книги / Математика. Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия-1

Направляющие косинусы: cos α = −

6

,

cosβ =

3

,

cos γ =

2

.

7

7

7

Задача 7.

Определить, какие из уравнений плоскости яв-

ляются нормальными:

а) x + y − z + 2 = 0;

3

3

3

б)

2

x −

1

y −

1

z − 1 = 0;

3

3

3

в) −

6

x +

6

y +

7

z − 4 = 0.

11

11

11

2 2

1 2

1

2

2

+

−

+

−

=

≠ 1.

3

3

3

3

В уравнении (в)

1)

(− p)= −4 < 0;

6 2

6 2

7

2

2)

−

+

+

= 1.

11

11

11

Задача 8. Даны точки M1(− 3; 7; − 5 )

и M 2 (− 8; 3; − 4 ). Со-

ставить уравнение плоскости,

проходящей через

точку M1

и перпендикулярной вектору

=

.

N

M1M 2

Решение.

Найдем координаты

нормального

вектора

Имеем

N.

= {− 5; − 4;1}.

Подставляя в уравнение (4) значения

A = −5,

N

B = −4, C = 1,

x1 = −3, y1 = 7,

z1 = −5, получим искомое урав-

нение: − 5(x + 3)− 4(y − 7)+ (z + 5) = 0 или 5x + 4y − z − 18 = 0.

Задача 9. Составить уравнение плоскости, проходящей че-

рез три точки: M1(1; − 3; 4 ),

M2

(0; − 2; − 1)

и M3 (1; 1; − 1 ).

Решение.

На основании равенства (5) искомое уравнение имеет вид

x − 1

y + 3 z − 4

− 1

1

− 5

= 0 .

0

4

− 5

cos ϕ =

7 1+ (− 11) 4 + 8 (− 10)

=

117

=

1

72 +

(− 11)2 + 82

12 + 42 + (

−10)2

234

117

2 ,

откуда ϕ = π .

4

Задача 11. Через

точку

пересечения

плоскостей

2x − 4y + 5z − 21 = 0, x − 3z + 18 = 0,

6x + y + z − 30 = 0 провести

плоскость, параллельную плоскости 3x − y − 5z + 6 = 0.

Решение.

2

− 4

5

Поскольку определитель ∆ =

1

0

− 3

= 87 ≠ 0 , данные

6

1

1

му

вектору

, получаем 3(x − 3)− (y − 5)− 5(z − 7) = 0 или

N

3x − y − 5z + 31 = 0. Это и есть искомое уравнение.

Задача 12. Одна из граней прямоугольного параллелепипе-

да

лежит в

плоскости 3x + 4y − z + 12 = 0. Найти уравнение

Поскольку плоскости перпендикулярны,

3A + 4B − C = 0.

Искомая плоскость проходит через точки M1

и M 2 , следова-

Способ второй.

Запишем

уравнение

искомой

плоскости

в виде

A(x − x0 )+ B(y − y0 )+ C(z − z0 )= 0, где

(x0 , y0 , z0 )

– координаты

любой из данных точек M1

или M2 , а {A, B,C}=

– нормаль-

N

ный вектор искомой плоскости.

Значит,

= {5; − 2; 7} и

=

{3; 4; − 1} –

M1M2

N

N

N1

i

j

k

= {− 26; 26; 26}

можем быть вектор

=

×

=

5

− 2

7

N

M1M2

N1

3

4

− 1

Решение.

Поскольку точка расположена на оси OY ,

следовательно,

ее координаты M (0; y; 0).

На основании формулы (10)

имеем:

d = 3 0 − 4 y + 2 0 − 9 ,

d

2

= 4 0 + 2 y − 3 0 − 21 ,

d = d

2

,

1

+ 22

42 + 22 + (−

3)2

1

32 + (− 4)2

следовательно,

− 4y − 9

=

2y − 21

,

откуда

4y + 9 = 2y − 21,

4y + 9 = −2y + 21.

Решая каждое

из полученных

уравнений, находим, что

y1 = −15, y2 = 2,

M1

(0; − 15; 0),

M 2 (0; 2; 0).

§ 4. Прямая в пространстве

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

1. Общее уравнение прямой в прост-

Прямая в пространстве

ранстве

рассматривается как ли-

A1x + B1 y + C1z + D1

= 0,

ния пересечения двух

(1)

плоскостей.

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

2. Канонические уравнения прямой,

Каждый не равный нулю

проходящей через точку M0 (x0; y0 ; z0 )

вектор, лежащий на дан-

и параллельной вектору

= {l; m; n}

ной прямой

или

парал-

S

(рис. 1):

лельный ей,

называется

направляющим вектором

x − x0

y − y0

z − z0

=

=

.

(2)

= {l; m; n} этой прямой.

S

l

m

n

Замечание.

