3

Пусть x = 1 , тогда y =

4

.

3

x = 1

4 – частное решение системы.

y =

3

§ 4. Система трех линейных уравнений

с тремя неизвестными

Основные формулы

Определения и замечания

a11x + a12 y + a13z = b1,

Система трех линейных урав-

1.

a21x + a22 y + a23z = b2 ,

(1)

нений с тремя

неизвестными

a31x + a32 y + a33z = b3.

x, y, z .

Следует запомнить, что сис-

тема (1) неоднородная, если

хотя бы один из свободных

членов bi (i =

) отличен

от

1, 3

нуля.

a11

a12

a13

Определитель

составлен

из

2.

∆ =

a21

a22

a23

–

(2)

коэффициентов при неизвест-

a31

a32

a33

ных системы (1).

главный определитель систе-

мы (1).

Основные формулы

Определения и замечания

∆x =

b1

a12

a13

,

Определители ∆x , ∆ y , ∆z по-

b2

a22

a23

лучаются из главного опреде-

b3

a32

a33

лителя системы ∆, если в нем

a11

b1

a13

заменить соответственно ко-

∆ y

=

эффициенты при x, y и z сво-

3.

a21

b2

a23

,

(3)

a31

b3

a33

бодными членами.

∆z =

a11

a12

b1

.

a21

a22

b2

a31

a32

b3

4. Решение системы (1) опреде-

ляется формулами Крамера:

x =

∆

x ,

y

=

∆ y

, z =

∆

z .

(4)

∆

∆

∆

5.

∆ ≠ 0 (для системы (1)).

(5)

Система (1) имеет единствен-

ное решение, определяемое

формулами (4).

Замечание.

Система уравнений называет-

ся совместной и определен-

ной, когда она имеет решение

и притом единственное.

6.

∆ = 0,

а хотя бы один из опре-

Система (1) решений не имеет

делителей

∆x , ∆ y , ∆z

не равен

(т.е. несовместна).

нулю.

(6)

7.

∆ = 0, ∆x

= 0, ∆ y

= 0, ∆z

= 0.

(7)

Система (1) также может со-

всем не иметь решений; но ес-

ли система (1) при этих усло-

виях имеет хотя бы одно ре-