книги / Структурно-аналитическая теория прочности

физическом базисе, а точка означает производную по времени (см. уравнение (1.6)). Подчеркнем, что в (1.36) используется именно приложенное напряжение xik, а не эффективное напря­

жение х*к. Причины этого обсуждались выше. Следовательно, xpq = amp anq amn и т<>ГДа имеем

$ flfc —amp anq Vir Vks Vpt Vql Crstl ^mn •

Здесь ffik выражено в локальном базисе l, m, n; atk — в лаборатор­

- ЩгVks Vpt Vql Crstl• В тех случаях, когда упругая податливость кри­ сталлов зависит от температуры Г, вместо соотношения (1.36) не­ обходимо записать более общий закон в форме

жительными, отрицательными или равными нулю. Вблизи тем­ ператур фазового превращения они бывают особенно велики, так что второе слагаемое в (1.37) становится весьма сущест­

Использование соотношений (1.38) существенно упрощает кон­ кретные вычисления. Например, для упруго-изотропных тел урав­

где учтена симметрия тензора г^.

1.6.2. Тепловое расширение

Скорость деформации теплового расширения ($\к определяется простейшим физическим законом

где Yik = Tjip rjkgYpq, a y% — коэффициент теплового расширения, выраженный в кристаллофизическом базисе.

В случае сред, обладающих изотропией теплового расшире­ ния, имеем

ще уо — постоянная.

1.6.3. Деформации магнитострикционного происхождения

В соответствии с (1.28) можем сразу написать для скорости магнитострикционных деформаций:

• р Скорость изменения электрострикционной деформации fi

выраженную в локальном базисе I, т, л, в соответствии с (1.30), имеем в виде

где тензор пьезоэлектрических постоянных d®st записан в кри­

сталлофизическом базисе, а напряженность электрического поля Ei — в лабораторном [414 ].

1.6.5. Деформации диффузионного происхождения

Известно, что при температурах, приблизительно равных или больше 0.8 Гщц где Тпл — температура плавления, неупругие деформации развиваются за счет диффузионного массопереноса вещества. В подавляющем большинстве случаев доминирует вакансионный механизм диффузии. Когда имеет место диффузи­ онный поток вакансий, в местах скопления их происходит сжа­

в относительных концентрациях, то порождаемые им скорости неупругой деформации равны [224]

Мк = aprVrq^р Jq^ik + Л X) £С*р/ССд^ ^ Орд — Оцôpg 'jJ . (1.44)

Здесь второе слагаемое учитывает диффузионную деформацию, инициированную напряжением; D — усредненный по всем ори­ ентациям тензор коэффициентов диффузии; ав, ап— постоянные материала, первая из которых близка к половине атомного объ­ ема, а вторая зависит от размера зерна; /{- задан в кристал­

il обусловлен только миграцией вакансий, выпишем основные соотношения, *определяющие поток j).

В соответствии с первым законом Фика, сразу имеем

ще Dik — тензор коэффициентов диффузии вакансий в кристал­ лографическом базисе; ц — химический потенциал вакансий, равный

где и — энергия активации образования вакансий; QB— объем вакансий.

В случае изотропной диффузии

где V* — оператор набла в кристаллографическом базисе. Если справедливо уравнение (1.47), то из (1.50) имеем

Следовательно, поток вакансий возникает при наличии гра­ диентов температур V/Г, градиентов механических давлений

V/Т//, градиентов энергий активаций Vtu или градиентов текущей концентрации Vt-n. Конечно, при соответствующем значении имеем у, = 0 . Отметим, что второе слагаемое в (1.44) также

обусловлено потоками вакансий, например по механизму Хер- ринга-Набарро.

Для полного замыкания выписанных соотношений необхо­ димо дополнительное условие, налагаемое на текущую концен­ трацию вакансий п. Эволюционное уравнение для п имеет вид

Здесь первое слагаемое в правой части учитывает нескомпенсированность потоков, второе слагаемое характеризует естест­ венную гибель или рождение вакансий на стоках (источниках) с характерным временем релаксации г. Третье слагаемое h t

учитывает генерацию вакансий за счет любых других причин. Например, при действии на кристаллы радиации с интенсив­ ностью / [1791

hi = a\J,

где ai — коэффициент, характеризующий скорость генерации ва­ кансий под действием радиационного фактора.

Последнее слагаемое в (1.52) учитывает рождение вакан­ сий за счет неупругой деформации, т. е. вследствие сколь­

для диффузионной микродеформации. Учет двух последних

где ап — постоянная. Подобный результат получается тогда, ког­

да существуют стоки и источники вакансий неограниченной ем­ кости. Примером служит ползучесть по Херрингу-Набарро или Коблу, определяемая зарождением вакансий на одних поверх­ ностях и исчезновением на других. При такой ползучести

ще аз постоянная; d3 — размер зерна; к — 1, 2 или 3 в за­

висимости от механизма массопереноса.

Особый интерес представляет так называемая радиационностимулированная ползучесть. Из (1.52) и (1.53) видно, что при длительном облучении однородного материала устанавливается

ческом базисе), учитывающий взаимовлияние вакансий и межузлий на процесс их переноса; ft — химический потенциал межузлий, равный

В этом уравнении и0 — энергия активации образования меж­

узельных атомов; QM— объем межузлия. В качестве дополни­ тельного условия, налагаемого на текущую концентрацию меж­ узельных атомов, можно, например, выбрать следующие соот­ ношения:

Здесь а\ — имеет тот же смысл, что и в (1.53); b — коэффи­ циент, характеризующий взаимную аннигиляцию вакансий и межузельных атомов; а® — коэффициент, характеризующий де­

формационное рождение межузлий. Второе слагаемое с целью обобщения его физического смысла выписано иначе, нежели в

(1.52), за счет использования обозначений Ф(и)иФ(и°), харак­ теризующих неодинаковость вероятностей рождения точечных дефектов на источниках и их гибели на стоках. Кроме того, предполагается, что скорость этих событий определяется не от­ клонением концентрации точечных дефектов от равновесных значений, а их химическими потенциалами. Выражения для

Ф(и) и Ф(м°) имеют следующий вид:

дения вакансий; гс0, гр0 — аналогичные времена для межузель-

ных атомов; Vc, Vp — объемы, в которых происходит соответ­ ственно смерть и рождение вакансий на стоках и источниках;

— аналогичные величины для межузельных атомов; ô — характеристическая функция объема. Конечно, следует иметь в виду, что в простейших обстоятельствах

где г, т° — эффективные времена жизни соответственно вакансий

узлий; ив, им — энергии активации для вакансий и межузлий.

Вболее корректной трактовке вместо двух уравнений (1.62д)

и(1.62е) следует применять четыре независимых соотношения

ДЛЯ Тс, Гр, rcQ| TpQ.

л о

“ ам Ф(^ 0 ^ ^0 “ (ав ае ~ ам <£) (ё Л è Ü)1/21 ôik +

+ dpi dqjç (ÛB n D + aMn D ) (Opq ~ ^ оц àpg ^ .

При соответствующих упрощениях выписанные соотношения преобразуются в простейшие уравнения для вакансионной пол­ зучести, отраженные равенствами (1.44)—(1.57).

Заметим, что (1.58)—(1.62) допускают стационарные реше­ ния, при которых устанавливаются не зависящие от времени и направленные от источников к стокам потоки вакансий и меж­ узлий, порождаемые как механическими напряжениями, так, на­ пример, и радиационным фактором / . Бели радиация происходит в поле напряжений, она вызывает радиационную ползучесть, ана­ логичную (1.57). В этом случае и в случае полного отсутствия напряжений потоки радиационных вакансий и межузлий к стокам оказываются,, как следует из решения уравнений (1.59)— (1.62), нескомпенсированными. Иными словами, согласно (1.59)—(1.62),

цию сдвиговой деформации, то процесс ее развития зависит только от (1.65). Та же часть тензора напряжений, которая

обозначена через т^, вообще не сказывается на массопереносе и потому не должна фигурировать в соответствующих выраже­ ниях. Физическим инвариантом напряжений оказывается, таким образом, лишь скаляр г31 (или г31, если напряжения определены

ального характера: когда процесс деформации сводится к скольжению и находится инвариантная форма записи между деформациями и напряжениями, в качестве инвариантов де­

в качестве инвариантов поля напряжений нужно использовать