книги / Статистический анализ временных рядов
..pdf4 .3 . ПЕРИОДЫ ТРЕНДА ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ 133
наблюдения независимы и нормально распределены. Тем не менее эти результаты сохраняются как асимптотические для фиксиро ванных периодов T!k„ если наблюдения независимы, их распре деления имеют равномерно ограниченные (абсолютные) моменты порядка 2 + 6 для некоторого 6 > О или, в более общем случае, если выполняется условие Линдеберга — Феллера. (См, § 2.6,)
4.3.4. Решение вопроса о включении тригонометрических слагаемых
Трудной, но весьма существенной является задача о том, какие тригонометрические слагаемые следует включать в циклический тренд. Это задача с несколькими решениями, возникающая также во многих других областях применения регрессионных методов. Однако в данном случае она имеет некоторые особенности. Будем предполагать, что функция тренда содержит р членов. Точнее,
это а 0 и, возможно, ат/2 (—1/, если Т четное, а также соответст
венно (р — 2)12 или |
(р — 1 )/2 пар тригонометрических членов |
с периодами T!k„ / = |
1, ..., (р — 2)12 или (р — 1)/2 соответствен |
но. При этом мы располагаем оценкой о2 с Г — р степенями свободы. Пусть под вопросом находится включение в тренд q пар тригоно метрических членов, тогда как р — 2q членов уже определенно должны быть включены в тренд. Мы хотим относительно каждой из q пар тригонометрических слагаемых решить, равна ли ее ампли
туда нулю, т. е. для каждого / = |
1, ..., |
q решить, будет ли р (kj) = |
|||||
= 0. Здесь возможны следующие решения: |
|
|
|||||
|
Н0'- Р (^i) = |
' ' ' = Р (^?) = |
|
|
|
||
|
Н{'. р (ki) |
0 , |
р (kj) — 0 , |
/ =5^ I, |
/ = |
1, ♦. • * q> |
|
(45) |
Ны: р (&/,)> 0, |
р (kt) > 0 , |
р (kj) = |
0, |
/' ф i, \ФН, |
|
|
|
|
|
|
|
|
/== 1, |
Я, |
Н12...д' р (^ft)
Эта задача со многими решениями существенно отличается от рас смотренной в разд. 3 .2 .2 по той причине, что здесь уже не сущест вует такого априорного естественного упорядочения периодов, каковым являлось упорядочение степеней полиномов.
Будем полагать, что о фазах априори ничего не известно и что их значения не представляют для нас. интереса. Отсюда следует, что решающие процедуры должны основываться на статистиках R2 (kj). При этом они будут инвариантны относительно преобразо
ваний ао = |
а0 + с0, ат/г = |
аг/г + сТ/2 (если |
Т четное), |
а*(к() = |
|||
= а (^) + |
ch |
b*(kt) = |
b(kt) + dit i = |
q -f |
1, ..., (p — 2)12 или |
||
(p — l) / 2 |
и |
a*(kj) |
= |
a(kj) cos 0 / + |
b (kj) sin 0 ;, |
b*(kt) — |
|
134 ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ Гл. 4.
= —а (kj) sin 0 / -f b (kj) cos 0/, / |
= 1, |
q, T . |
e. |
||
|
[P/2-1] |
|
|
|
|
(40) y*t ~ y t |
+ c0-f 2 |
(ci cos |
* + |
di sin |
+ |
|
<=<7+1 |
V |
|
|
/ |
+ ^ 2 |
2 (cos \ ^ T ~ (s — 0 |
— 0 /] — cos |
(s — 0 j ys+ |
||
+ Сг/г(— 1)*-
Будем считать, кроме того, что заранее нельзя отдать предпочте ние ни одной из рассматриваемых q периодических функций. В связи с этим естественно ограничиться только симметричными процедурами.
