Метод моментов для нормального закона

Нормальный закон является наиболее употребительным. Он применяется для представления самых различных случайных процессов, таких как продолжительность жизни людей, изменения экономических и технических показателей. Функция плотности нормального закона представляется следующей математической зависимостью:

(3.39)

Характерной особенностью нормального закона является то что в качестве его параметров в функцию плотности (3.39) входят математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, поэтому для использования метода моментов достаточно в (3.39) подставить их оценки, вычисленные по экспериментальному распределению. Для оценки качества аппроксимации по критериям согласия Пирсона и Колмогорова требуется вычислить вероятность попадания случайной величины в интервалы гистограммы и гипотетическую ФР. Так как интеграл от функции плотности нормального закона аналитически «не берётся», то он определяется по таблицам, составленным для нормального закона с математическим ожиданием, равным нулю, и средним квадратическим отклонением, равным единице с преобразованием реального распределения по следующим формулам:

(3.40)

(3.41)

Пример 2.3. Аппроксимация экспериментального распределения случайных чисел экспоненциальным и нормальным законом с проверкой качества аппроксимации по критерию согласия

Эспериментальное распределение случайных чисел задано в виде гистограммы, представленной на рис.3.6.

Рис.3.6. Гистограмма экспериментального распределения с эмпирическими частотами и гипотетическими частотами, вычисленными для экспоненциального и нормального закона

По гистограмме вычислим основные статистические характеристики экспериментального распределения и интенсивность для его аппроксимации экспоненциальным законом:

Расхождение в исоставляет около одной четвертой, поэтому весьма целесообразно выдвинуть гипотезу о подчинении экспериментального (эмпирического) распределения экспоненциальному закону.

По вычисленным гипотетическим частотам вычислим КС Пирсона:

По статистическим таблицам находим коэффициент доверия гипотезе о подчинении данного распределения экспоненциальному закону:

_.

Так как вычисленный коэффициент доверия укладывается в рекомендуемый 10% интервал, то гипотеза о подчинении данного экспериментального распределения экспоненциальному закону не отвергается.

Гипотетические частоты для экспоненциального закона приведены на рис.3.6.

Проведём аппроксимацию того же примера нормальным законом. Значения оценок математического ожидания и среднего квадратического отклонения нами уже вычислены, теперь требуется вычислить гипотетические частоты попадания случайной величины в интервалы гистограммы для нормального закона. Результаты вычислений приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1

X	z
0	-1,25	10,56	11
100	-0,86	19,49	9
200	-0,49	31,56	12
300	-0,09	46,41	15
400	0,29	61,41	15
600	1,07	85,77	24
800	1,84	96,71	11
1200	3,38	99,97	3

11 первых значений случайной величины «выходят» за пределы диапазона построения гистограммы, так как в ней нет интервала для отрицательных чисел. В сумме получается 100 значений.

Вычислим значение КС Пирсона:

Так как в статистических таблицах нет коэффициента доверия для такого большого значения КС , то будем считать, что коэффициент доверия гипотезы и таким образом гипотеза о подчинении данного экспериментального распределения нормальному закону отвергается.

Контрольные вопросы:

1. Какие задачи решаются на этапе формализации?

2. Какими математическими зависимостями рекомендуется представлять результаты имитационного моделирования?

3. На каком принципе основывается метод моментов?

4. Приведите методику применения метода моментов.

5. Приведите формулу для вычисления начальных моментов.

6. Какие критерии согласия Вы знаете?

7. Приведите формулу для вычисления вероятности попадания случайной величины в интервалы гистограммы.

8. Приведите формулу функции плотности равномерного закона.