10.7.2. Металлическая плоскость, покрытая слоем диэлектрика

Пусть на идеально проводящей пло­скости Х. = 0 расположен слой идеального диэлектрика (=1, = 0) толщиной d с относительно диэлектрической прони­цаемостью >1 (рис. 10.55). В направле­нии осей Y и Z слой имеет неогра­ниченные размеры. Среда при x>d-воздух { =1, = 1, = 0). Предполо­жим вначале, что по данной системе в направлении оси Z распро­страняется Е-волна {Е 0, Н_г= 0). Поперечные составляющие векторов Е и Н выражаются через E по формулам (9.19), (9.20).

Предположим, что поле волны не зависит от переменной у, и, как обычно, выделим зависимость от координаты z в виде множи­теля exp(-iz), где -пока неизвестная постоянная. При этом продольная составляющая вектора Eпринимает вид Е_т =

■ Е_т{х, z) = Е_z(х.z) exp (-iz). Функция Е_z°(х) должна удовлетворять

уравнению Гельмгольца (9.2), которое в рассматриваемом случае имеет вид

, v=1;2, (10.75)

где , в области 1 (при 0x<d) и в области 2 (при х > d). Решение уравнения (10.75) для области 1 записывается в виде Е_г°(х) = A sin (пх) + В cos fax). Так как на поверхности идеального проводника (при х = 0) должно выполняться условие (0) = 0, то постоянная В = 0. Во второй области поле должно иметь характер поверхностной волны. Поэтому поперечное волновое число должно быть чисто мнимой

^{величиной , где} ||=^{. Записывая решение}

уравнения (10.75) для области 2 и учитывая, что при х функция Е_х°{х) должна обращаться в нуль, получаем E_z°(x) = С ехр (-х).

На границе раздела "диэлектрик-воздух" (при x = d) состав­ляющие и должны

быть непрерывны. Определяя по формуле (9.20), получаем

Asin() =С ехр (-d),

(10.76)

Acos ()=ехр (-d).

Исключая в (10.76) постоянные A и С, приходим к трансцен­дентному уравнению

(10.77)

Выразим в правой части (10.77) через по формуле

= (10.78)

Помножая (10.78) на d и деля на получаем

(_Y d) tg (у d)/ = . (10.79)

Решая (10.79), можно найти и по (10.78) рассчитать . После этого легко вычисляются параметр и постоянные А и С.

Рассмотрим графическое решение трансцендентного уравне­ния (10.79). Поскольку для рассматриваемых волн >0, то обе части (10.79) должны быть положительными. На рис.10.56 по­строены значения левой и правой частей уравнения (10.79) в зависимости от величины при =2. Значения правой части (1,0J9) лежат на окружности с центром в начале координат и

радиусом R = , зависящим как от рабочей частоты, так и от толщины слоя диэлектрика и его диэлектрической проницаемости. Значения левой части уравнения (10.79) будут положительными при >0, если значения d находятся в интервалах n<d<+ n где n = 0,1,2…. Точки пересечения окружности, на которой лежат значения правой части уравнения (10.79), с кривыми, изображающими положительные значения левой части (10.79), соответствуют значениямd являющимся корнями уравнения (10.79). Как видно, при фиксированных f, d и окружность пересекается с конечным числом кривых, изображающих левую часть уравнения, т.е. существует конечное число корней уравнения (10.79), каждому из которых соответствует определенное значение параметра . Это означает, что в рассматриваемой линии может распространяться конечное число Е-волн, которые будем обозначать

Е. При R< существует лишь один корень уравнения (10.79) (одна точка пересечения кривых на рис.10.56), при этом в линии может распространяться лишь одна (основная) волна типа Е. Структура поля этой волны показана на рис.10.51. Так как данный корень существует при любых f и d, то для основной Е-волны f_Kp =0, т.е. эта волна может распространяться в рассматриваемой линии при любой толщине диэлектрика и на любой частоте. При < R < 2 в линии кроме основной сможет распространяться еще одна (высшая) Е-волна (существуют две точки пересечения кривых на рис.10.56). Чем больше R, тем большее количество волн типа Е может распространяться по линии. В общем случае может рас­пространяться конечное число Е-волн, критические длины волн которых определяются из условия R =n, n=1, 2,.... Подставляя выражение для R, получаем

Анализ магнитных волн, распространяющихся вдоль оси Z по рассматриваемой линии (рис.10.55), проводится аналогично. В этом случае поперечное волновое число является корнем следующего трансцендентного уравнения: ctg (d) =- Помножим обе части этого уравнения на d и разделим на Под­ставляя затем значение а из (10.78), получаем

d ctg ( d)/ = - (10.80)

Значения правой части уравнения (10.80) также лежат на окружности с центром в начале координат и радиусом

Значения левой части должны быть отрица­тельными при d > 0. Для этого значения d должны лежать в интервалах /2 + n < d< + n, п - 1, 2, 3,.... Значения левой части уравнения (10.80) при =2 на рис.10.56 показаны пунктирными линиями. Критические длины Н-волн, распростра­няющихся в рассматриваемой линии, определяются из условия

R = (2n-1) /2 и равны , п = 1,2,....

Таким образом, основной волной в рассматриваемой линии является Е-волна, структура которой показана на рис.10.51. Ее критическая частота равна нулю. Одноволновый режим имеет

место при d <, где = C/f-длина ТЕМ-волны в воздухе.