Рассмотрим сначала случай, когда а 2 известно. Такая задача имеет определенный исторический интерес и является предельной для ряда других случаев. В предположении нормальности статис тики а0, a (kj), b (kj), / = 1, ..., (р — 2)12 или (р — 1 )/2 и, воз можно, ат/2, образуют достаточное множество статистик для пара метров сс0, a (kj), Р (kj), j = 1.......(р — 2)12 или (р — 1 )/2 и, соответственно, а т/2- Потребуем, чтобы решающие процедуры были инвариантны относительно преобразования (46). (Изменения фаз
соответствуют |
вращениям |
пар a (kj), |
b (kj).) Тогда они должны |
||||||
основываться |
на статистиках |
R 2 (kj), |
..., R 2 (kj). |
Если р (kj) = О, |
|||||
то величина |
|
|
|
|
|
|
|
||
(47) |
|
|
|
Zj = -^rR*(kj) |
|
||||
имеет X^распределение с 2 степенями свободы. Плотность ее рас |
|||||||||
пределения и сама функция |
распределения равны соответственно |
||||||||
|
|
|
|
к(г) = ± е ~ г/\ |
|
|
|
||
(48) |
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К (z) = j k (v) dv = |
1 — ё~г/2. |
|
|||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
В |
противном |
случае z; |
имеет |
нецентральное |
Х2-распределение |
||||
с |
2 |
степенями |
свободы |
и |
параметром |
нецентральное™ |
|||
т2 = |
Tp2(kj)l(2a2). |
Соответствующая |
плотность1) |
имеет следующий |
|||||
*) См., например, Т . Андерсон (1958, стр. 113). Параметр нецентральности получается заменой в квадратичной форме, имеющей Х2-распределение, всех входящих в нее нормальных случайных величин их математическими ожидани ями. Некоторые авторы называют параметром нецентральности вдвое меньшую величину.
4 .3 . |
ПЕРИОДЫ ТРЕНДА ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ |
135 |
вид:
№ * r ( Y + 4-) '
(49)
где
(50)
— бесселева функция первого рода с чисто мнимым аргументом порядка 0. В силу того что / 0 (z) выражается степенным рядом с положительными коэффициентами, она является монотонно
возрастающей |
функцией аргумента |
г |
(0 < г <; <х>). Поэтому |
||
k (г|т*)/к (г) |
= |
е~х‘/2 / 0 |
(т]/г) — монотонно |
возрастающая функ |
|
ция от г (0 |
<; z < оо) |
при каждом т2 > |
0 . |
||
Рассмотрим процедуру проверки нулевой гипотезы о том, что величина некоторой амплитуды равна нулю, использующую оцен
ку только этой амплитуды. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Теорема |
4.3.1. |
Равномерно |
наиболее |
мощный |
инвариантный |
||||||||
критерий для проверки гипотезы Н) : р (kj) = |
0 против |
альтер |
|||||||||||
нативы р (kj) > 0 |
с уровнем значимости |
е/ |
имеет критическую |
||||||||||
область |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(51) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Вероятность |
события |
(51) |
при |
нулевой |
||||||||
гипотезе |
равна |
е;-, |
поскольку |
функция |
распределения |
||||||||
Zj — |
TR2 (kj)/ (2а 2) |
имеет |
вид |
1 — ё~г'Р. |
Из |
фундаментальной |
|||||||
леммы Неймана — Пирсона |
следует, |
что |
(51) |
|
является |
критиче |
|||||||
ской областью наиболее мощного критерия |
для |
проверки |
гипотезы |
||||||||||
Я/ |
против |
любой |
простой |
альтернативы, |
например |
р2 (kj) = |
|||||||
= 2а2т2/7\ Обозначим множество, определяемое |
соотношением |
||||||||||||
(51), |
через |
А * . Через А будем обозначать любую другую крити |
|||||||||||
ческую область с Рг {А (Н ) \ |
= |
е/. |
Неравенство (51) эквивалентно |
||||||||||
неравенству |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(52) |
Щ р - = e-x,/2f0(rVzj) > |
е“ г*/2/ 0(т]/ — 2 log е/) = |
d„ |
||||||||||
правая часть которого обозначена для краткости символом dj.
