Пространство сигналов

Пусть - множество сигналов.

Путем введения структурных ограничений из можно выделить различные функциональные пространства. Например, ограничение для

формирует Гильбертово пространство сигналов, обозначенное .

Если рассматриваются периодические сигналы, то можно выделить пространство сигналов, для которых

Линейное пространство

Пространство сигналов является линейным, если для него справедливы следующие операции:

Для определена сумма

, ,

обладающая свойством:

• коммутативности:

• ассоциативности:

Для и числа определен сигнал и при этом

Множество содержит нулевой элемент : для

N-мерное векторное пространство

Пусть задан на . Произведем дискретизацию (равномерную) во времени.

Тогда - n-мерный вектор, – координаты вектора (сигнала). При и вектор становится бесконечномерным.

Представление сигналов как векторов n-мерного векторного пространства позволяет для анализа сигналов и систем использовать математический аппарат векторного анализа.

Если множество значений координат вектора – действительные числа, то такое векторное пространство – Евклидово n-мерное векторное пространство . - возможное состояние или реализация сигнала.

В определены следующие операции:

– обратный вектор.

Свойства операций в :

в векторов , одна из координат которых = 1, а остальные = 0 – координатные орты в .

вектор в может быть представлен в виде суммы:

………………………

Норма сигналов

Норма векторных сигналов на – длина вектора:

Для дискретных сигналов, определенных на

Для непрерывных сигналов:

Норма комплексных сигналов:

Метрика сигналов

Задача математической оценки близости векторов. Предположим, что мы задали пространство сигналов или, в частности, Евклидово n-мерное пространство .

Пусть – элементы пространства (или – реализации сигнала. Введем обозначения:

– расстояние между элементами множества .

Введем отображение – множество действительных чисел.

Если ввести правила отображения такие, что:

Пространство сигналов с введенным отображением называется метрическим. Метрика задается нормой разности сигналов

Для (Евклидово n-мерное пространство):

Геометрическая интерпретация для n=2:

Норма сигнала = расстояние от сигнала до нулевого элемента.

Скалярное произведение векторных сигналов.

Метрика в пространстве может быть введена с помощью операции скалярного произведения векторов. Скалярное произведение векторов называют отображение: - поле действительных чисел, которое обладает свойствами:

Если , то

Если , то

Для скалярного произведения над полем комплексных чисел:

Введение метрики в :

– норма,

– расстояние.

Введенные таким образом функции (отображения) полностью соответствуют требуемым свойствам метрики.

Определение нормы и d в в базисе.

Пусть в задан базис . Любые векторы могут быть выражены через линейные комбинации базисных векторов :

Определим нормы и расстояние :

Используя 2-е и 3-е свойство

Для ортогонального базиса

для нормированного базиса:

Аналогично для метрики:

Пространство непрерывных сигналов (функций)

Обобщение пространства N-мерных векторов на аналоговые сигналы как бесконечномерные векторы пространство (или ) на .

Условия принадлежности к - условия Дирихле:

конечное число точек разрыва 1-го рода,

Норма сигналов в :

Норма, приведенная к :

Скалярное произведение сигналов :

Нормированное скалярное произведение:

Ортогональные сигналы

Для ортогональных сигналов:

Мощность и энергия сигнала

По определению, мощность сигнала есть

Энергия сигнала:

Средняя мощность на интервале :

Связь энергии и нормы сигнала:

Энергия суммы сигналов:

– энергия взаимодействия сигналов.

Ортонормированный базис в

Ортогональный базис:

Ортонормированный базис:

Приведение ортогонального базиса в ортонормированный:

Расположение сигналов в ряд

или может быть разложен в ряд по системам:

• базисных функций, в том числе

• ортогональных базисных функций, в том числе

• ортонормированных базисных функций

Умножим обе части на и проинтегрируем.

Т.е., имеем:

Определим разложение в ряд скалярного произведения сигналов:

Разложение энергии сигнала в ряд:

В случае ортонормированного базиса имеем:

Критерии выбора системы базисных функций:

• Для сигнала ряды разложения должны сходиться.

