4.10. Множественная корреляция

Для определения тесноты связи между откликом и несколькими факторами на практике используются следующие коэффициенты: конкордации, множественной корреляции и множественной детерминации.

Коэффициент конкордации – определяет тесноту связи между произвольным количеством признаков, которые могут быть качественными или количественными. Требуется, чтобы они были проранжированными.

Коэффициент конкордации вычисляется по следующей формуле:

(4.10.1)

где m – количество признаков;

n – общее количество наблюдений;

S - отклонение суммы квадратов рангов от средней квадратов рангов которое вычисляется по формуле:

(4.10.2)

где n – общее количество наблюдений;

s_i – сумма рангов всех признаков по i-ой строке.

Сила связи определяется по критерию Пирсона, вычисляемого по формуле:

(4.10.3)

Пример 4.10.1

Вычисление коэффициента конкордации продемонстрируем на примере определения тесноты связи между уставным капиталом, числом акций, выставленных на продажу, и уставным капиталом. Исходные данные и результаты предварительных расчётов представлены в таблице 4.10.1.

Таблица 4.10.1. Исходные данные примера 4.10.1

№	Устав. кап. -х	Число акций –у	Число рабо-тников - z	Ранг х	Ранг у	Ранг z	Сумма строк	Квадр. сумм
1	29540	856	119	9	7	1	17	289
2	16050	930	125	1	9	2	12	144
3	41020	1563	132	10	10	3	23	529
4	23500	682	141	6	5	4	15	225
5	26250	616	150	7	3	5	15	225
6	17950	495	165	4	2	6	12	144
7	28130	815	178	8	6	7	21	441
8	17510	858	181	3	8	8	19	361
9	17000	467	201	2	1	9	12	144
10	22640	661	204	5	4	10	19	361
Итого							165	2863

Вычислим отклонение суммы квадратов рангов от среднего значения квадратов рангов:

S= 2863-165²/10=140.5.

По (4.10.1) вычислим коэффициент конкордации:

W=12·140.5/(3²(10³-10))=0.19.

По (4.10.2) вычислим значение критерия Пирсона:

χ²=12·140.5/(3·10·(10-1))=6.24.

По статистической таблице [2] находим критическое значение критерия Пирсона для рекомендуемого уровня значимости α=0.05 и количества степеней свободы n-1=10-1=9: χ²_крит=16.919. Ввиду того, что вычисленное значение критерия Пирсона не превышает критическое значение делаем заключение об отсутствии связи между откликом – уставным капиталом и двумя факторами: количеством акций, выставленных на продажу, и количеством работников на предприятиях.

Коэффициенты множественной детерминации и корреляции требуют наличия линейной зависимости между откликом и всеми факторами и нормальности всех переменных, используемых в вычислениях. К достоинствам этих коэффициентов относится наличие возможности оценки их существенности.

Эти показатели как правило используются для оценки качества уравне-ний регрессии в стандартных процедурах регрессионного анализа. Они так-же могут использоваться и для самостоятельных расчётов по определению силы связи между случайными переменными. Вычисления являются матрич-ными и поэтому при проведении вычислений без применения компьютеров сложными.

Для вычисления коэффициента множественной детерминации требуется первоначально вычислить парные коэффициенты линейной корреляции между всеми переменными, т.е. откликом и всеми факторами и составить соответствующую матрицу. Коэффициент множественной детерминации –

R²_{y,x1,x2,…xm} делением определителя матрицы Δ* на определитель матрицы Δ.

r_yx1 r_yx2 … r_yxm 0

1 r_x1x2 … r_x1xm r_x1y

Δ

.

.

.

. .

.

.

^*=

.

.

.

.

.

.

r_x2x1 1 … r_x2xm r_x2y (4.10.4)

r_xmx1 r_xmx2 … 1 r_xmy

1 r_x1x2 … r_x1xm

Δ

.

.

.

.

.

.

=

.

.

.

r_x2x1 1 … r_x2xm (4.10.5)

r_xmx1 r_xmx2 … 1

R²_yx1x2…xm = Δ*/ Δ. (4.10.6)

R_{кор,yx1x2…xm} = √Δ*/ Δ. (4.10.7)

По статистическим таблицам [11] находим критические значения коэффициентов множественной детерминации и корреляции для рекомендуемого уровня значимости α=0.05 и количества степеней свободы равного количеству наблюдений минус 1, и если вычисленные по (4.10.6) и (4.10.7) значения превышают критические, то корреляционная связь между откликом и факторами считается существенной.

Для простоты приведём пример вычисления коэффициентов детермина-ции и корреляции для результативного показателя у – добычи нефти и двух наиболее существенно влияющих на неё факторов: х₁ – разведочного бурения и х₂ – количества добывающих скважин.

Пример 4.10.2

Провести корреляционный анализ показателей нефтегазодобывающей отрасли России, приведённых в таблице 4.10.2, полученные по таблице 4.9.4. Для упрощения формул фактор х₄ таблицы 4.9.4 переименован в фактор х₂.

Таблица 4.10.2. Исходные данные для примера 4.10.2

Показатель	Код	1996 г.	1977 г.	1998 г.	1999 г.	2000 г.	2001 г.	2002 г.
Добыча нефти в млн. тонн	y	269,91	270,94	264,70	268,53	281,29	301,73	341,60
Разведочное бурение в тыс. метрах	x1	1026,4	1006,7	789.0	824,9	1013,7	1145,1	1410,4
Кол. добываю- щих скважин	х2	106645	101224	97557	101937	109939	114883	113672

По данным таблицы 4.10.2 вычислены коэффициенты линейной корре-ляции между всеми переменными и результаты вычислений помещены в таблицу 4.10.3.

Таблица 4.10.3. Коэффициенты линейной корреляции для переменных

примера 4.10.2

Коды	y	x1	x2
y	1	0,932	0,865
x1	0,932	1	0,831
x2	0,865	0,831	1

Коэффициент множественной детерминации вычисляется по формуле:

(4.10.8)

Коэффициент множественной корреляции вычисляется по формуле:

(4.10.9)

Проведём вычисления по формулам (4.10.8) и (4.10.9):

По шкале Чеддока коэффициент множественной корреляции попадает в диапазон значений от 0.5 до 0.7 и следовательно корреляционная связь меж-ду результативным показателем у – добычи нефти и двух влияющих на неё факторов: х₁ – разведочного бурения и х₄ – количества добывающих скважин должна быть отнесена к заметным.

Полезно бывает вычислить и частные коэффициенты корреляции, кото-рые исключают влияние всех факторов кроме одного, по следующим формулам:

(4.10.10)

(4.10.11)

Естественно, что влияние фактора х₁ на х₂ без учёта влияния результатив-ного показателя у такое же как влияние фактора х₂ на х₁ без учёта влияния результативного показателя у:

(4.10.12)

По формулам (4.10.10) – (4.10.12) вычислим частные коэффициенты корреляции.

Частные коэффициенты линейной корреляции уменьшают значения коэффициентов линейной корреляции за счёт исключения совместного влияния переменных, что не противоречит здравому смыслу.