136 |
|
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ |
Гл. 4. |
|||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
(53) |
Рг {Л*|т2) = |
Рг {Л* П Л |т 2} + |
Рг{Л* Л Л |т 2}= |
|||
|
= |
j |
k(z,\x2)dz/ + Pr{A* Л Л | т2}> |
|||
|
|
<4*ГЙ |
|
|
|
|
|
> d , |
j |
k(Zj)dzj + Pr{A* Л Л |т2} = |
|||
|
|
<4*ГЙ |
|
|
|
|
|
= |
|
J |
k (zj) dZj + Pr{A* Л Л | т2}> |
||
|
|
А*(\А |
|
|
|
|
|
> [ |
k(z,Iт2) dzt + |
Рг {Л* Л Л 1т2}= |
|||
|
|
А*С\А |
|
|
|
|
|
= |
Рг {Л |т 2}. |
|
|
||
Утверждение теоремы |
вытекает теперь |
из того, |
что неравенство |
|||
(53) выполняется для всех т2 > 0 .и
Приведенная процедура известна под названием критерия Шустера (Шустер (1898)).
Рассматриваемую задачу со многими решениями можно пред ставить как комбинацию задач, включающих в себя гипотезы об
отдельных амплитудах, а |
именно: |
||
|
я „ = я ; л л |
••• |
п я ; = ft я;, |
|
|
|
i= 1 |
|
я / = я ; л л я ; , |
|
/ = 1, . . . . q, |
|
'i*i |
|
|
(54) |
Ны = Н*н Л я ; Л |
ft |
я ;, h < i, h, i = 1......... q, |
|
|
/==1 |
|
|
i* i,№ |
|
|
я 12 ...,== n я ;. |
|
|
|
|
|
i=\ |
|
|
|
Пусть R0, RI и т. д. обозначают области из пространства значений |
||||
R2 (kx) , |
R2 (kg), в которых соответственно принимаются |
гипо |
||
тезы Я 0, Я, и т. д., a /?*,/ = |
1, ..., q,— области, в которых |
прини |
||
маются |
гипотезы Hi. Эти |
два множества |
областей указанного |
|
выборочного пространства находятся точно |
в таком же соответст |
|||
вии, в |
каком находятся два введенных выше множества областей |
|||
из. пространства параметров, указанные в (54). Потребуем, чтобы
(55) Рг { $ | р (*,), ..., р (kq); р (kj) = 0} - 1 - е/,
4 .3 . |
ПЕРИОДЫ ТРЕНДА ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ |
137 |
т. е. чтобы вероятность правильного решения р (kj) = 0 не зави села от значений других амплитуд. Будем называть это свойство независимостью от мешающих параметров. Тогда рассуждения, подобные тем, которые были проведены в разд. 3.2.2 (мы их только
наметим), показывают, что пересечения R] и R2 (kj)' — с*, г Ф /,
имеют вероятности |
1 — е, для |
почти всех наборов |
q — 1 неотри |
|
цательных значений си .... c/_i, |
с/+ь |
..., ся. Пусть |
h [R 2 (kx), ... |
|
.... R2 (kQ)] равно |
1 в области R] и 0 |
вне этой области (т. е. h — |
||
критическая функция; ее можно продолжить до рандомизирован ной критической функции). Условное математическое ожидание h относительно R 2(kj) является ограниченной функцией остальных q — 1 аргументов. Из (55) следует, что математическое ожидание разности последнего и величины (1 — ej) тождественно равно нулю, независимо от параметра нецентральности. Искомый результат вытекает теперь из ограниченной полноты семейства нецентральных Х2-распределений. (См. упр. 25 и 26.)
Из сказанного следует, что решение о р (kj) основывается в действительности только на R 2 (kj). Если мы привлечем условие
симметрии, то все е,-, |
i = |
1.......q, будут равны. |
Обозначим это |
||||||
общее значение е, через е. При данном е наилучшая |
процедура для |
||||||||
проверки Н* указана |
в теореме 4.3.1 |
(где е/ |
= е). Отметим, что |
||||||
(56) |
Рг{/?„|Я0}= |
Р г |Д |
| р (Ara) = |
••• |
= |
р (kg) — о} =* |
|||
|
= |
П Рг (R*/\p(kj) = 0 } = |
(1 — е)’. |
|
|
||||
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
|
|
Если задается значение именно этой вероятности |
в |
виде 1 — 6 , |
|||||||
то 1 — е = (1 — 6 )•/* |
или |
log (1 — е) = [log (1 — б)]/*?. |
|
||||||
Теорема 4.3.2. Пусть задана вероятность |
(1 — г)я |
принятия |
|||||||
решения |
о том, что все рассматриваемые |
амплитуды |
равны 0 , |
||||||
когда это в действительности имеет место. |
Тогда |
равномерно |
|||||||
наиболее мощная симметричная инвариантная процедура выбора положительных амплитуд, не зависящая от мешающих парамет
ров, состоит в том, что решение |
р (kj) > |
0 принимается |
при |
|
TR2 (kj)/(2o2) > - 2 |
log е. |
|
|
|
Если все р (kj) = |
0 , то ошибочным будет решение о том, |
что |
||
хотя бы одно р (kj) > |
0. Поскольку, согласно указанной процедуре, |
|||
решение р (kj) >• 0 принимается при |
zt > С, |
вероятность ошибки |
||
равна |
|
|
|
|
(57) |
рг {7?о|Я 0} = |
1 - ( 1 - « Г с/У |
|
|
Эта функция табулирована Дэвисом (1941, |
табл. 1), у которого |
|||
С12 и q соответствуют К и N12. Указанная |
процедура в качестве |
|||
138 |
ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ |
Гл. 4. |
критерия значимости известна под названием критерия Уолкера [Уолкер Дж. (1914)]. Подобные общие проблемы поиска решений другим методом изучались Леманом (1957). Отметим, что если q — [(Т — 1)/2], то
(58) lim Рг {г/ < С + 2 log q, / = 1, . , . , <7} = q-+oo
= lim [1 ■—exp(— C/2 — logg)]9 = exp {— e~c/2}.
q-+oo
Проблему поиска решения можно поставить и иначе. Предпо ложим, что отличной от нуля может быть самое большее одна амплитуда. Тогда следует рассмотреть гипотезы
<т\ |
Н°‘ р ^ = ’ ** = р ^ = |
°> |
1 ' |
Я/: р(Л/) > 0 , р (k() = 0, |
i Ф /, * = 1 , |
|
|
j — 1, •• . , q. |
Плотность совместного распределения нормированных выбороч ных амплитуд равна
(60) |
П k (Zj I т/), |
|
/=1 |
где самое большее одно г) ’= Гр® (k,)] (2а 2) положительно. Если, например, верна гипотеза Я/, т. е. р (kj) > 0, а р (k{) = 0, i Ф /, то отношение правдоподобия для Я/ и Я 0 имеет вид
k (Zj 1rj) П k (г,)
______
(61)
Пk (Zi)
1=1
k (Zj I rj) |
/о (T/ V^/) |
k (Zj) |
и является монотонно возрастающей функцией от г,. Это наводит на мысль о том, что при больших значениях г,- следовало бы пред почесть гипотезу Hj гипотезе Я0. Отношение правдоподобия для Я/ и Я,-, i Ф /, i > 0, выражается формулой
|
* (Zj |
I rj) |
Пk ( z h ) |
|
(62) |
_________ ЬФ! |
|||
k (Zi |
I T() |
n k (Zg) |
||
|
||||
k (Zj 1rj) k (Zi)
k (Zj) k (Zi 112)
_ e T//2/0(rj Y zj) '
e ~ ^ \ (nVJt)
Если rj — rj — г2, TO (62) равно /„ (x ]/~Zj)/I0(r V ZD• Последнее
отношение будет больше или меньше 1 в соответствии с тем, больше
4.3. |
ПЕРИОДЫ ТРЕНДА ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ |
139 |
или меньше 1 отношение ZjlzL. Обратимся к проблеме выбора между гипотезами Я/ и Я,-.