• Min числа членов разложения при заданной точности

• Простота аналитической формы

• Простота вычисления коэффициентов разложения

Ортонормированные системы функций:

• Гармонические

• Ортогональные полиномы (Эрмита, ???Лежантра, Чебышева)

• Специальные функции (Бесселя, Лагерра, Уолсия, …)

Гармонические базисные функции

На интервале система .

Нетрудно убедиться, что имеет место быть свойство ортогональности:

Определим нормы функций:

Приведем в ортонормированную систему:

Аналогично:

И объединенная sin/cos система имеет вид:

Для разложения периодического сигнала с периодом T можно использовать систему базисных тригонометрических функций:

Система ортонормированна на T. Множитель обычно относят к коэффициентам ряда разложения, при этом:

Где:

Наибольшее распространение в качестве базисных функций частотного разложения нашли экспоненциальные функции при – пр. Ф, при – пр. Лапласса.

Связь с гармоническим разложением через формулы Эйлера:

Тогда ряд в комплексной форме:

Или:

Ортонормированная система функций Уолсия

На интервале система , причем

где – функции Раденахера:

Система функций Уолсия – предельная модификация системы периодических функций. Удобно реализовать с помощью логических элементов (ключей) и ∑.

Спектральное представление сигнала

Обобщенный ряд Фурье.

Эйлер, Бернули – волновые процессы – любой периодический сигнал есть сумма гармонических функций. Фурье нашел решение задачи по нахождению коэффициентов рядов разложения.

Дано: – произвольные функции;

Для ортогональных функций система имеет единственное решение, - линейно независимые функции.

Для ортонормированного базиса (функций):

И для заданного значения K погрешность является min.

Если при , то система - базисная система координат в и при этом достигается равенство:

Следовательно, получен обобщенный ряд Фурье.

Разложение сигналов по гармоническим функциям.

Моды, гармоники, тригонометрические функции, экспоненциальные функции.

– гармонический тригонометрический базис. Ему эквивалентен базис экспоненциальных функций вида: . Поскольку (тождества Эйлера)

И, следовательно, имеем:

Понятие собственных функций

• Тригонометрические гармонические функции являются собственными функциями линейных операторов: сдвига, интеграла, дифференциала

• Аналогично – экспоненциальные функции.

Проверим на операторе сдвига для тригонометрических гармонических функций. Пусть:

Проверим для экспоненциальных функций операцию переноса:

- собств. функция операции переноса, не зависит от (собств. знач. для фиксированного значения ).

Для операции дифференцирования:

Для операции интегрирования:

В общем виде, для линейного оператора:

- не зависит от , собств. значение

- линейный оператор.

Спектры периодических сигналов

Спектральный анализ применяется:

• Выявление периодических природных процессов

• Синтез и анализ систем связи (радиосигналы и т.д.)

• Обработка измерительных и экспериментальных данных.

1. Спектр гармоники

Действительная часть спектра содержит общую компоненту при с амплитудой, равной .

2. Спектры периодических сигналов произвольной формы.

Может быть разложен в гармонический ряд Фурье:

Справка:

Где:

– амплитудный спектр (АЧХ)

– фазовый спектр (ФЧХ)

– энергетический спектр

– комплексный спектр

• Спектры периодических сигналов представляют собой дискретные функции, т.к. он определен только для целых значений с шагом по частоте, равным

• Первую составляющую спектра при , равную называют основной частотой сигнала (первой гармоникой).

• Значения по положительным и отрицательным значениям являются комплексно сопряженными.

• Шаг по частоте называется частотным разрешением спектра.

• – бесконечномерный базис линейного пространства , а коэффициент - проекции сигнала на эти базисные функции.

• Сигнал в форме ряда Ф – бесконечномерный вектор в пространстве или точка с координатами по базисным функциям .

Спектры непериодических сигналов

Спектры непериодических сигналов конечной длительности (финитных) могут быть получены из уравнений для рядов Ф как предельные значения при .

Зададим периодическую последовательность импульсов и разложим импульс на . Не меняя положения импульса на , увеличим значение в два раза. При этом выражение для спектра останется без изменения, но число гармоник увеличится в два раза. Т.к. , т.е изменяем шаг дискретизации спектра по плюс за счет множителя в два раза уменьшаются амплитуды гармоник.

