
- •Лекция 5 регрессионный анализ
- •5.1. Общие положения
- •5.2. Линейная однофакторная зависимость
- •5.3. Аппроксимация экспериментальных данных нелинейными
- •5.4. Аппроксимация экспериментальных данных нелинейными
- •• • • •
- •5.5. Параболическая регрессия
- •5.6. Множественная регрессия
- •Применение дисперсионного анализа для оценки качества уравнений регрессии
5.3. Аппроксимация экспериментальных данных нелинейными
зависимостями, сводимыми к линейным логарифмированием
Если нелинейность между переменными сравнительно невысокая, то для аппроксимации можно использовать математические зависимости, которые несложными преобразованиями, например, логарифмированием можно свести к линейным:
(5.3.1)
(5.3.2)
(5.3.3)
С помощью логарифмирования получим математические зависимости, по которым введя замену переменных, получим линейные формы записи:
(5.3.4)
(5.3.5)
.
(5.3.6)
y = b0 +b1 · x.
При такой замене переменных, можно использовать ранее полученные формулы для линейной аппроксимации (5.2.21), подставив в них для (5.3.4)
ln Y вместо y и ln X вместо x; для (5.3.5) и (5.3.6) ln Y вместо y и X вместо х.
Для зависимости (5.3.4) расчётные формулы для вычисления коэффициентов линеаризованной зависимости получим преобразованием формул (5.2.21) и они примут следующий вид:
(5.3.7)
(5.3.8)
Для зависимостей (5.3.5) и (5.3.6) формулы для вычисления коэффициентов линеаризованной зависимости примут следующий вид:
(5.3.9)
(5.3.10)
Запишем формулы
для перехода от коэффициентов
линеаризованных зависимостей к исходным
зависимостям для (5.3.1):(5.3.11)
Запишем формулы
для перехода от коэффициентов
линеаризованных зависимостей к исходным
зависимостям для (5.3.2):
(5.3.12)
Запишем формулы
для перехода от коэффициентов
линеаризованных зависимостей к исходным
зависимостям для (5.3.3):
(5.3.13)
Линеаризация зависимостей (5.3.2) и (5.3.3) в геометрической интерпретации может быть представлена как логарифмическое изменение масштабов по оси Y, которое приводит нелинейную зависимость в линейную форму представления, как это показано на рис.5.3.1. В геометрической интерпретации использованный метод линеаризации для зависимости (5.3.1) может быть представлен как логарифмическое изменение масштабов осей X и Y, которое приводит нелинейную зависимость в линейную форму представления, как это показано на рис.5.3.2.
• •
Y
y=lnY
•
•
•
•
•
•
•
X=x
Рис.5.3.1
Y,
y=ln (Y)
•
•
•
•
• •
•X,
x=lnX
Рис.5.3.2