Л емма 4.3.1. Равномерно наиболее мощная симметричная инва
риантная процедура выбора между гипотезами Н} и Hi |
состоит |
||
в принятии Hj при Zj > zi и принятии Я, при Zj < zt. |
|
|
|
Д оказательство. В данном |
случае под симметрией понимается |
||
симметрия по ZJ и zl9 т. е. Bj |
и Bt симметричны, если в Bj |
замена |
|
Zj на z, и обратно переводит Б/ в Bt и обратно. Пусть Л/ = |
{(гь .,. |
||
.... г,) | Zj > г,}, Л? = {(гь .... г„) | г; < zj, и пусть Лу |
и |
At — |
|
два других взаимно дополнительных не пересекающихся симмет ричных множества. (Мы пренебрегаем множествами вероятности О,
такими, как {(z1( |
zq) | Zy = zt}.) |
Тогда, |
из |
симметрии А] f) Л( |
||
и Л/ |
П А*> |
|
|
|
|
|
(63) |
Рг {л; 1т? = |
т? = 0} = |
|
|
|
|
|
= |
Рг {Л; Г) Л( | Т/ = |
т2, |
т? = |
0} + |
|
|
|
+ Рг{л; П Л; [ ту2 = |
т2, |
т? = |
0} = |
|
= J • • • I П fe(zft) <Гт’/2/0(тJ/7/) П dzh +
A ) < \ A t Л=1
+ Рг(л; П Л/I T^ T2, т2 = 0 } >
> \ ... |
J Й ft(гй)<rxV2/0(тК7,) П dz„ + |
|
* |
/1=1 |
/1=1 |
+ Рг(л; П Л/1 TJ = т2, т2 = 0} = |
||
= j . . . |
J п |
цг^% ^у7,) п dzA+ |
л;пл; |
ft=I |
A=1 |
+ Рг {А)(\А,\Т2 = %\ т2 = 0 } =
= Рг{Л/ |т? = т2, т2 = 0 }.
Это неравенство выполняется при всех значениях т2 > 0. Отсюда следует, что указанная симметричная процедура является равно мерно наиболее мощной по т2.ц
Теорема 4.3.2 и лемма 4.3.1 утверждают, что в указанной выше
задаче со многими решениями следует принимать |
гипотезу Я 0, |
если все выборочные амплитуды малы, и принимать |
гипотезу Я/, |
если R 2 (kj) — максимальная и достаточно большая по величине
140 ЦИКЛИЧЕСКИЕ ТРЕНДЫ Гл. 4.
амплитуда. Соответствующая процедура симметрична в том смысле,
что одновременная |
перестановка индексов у |
Ни ..., Н„ н у |
|
R2 (kj), .... R2 (kq) |
не изменяет |
процедуры. |
|
Теорема 4.3.3. |
Равномерно |
наиболее мощная |
симметричная |
инвариантная решающая процедура выбора только одной из гипотез Н0, Нъ ..., Нч при заданной вероятности Pr {R01Н0) = (1 — е)" и при условии независимости процедуры от мешающих парамет
ров, состоит в принятии гипотезы Н0, если Zj = |
TR2 (&,)/(2а2) < |
||||||
< |
—2 log е, |
/ = 1, .... q, |
и |
в противном случае — в принятии |
|||
гипотезы |
Hj |
с индексом |
j, |
удовлетворяющим |
условию Zj > |
zlt |
|
i |
j, i = |
1, ..., q. |
|
|
|
|
|
|
Д оказательство. Пусть |
R0, Rlt ..., Rq — полная группа |
вза |
||||
имно непересекающихся областей в пространстве значений гъ ..., г„, в которых соответственно принимаются гипотезы Н0, Ни ..., Н„,
отвечающая некоторой |
произвольной |
процедуре |
с |
Рг {#„/#„} |
=» |
||||||||
= (1 — е)’. Положим |
Ro = |
R0 и |
|
|
|
|
|
|
|
||||
(64) |
R] = R0 П {(«!, |
. . . . г9)| Zj > г„ |
i ^ j ) , |
/ = |
1, . . . . |
q. |
|
||||||
Тогда |
Рг {Ro\H0} = |
(1 — е)" |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(65) |
Рг {R’j | т/ = |
т2, |
тй = 0 , |
|
Нф /) = |
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
Pr {R'j П Ri | т- = т2, |
тл = 0 , |
h ф]} + |
|
|
|||||||
|
|
+ |
Рг {#/ П Ri \ Т/ = |
т2, тл = |
0 , |
|
h ф]'} = |
|
|
||||
|
== 2 |
Рг {R', П R A j = т2, т2 = |
о, к ф \ \ + |
|
|
||||||||
|
|
i+f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
Рг{Я/ п |
# /|т / = |
т2, |
тл = |
0 , Ьф}} > |
|
|
||||
|
> |
2 |
Pr {Rt П #<|т/ = |
т2, Тл = |
0, |
Л # / } + |
|
|
|||||
|
|
<+/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
Рг {/?) П Ri I т/ = |
т2, |
тл = |
0 , |
h ф /} = |
|
|
||||
|
в |
Рг {R/1т2 = |
т2, тл = |
0, |
Л # /} , |
|
/ = 1, |
. . . , |
q, |
||||
поскольку в силу симметрии и доказательства леммы 4.3.1 |
|
|
|||||||||||
(6 6 ) |
Pr {R/ П |
IТ/ = |
т2, Тл = |
0, h =#=/} > |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
> |
Рг {R/ П Ri| т2 = |
т2, |
тл = 0 , |
1гф /}. |
|||||
Положим, далее, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(67) |
#o={(Zi, . . . . |
zv)\z t < . — 2 logе, |
t = |
l, . . . . q}, |
|
|
|||||||
(6 8 ) |
£/ = #!> П {(*i, |
•••, 2<j) I Zj > |
zt, |
i=^/}, /= = 1, . . . . |
q. |
|
|||||||
4 .3 . |
ПЕРИОДЫ ТРЕНДА ЯВЛЯЮТСЯ ДЕЛИТЕЛЯМИ |
141 |
|||||||
При ЭТОМ Рг { / ? о / # 0} |
= (1 |
— |
ъ)Ч и |
|
|
|
|
||
(69) |
Рг {Я* I т? = |
т2, |
х\ = |
О, |
А >*/} = |
|
|
|
|
|
= |
Рг {Я/ n Ro | Т/ = т2, |
тд |
== 0, |
h |
/} + |
|||
|
|
+ Рг (Я/ П |
Я)| т? = |
т2, |
= |
|
/'}> |
||
|
> Р г |
(Я) П Я^| т,2 = т2, |
та == О, |
h=£j) + |
|||||
|
|
+ |
Рг {Я,* П Я/1 т/2 = |
т2, |
тд = |
0 ,h =£/} = |
|||
|
= |
Рг {R] | т2 = |
т2, та = 0 , |
h=£ /} |
|
||||
аналогично доказательству теоремы 4.3.1. Поскольку (65) и (69) выполняются для всех т2, отсюда следует утверждение теоремы.^
Теорема 4.3.4. Всякое симметричное |
байесовское решение состоит |
в принятии гипотезы Я 0 при T R 2 |
(&/)/(2 о2) < С, / = 1, .... q, |
и в противном случае — в принятии гипотезы Hj с индексом /, удов
летворяющим условию zt > zh |
i Ф j, |
i — 1, |
q. |
|
|
|
||||
Д оказательство. |
Всякое |
байесовское |
решение |
определяется |
||||||
[см., |
например, |
Т. Андерсон |
(1958, |
§ 6 .6 )] |
соотношениями |
|||||
(70) |
Я0: Ро П |
k (Zj) > pfi (г, | т2) П |
k (zj), |
i = 1, |
. . . , |
|
q, |
|||
|
/=i |
|
|
|
П k (г/), |
|
|
|
||
|
Pub (zhI т2) П k (zj) > pfk (z{| т2) |
|
|
|
||||||
|
|
|
i+h |
|
|
j+l |
|
|
|
|
(71) |
Ял: |
|
|
|
|
|
l — 1, |
. . . |
t |
q9 ^ ^ |
|
phk(zhIT2) П k(Zj) > p 0Uk(Zj), |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
i*h |
/=1 |
|
|
|
|
|
|
где pt > 0 , i = |
0, |
1, .... q и |
я |
|
|
области |
в |
силу их |
||
2 Pi = 1* Эти |
||||||||||
