Тема 6

Электростатическое поле

1. Основные уравнения электростатики

Электростатическое поле описывается системой дифференциальных уравнений,

(1)

которая получается из системы уравнений Максвелла в предположении, что векторы поля не зависят от времени и отсутствует перемещение зарядов (j = 0). Аналогично находятся основные уравнения электростатики в интегральной форме:

(2)

Электростатическое поле обладает рядом специфических свойств. В частности, непосредственно из уравнений Максвелла следует, что оно является потенциальным, а его векторные линии имеют истоки и стоки: они начинаются и заканчиваются на зарядах. В случае электростатического поля вектор Е можно представить в виде градиента скалярной функции и, называемой электростатическим потенциалом:

(3)

Соотношение (3) получается из формулы .

В

Рис.3 1

Рис.9

ыясним физический смысл электростатического потенциала. Вычислим работу , совершаемую при перемещении точечного заряда величины из точки в точку по контуру (рис.9). Так как напряженность электрического поля определяется как сила, с которой поле действует на единичный точечный положительный заряд, то

(4)

Знак минус в формуле (4) означает, что положительная работа совершается в том случае, когда заряд перемещается против сил поля. Подынтегральное выражение в формуле (4) можно представить в виде.

(5)

где - полный дифференциал и. Второе равенство в формуле (5) представляет собой известное тождество векторного анализа. Для его доказательства достаточно и разложить по ортам декартовой системы координат

) и вычислить скалярное произведение. Подставляя (5) в (4), получаем

(6)

где и - значения потенциала и в точках и соответственно. Полагая Кл, получаем, что работа, совершаемая при перемещении единичного точечного положительного заряда в электростатическом поле, численно равна разности потенциалов в конечной и начальной точках пути. Она не зависит от формы пути, по которому перемещается заряд, и от абсолютного значения потенциала. Если потенциалы бесконечно удаленных точек считать равными нулю, то потенциал и в точке N можно определить как работу, которую нужно совершить для перемещения единичного точечного положительного заряда из бесконечности в точку N. Потенциал измеряется в вольтах.

Находим связь между разностью потенциалов в точках и и напряженностью электростатического поля:

(7)

Если потенциалы бесконечно удаленных точек считаются равными нулю, то выражение (7) принимает вид

Было показано, что в случае однородных сред () электростатический потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона. Запишем в виде:

(8)

Если в рассматриваемой части пространства заряды отсутствуют (), то (8) переходит в уравнение Лапласа

(9)

В тех случаях, когда заряды распределены в ограниченной области V с плотностью ( -функция координат), потенциал определяется выражением

(10)

где R-расстояние от точки интегрирования до точки наблюдения .

В случае поверхностных зарядов, распределенных с плотностью p_s на поверхности S, нужно использовать формулу

(11)

где R- расстояние от элемента dS до точки, в которой вычисляется потенциал.

Если поле создается заряженной нитью конечных размеров, т.е. зарядами, распределенными вдоль линии, то потенциал выражается формулой

(12)

где интегрирование осуществляется вдоль нити (контур ); R- расстояние от элемента до точки, в которой вычисляется потенциал (рис.2.8), а -линейная плотность заряда, определяемая выражением

(13)

Записанные соотношения позволяют определить потенциал, а следовательно, и векторы электростатического поля в однородном изотропном пространстве по заданному распределению зарядов.

Чтобы получить наглядное представление об электростатическом поле, его изображают графически. При этом помимо силовых линий обычно рассматривают его эквипотенциальные поверхности, т.е. поверхности равного потенциала. Выясним связь между поверхностями равного потенциала и силовыми линиями электростатического поля. На эквипотенциальной поверхности потенциал постоянен и, следовательно, . При этом согласно соотношению (5) должно выполняться равенство , где вектор совпадает по направлению с касательной к эквипотенциальной поверхности. Это равенство означает, что поверхности равного потенциала и силовые линии электростатического поля пересекаются под прямым углом. Зная семейство эквипотенциальных поверхностей, можно построить силовые линии, и, наоборот, зная силовые линии, можно построить эквипотенциальные поверхности.