Если

α, β и γ

–

углы

между прямой и коор-

динатными

осями

OX ,

OY и OZ,

cos α = ±

l

;

l2 + m2 + n2

Рис. 1

cosβ = ±

m

; (3)

l2 + m2 + n2

cos γ = ±

n

.

l2 + m2 + n2

cos α,

cosβ,

cos γ

назы-

ваются

направляющими

косинусами прямой.

3. Параметрические

уравнения

пря-

Замечание 1.

мой:

В уравнениях (4)

t рас-

x = x0 + lt,

сматривается как произ-

= y0

+ mt,

(4)

вольно

изменяющийся

y

+ nt.

параметр; x,

y,

z

– как

z = z0

функции от t.

Замечание 2.

Параметрические

урав-

нения

прямой

удобно

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

применять в тех случаях,

когда

требуется

найти

точку

пересечения пря-

мой с плоскостью.

4. Уравнение

прямой,

проходящей

Следует запомнить: че-

через две данные точки

M (x1; y1; z1 )

рез

две

точки

можно

и N (x2 ; y2; z2 ),

провести

единственную

x − x1

y − y1

z − z1

прямую.

=

=

.

(5)

x2 − x1

y2 − y1

z2 − z1

5. Угол между прямыми

Углом между

прямыми

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

в

пространстве

будем

,

называть

любой

из уг-

l1

m1

n1

лов, образованных двумя

1 = {l1; m1; n1},

S

прямыми,

проведенными

x − x2

y − y2

z − z2

через произвольную точ-

=

=

,

ку

параллельно

данным

l2

m2

n2

прямым.

2 = {l2 ; m2; n2}

S

Замечание 1.

определяется по формуле

За

угол

ϕ между пря-

мыми

можно

принять

cosϕ =

= ±

l1l2 + m1m2 + n1n2

2 .

(6)

угол

между их

направ-

ляющими векторами S1

l

2 + m 2 + n

2 l

2

+ m 2 + n

1

1

1

2

2

2

и S 2.

Замечание 2.

В

формуле (6)

можно

ставить любой знак, что

соответствует

выбору

одного из двух различ-

ных углов между дан-

ными прямыми.

Основные формулы и рисунки

Определения

и замечания

6.

l1

=

m1

=

n1

– условие параллель-

Замечание.

l2

m2

n2

Это условие можно по-

ности двух прямых.

(7)

лучить, заметив, что

векторы

1 = {l1; m1; n1}

S

и

2 = {l2 ; m2; n2} колли-

S

неарны.

7.

l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 – условие пер-

Замечание.

пендикулярности двух прямых. (8)

Прямые перпендикуляр-

ны, если скалярное про-

изведение

направляю-

щих векторов

1 =

S

= {l1; m1; n1} и

2 =

S

= {l2 ; m2 ; n2} равно нулю.

Задачи

Задача 1. Составить канонические уравнения прямой, про-

ходящей

через

точку

A(− 5; 8; − 3)

и параллельной

вектору

= {2; 4; −1}.

S

Решение.

Воспользуемся формулами (2) при x0 = −5,

y0 = 8,

z0 = −3,

l = 2,

m = 4, n = −1.

x + 5

=

y − 8

=

z + 3

– это и есть канонические уравнения

2

− 1

4

прямой.

Задача 2. Определить направляющие косинусы

прямой

x

=

y − 7

=

z + 3

.

12

9

20

Решение.

(3), полагая l = 12, m = 9,

n = 20, будем

По формулам

иметь cosα = ±

12

= ± 12 ; cosβ = ±

9

; cos γ = ±

20

25

122 + 92 + 202

25

25

мой l:

x + 1

=

y − 2

=

z − 3

или

x + 1

=

y − 2

=

z − 3

. Подставляя

6

− 4

− 2

3

− 2

− 1

в эти уравнения координаты точек K, L, M, соответственно на-

ходим: − 7 + 1 =

6 − 2

=

5 − 3

= −2;

2 + 1

=

0 − 2

≠

1− 3

;

− 4 + 1 =

3

3

− 2

−1

− 2

− 1

3

3x + 3y + z − 1 = 0,

(9)

2x − 3y − 2z − 6

= 0

5x − z − 7 = 0, откуда z = 5x − 7, z =

5

.

1

y +

16

16

15

8z = −15 y +

или z =

.

15

−

8

x −

7

y +

16

x −

7

y +

16

z − 0

z =

5

=

15

или

5

=

15

=

.

1

−

8

1

−

8

1

5

15

5

15

Умножая теперь все знаменатели на 15, окончательно по-

x −

7

y +

16

z − 0

лучим

5

=

15

=

. Прямая

проходит

через точку

3

− 8

15

7

16

M

; −

; 0

и имеет направляющий вектор S = {3; − 8;15}.

5

15