1

В пределе, при , периодическая последовательность импульсов заменяется одиночным финитным сигналом, дискретные частоты переходят в непрерывную последовательность , а . Чтобы этого избежать, множитель исключают, и мы приходим к интегралу Ф:

Спектр имеет смысл плотности спектра сигнала (спектральная функция сигнала)

Тригонометрическая форма интегр. Ф:

Интегр. Ф существует для сигналов, удовлетворяющих условию Дирихле или

Если это условие не выполняется, то используют другие интегральные преобразования, в частности преобразование Лапласа. Пусть при , а интеграл спектральной функции расходится. Тогда . Выберем так, чтобы интеграл сходился, пользуемся

Требуем, чтобы при .

Умножая обе части на и заменяя переменную интегрирования , получим тогда:

Обозначим

Получено преобразование Лапласа (оригинал + отображение)

Если вместо подставить , то получим спектр Ф для Каузальных функций (т.е.=0 при ).

Итак, спектр непериодического сигнала интеграл Ф:

– комплексный амплитудно-частотный спектр

– амплитудный спектр

Свойства преобразования Ф.

6. Преобразование свертки сигналов

7. Преобразование произведения сигналов

8. Спектр ???м-ти сигналов

9. Равенство Парсеваля

Спектры некоторых стандартных сигналов

1. -функции

- второе определение .

Учитывая свойство дуальности .

2. Использование -функции для нахождения спектров сигналов

1. Прямоугольный импульс

2. Треугольный импульс

3. ???

4. Экспоненциальный импульс

5. Функция Лапласа

6. Функция Гаусса

7. Гармонический сигнал

8. Радиоимпульс

Спектр сигнала раздваивается с коэффициентом

Модуляция сигналов

– параметры носителя.

Модулированный сигнал.

- модулирующая функция, информативный параметр.

Носители бывают трех типов (постоянный сигнал, гармонический сигнал, импульсный сигнал).

Для типа I – прямая модуляция.

– полезный системный сигнал (информативный).

Для типа II (гармоническая модуляция):

	– несущая частота – несущая функция
	X
	X

Для типа III (импульсная модуляция):

	X
	– информативный параметр,
	Счетно-импульсная модуляция

Комбинированный тип:

	– информативный параметр
	– информативный параметр;

∆-модуляция – такая модуляция, при которой изменяется параметр, а не весь сигнал.

Спектры модулируемых сигналов с гармоническим носителем

Спектр АМ сигнала

Коэффициент модуляции (глубина модуляции) определяется по формуле:

Пусть:

В общем случае спектр АМ сигнала – это произведение двух функций:

Пусть функция - спектральная функция . Спектр произведения есть свертка спектров.

Сделаем некоторые выводы. Пусть:

Т.к.

Теперь воспользуемся сделанными выводами. Из свойств интегрального преобразования Фурье:

где – спектральная функция несущей.

Тогда:

Спектральная плотность модулированного сигнала представляет два спектра моделирующего сигнала, построенных относительно частот (т.е. сдвинутых на частоты несущей с уменьшенной в два раза амплитудой).

Спектр АИМ сигнала

Пусть – периодическая последовательность прямоугольных импульсов,

Около каждой гармонической составляющей спектра периодической последовательности импульсов появляются боковые составляющие, соответствующие спектру моделирующей функции.

Корреляционный анализ непрерывного сигнала. Функции корреляции сигналов

Автокорреляционные функции (АКФ)

- непрерывная, четная функция, представляет собой скалярное произведение сигнала и сдвинутого сигнала.

– энергия сигнала.

Приведем доказательство четности:

Четность функции доказана.

По мере увеличения сдвига для финитных сигналов, временное перекрытие уменьшается, и, следовательно, и скалярное произведение стремится к нулю:

В случае периодичности сигналов АКФ вычисляется по одному периоду с нормированием скалярного произведения на:

При средней мощности сигнала на .

АКФ для периодических сигналов является периодической функцией. Так, например, пусть:

Следовательно, АКФ не зависит от фазы.

Коэффициент автокорреляционного сигнала вычисляется по формуле: