5. Эффект Фарадея

1. Рассмотрим постановки задачи о возможности существования в феррите продольно распространяющегося ЭМ поля. Для упрощения задачи считаем, что феррит заполняет неограниченное пространство, подмагничивающее поле h = l_z h и параметры , однородны по x, у. Поэтому д/дх = д/ду = 0 имеем Ė_z= Η_z = 0 ,

(4)

Необходимо найти ЭМ поле, векторы напряженностей которого Ė, Η удовлетворяют уравнениям (4) и условиям излучения при z→±∞ .

В систему уравнений (4) входят только составляющие Н_х,Ė_у и Н_у,Ė_х. Они являются поперечными относительно продольного направления, определяемого ортом 1_z. Это значит, что в рассматриваемой модели феррита могут существовать только бегущие Т-волны, распространяющиеся вдоль возрастающих ( z → ∞) и вдоль убывающих (z → ─ ∞) значений z. Поэтому решение задачи надо искать в виде бегущей вдоль возрастающих значений z однородной по x, у плоской волны, удовлетворяющей условию излучения при z →∞ (см. § 3.2, п.7):

Η = i_xΗ_x +i_yΗ_y , Ė = i_xĖ_x +i_yĖ_y,

где

Η_x = H_0xe^-ikz, Ė_у = ─W_уH_x; Н_у = H_0ye^-ikz, Ė_х = W_xH_y , (5)

H_0x , H_0y — амплитуды. Значения k, W_x, W_y — коэффициента распространения и характеристических сопротивлений, а также связь между H_0x и Н_0у надо определить с помощью (4). Это прямые волны, их вектор Пойнтинга Π=1_zП _z . Обратные волны имеют Π =─1_zП _z. Для них (второе) решение системы (4) надо искать в виде тоже линейно поляризованных бегущих вдоль уменьшающихся значений z однородных по х, у плоских волн, удовлетворяющих условию излучения при z → ─∞:

Η_x = H_0xe^ikz, Ė_у = W_уH_x; H_y=H_0ye^ikz, Ė_x =─W_xH_y. (6)

2. Решение задачи, прямые волны. Подставим для этого (5) в (4). Из первых двух уравнений получаем, сокращая общие множители, k = ω ε_aW_x , k = ω ε_aW_y , т.е. W_x = W_у = W = k / ω ε_a . Из двух последних уравнений имеем систему

(k ²-ω²ε_αμ₀μ_x)H_0x=─iω²aε_αμ₀Η_0y; (7)

(k² – ω² ε_aμ₀μ_x)H_0y = iω²αε_aμ₀Η_0x .

Исключая из нее Н_0х, Н_0у, получаем (k ² – ω ²ε_a μ₀μ_x)² =(ω²aε_a μ₀)² , откуда имеем корни

к²_1,2 = ω²ε_αμ₀(μ_x±a). Таким образом, находим четыре корня k_1,2,3,4=±ω[ε_αμ₀(μ_x±a)]^1/2. Подставляя вместо μ_x и а их значения из (5), получаем k_1,2,3,4=±ω.В соответствии с условием излучения корни k_1,2 = k= ωсоответствуют двум

волнам, бегущим вдоль увеличивающихся значений z. Подставим k₁ = kַв (10.17). Для первой волны получаем связь ортогонально поляризованных составляющих вектора Н^־: Н^ֿ_0у = i Н^ֿ_0х. При этом из (5) имеем Ė^ֿ_y = iĖ^ֿ_x, W = W_ = k_/ ω ε_a . Эта волна имеет круговую отрицательную поляризацию (см. § 10.2).

Для второй волны, подставляя k₂= k ₊ в (7), получаем Η⁺_0y= ─ iН⁺_0х. При этом из (5) имеем Ė⁺_y = ─iĖ⁺_x,, W = W₊ = k₊ / ω ε_a .

Эта волна имеет положительную круговую вращающуюся поляризацию. Таким образом, в намагниченном однородном по х, у феррите прямая волна (15), распространяющаяся в продольном направлении (в направлении h= 1_zh), может существовать только в виде суммы двух поляризованных по кругу плоских волн с противоположными направлениями вращения плоскостей поляризации: Н_х = Н⁺_х+ Н^-_х , Н_у = Н⁺_у + Н^-_у .

3. Обратные волны. Коэффициенты распространения

k_3,4 =-ωпо (15) определяют обратные волны. Для последних с помощью (7) находим Н_0у= ±iH_0х. Ортогональные в про­ странстве составляющие векторов Н^- и Н⁺ сдвинуты по фазе на π/2 и равны по амплитуде. Первая волна имеет отрицательную круговую поляризацию, вторая волна имеет положительную круговую поляризацию. Таким образом, обратная волна, распространяющаяся в продольном направлении (в направлении вектора (-h)), может существовать только в виде суммы двух поляризованных по кругу плоских волн с противоположными направлениями вращения плоскостей поляризации. Эти же результаты получаются при подстановке (6) в (4). Но тогда (6) удовлетворяют условиям излучения при k_1,2 = k.

4. Поляризации ЭМ поля и эффект Фарадея. При учете потерь μ_± = μ_± - i μ"_± . Поэтому для α_± и β_± из выражения k

_±²= (ß_± - iα_±)² = ω² ε_αμ₀(μ'_± - iμ"_±) получаем при ε_α = ε_а

}

=

Если h<h₁, то как следует из графиков , μ'₊< μ'_-, μ"_± ≈ 0 . При этом имеем а_±≈0. Поэтому обе волны круговых поляризаций распространяются с минимальным затуханием. Найдем ортогональные составляющие Н_х и Н_у вектора Η результирующего поля прямой волны. Имеем

Н_x = Н_x⁺ + Н_x^- = H_0x⁺ exp(-ik₊z) + H_0x^- exp(-ik_-z).

Если exp (-a₊z) ≈ q_x exp(-a_z) ≈ H₀ exp(-az), где H₀ = , α≈α₊ ≈ α_- , тο H_x ≈ H₀ exp(-az)×

×[exp(-iß₊z) + exp(-iß_-z)]. Вынесем из квадратных скобок множитель exp[-i(ß_-+ß₊)z/2] и к результату применим формулу Эйлера. Получим

^z/2·cos[ (β_--β₊)z/2]

Для результирующего поля имеем

H_y=Н_y ⁺ +Н _y ⁺= -iH _0x ⁺ ехр(-ik ₊ z)+iH₀^-_x ехр(-ik _- z).

Аналогичным образом преобразуя это выражение, имеем

H_y≈2Н₀⁺е^-az .·(1_x cosγ+1_y sinγ)

Обозначая γ = (β_-β₊)z/2, получаем dtrnjh htpekmnbhe.otuj gjkz

Таким образом, ортогональные составляющие вектора Η синфазны или противофазны, поэтому он линейно поляризован, фаза его линейно меняется по z, коэффициент фазы равен средней величине (β_ + β₊)/2, значит, фазовая скорость равна средней между фазовыми скоростями положительно и отрицательно поляризованных волн. Но угол наклона вектора Η к оси x γ = γ (z) = (ß_- ß₊)z/2 с ростом z увеличивается. Конец вектора Η по мере распространения волны (с ростом z) описывает винтовую линию (рис. 10.3₍а). На длине пути z = l вектор Η поворачивается по часовой стрелке на угол

Вектор суммарного поля не является линейно поляризованным, так как характеристические сопротивления положительно и отрицательно поляризованных волн неодинаковы. Поэтому

Сложение векторов напряженностей полей двух круговых поляризаций при разных амплитудах напряженностей полей приводит к полю эллиптической поляризации. Большая ось эллипса поляризации вектора Ε поворачивается так лее, как поворачивается вектор Η.

При более точном учете потерь в феррите оказывается, что . Поэтому

результирующие векторы Η и Ε оказываются эллиптически поляризоваными в поперечной плоскости. Но большие оси эллипсов поляризации поворачиваются с ростом z на угол γ = 0,5(β_-β₊)z·

Описанное явление называют эффектом Фарадея. Параметр γ= (β_-β₊)2 - постоянная Фарадея. Она зависит от частоты, величины подмагничивающего поля и свойств феррита. Среды, в которых существует эффект Фарадея, называют гиротропными (вращающими).

5. Вектор Η обратной волны в модели, в которой отсутствуют потери, тоже имеет линейную поляризацию. Поворот его происходят тоже по часовой стрелке (если смотреть вдоль вектора h) и определяется постоянной Фарадея (рис. 62,б).

Рис.62

На пути длиной z=1 вектор Η прямой волны получает поворот плоскости поляризации на угол γ₁ =0,5(β_-β₊)l (рис. 62,а). Если вектор Η обратной волны на расстоянии z = 1 находится под углом γ₁ к оси x (рис. 62,б), то на пути z = 1, поворачиваясь по часовой стрел­ке, он приобретает дополнительный угол γ₁. В начале координат он находится под углом 2 γ₁ к оси x. Таким образом, вектор Η в исходное состояние (рис. 62,a) прямой волны в начале координат не приходит. Это значит, что поле в гиротропной среде не подчиняется принципу взаимности.

6. Возможность существования в плазме продольно распространяющегося ЭМ поля изучим с помощью математической модели,. При этом считаем, что подмагничивающее поле h = 1_zh и параметры ê_а, μ_a однородны по х, у. Поэтому д/дх=д/ду=0. Не решая уравнений (3), используем принцип перестановочной двойственности.

Применяя его к (5), (6), определяем следующее. В направлении подмагничивающего поля в плазме могут распространяться две прямые волны с коэффициентами распространения и две обратные волны с такими же коэффициентами распространения. Ортогональные составляющие векторов связаны так: . Это значит, что две прямые волны поляризованы по кругу и имеют противоположные направления вращения плоскостей поляризаций. Для существования линейно поляризованных векторовE прямой и обратной волн надо, чтобы сс₊=а_. При этом вектор Ё прямой результирующей волны получаем из (9):

С ростом z его угол наклона к оси x увеличивается. (На рис. 62,а) вектор Η надо заменить на вектор Е). В плазме при продольном распространении поля (вдоль вектора h) наблюдается эффект Фарадея*

Вектор Η эллиптически поляризован в поперечной плоскости, большая ось эллипса поляризации его поворачивается так же, как поворачивается вектор Ε.

7. При расчетах параметров плазмы применяется понятие коэффициентов преломления волн, поляризованных по кругу: п_± = β_± / β₀, ß₀ = ω/c . Если не учитываются потери, то (см. § 10.3, п.6). Тогда , при этом постоянная Фарадея