|
|
|
|
;=о |
|
|
|
|
|
|
определения не пересекаются. Каждая точка на общей границе пары областей (попадание на которую есть событие нулевой вероят ности) может быть приписана любой из них. Первая совокупность
неравенств |
(pi > 0 ) |
равносильна соотношению |
|
|
(72) |
Я0: |
k (Zj I X2) |
i 1, . . |
<7. |
k (Zi) |
||||
левая часть которого является монотонно возрастающей функцией от zt. Определяемая этим соотношением область Я0 симметрична тогда и только тогда, когда рг = ... = р„. Поэтому Я0 имеет вид, указанный в теореме, и при надлежащем выборе значения
142 Ци к л и ч е с к и е т р е н д ы Г л . 4.
/?0= 1 — 2 Pi в точности таково же, как и в теореме. Аналогичные
г=1
замечания справедливы и для остальных областей
Отметим, что эта процедура сводится к критерию значимости, приведенному выше, при следующем дополнительном условии. Если нулевая гипотеза Н0 отклоняется, то принимается решение о том, что наибольшая выборочная амплитуда соответствует един ственной отличной от нуля теоретической амплитуде. Этот тип задачи исследовался общими методами Карлином и Труаксом (1960), а также Кудо (1960).
Поскольку в данной задаче класс байесовских решений совпа дает с классом допустимых решений [см., например, Т. Андерсон (1958, теорема 6.6.4)], то теоремы 4.3.3 и 4.3.4 являются эквива лентными.
Перейдем теперь к более важному случаю неизвестного ст2. Надо различать ситуации, когда интересуются оценками некото рых q заданных частот и в распоряжении имеется оценка для а* ,с п = Т — р степенями свободы, полученная независимым обра зом, и когда оценка для а2 зависит от оцениваемых частот. В пер вом случае существует оценка s2, такая, что ns2la2 = S/a2 имеет ^-распределение с п степенями свободы независимо от q пар коэф
фициентов |
a (ki), |
Ь (ki), ..., a (kg), |
Ь (kg). |
|
В первой из указанных ситуаций можно потребовать, чтобы |
||||
процедура |
была |
симметричной |
и удовлетворяла |
соотношению |
(55), т. е. |
чтобы |
вероятность решения р (kj) = 0 не |
зависела от |
|
величин других амплитуд, и чтобы вероятность правильного реше ния о равенстве всех амплитуд нулю не зависела бы от а2. При
этом наилучшей для проверки Н} будет процедура, отклоняющая эту гипотезу при F,- — TR2 (kj)l (4s2) > с,-. (Это вытекает из рас смотрения достаточных статистик, инвариантных относительно преобразований (29), и полноты соответствующего семейства рас пределений; см. замечание, следующее за (29).) Ввиду требования
симметрии процедуры положим сг = ... = |
cq = |
с. Тогда |
|
(73) Рг{/?0 |Я 0} = р ф < 2 с £ , |
/ = 1 , |
. . . . |
? |Я 0} = |
е-си/пу |
ип /2 -\е-и /2 |
|
|
|
1 п/2Т (п /2) |
du — |
|
|
|
|
|
7- 4 |
ип/2-\е- |
[\-\-2cj/n]u/2 |
|
- 2 |
( - > / |
du = |
2п/2Г (л /2) |
||
А |
1= 0 |
|