Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сопротивление материалов. Статические прочностные расчёты

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

37.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

0 МПа,

10−4

−15 103

= − 75 МПа,

2 10−4

−15 103

= − 83,3 МПа,

1,8 10−4

3 103

= 16, 7 МПа,

1,8 10−4

−9 103

= − 50 МПа.

1,8 10−4

По полученным результатам строим эпюру нормальных

напряжений σ (рис. 6.1, в).

4. Определим перемещение ∆

свободного конца бруса.

Определение перемещений начинаем от заделки, где оно равно нулю. Перемещение произвольного сечения стержня на расстоянии х от заделки равно абсолютному удлинению части стержня, которая заключена между этим сечением и заделкой.

Перемещение произвольного сечения стержня определя-

ется по формуле w = ∫	N dx	. В нашем случае все параметры,
ется по формуле w = ∫	EF	. В нашем случае все параметры,
l

входящие под интеграл, не зависят от x, поэтому перемещение

определяется так: w = N l .

На участке FE

w	= ∆ l		=	N4 0, 2	=	−9 103 0, 2	= − 0,5 10−4	м.
w	= ∆ l		=		=	2 1011 1,8 10−4	= − 0,5 10−4	м.
FE		FE		EF		2 1011 1,8 10−4
			2

На участке ED

w	= ∆ l +	w = − 0,5 10−4+		N3 0,1		=

ED	ED	FE		EF2

= −0,5 10−4 +		3 103 0,1	= −0, 42		10−4		м.
		1011 1,8 10−4
	2

На участке DC

w = ∆ l + w = − 0, 42 10−4+				N2 0, 2	=
w = ∆ l + w = − 0, 42 10−4+					=
DC	DC	ED		EF2
				EF2
= −0, 42 10−4 +		−15 103 0, 2	= −1, 25 10−4			м.
= −0, 42 10−4 +		1011 1,8 10−4	= −1, 25 10−4			м.
	2	1011 1,8 10−4

На участке CB

w = ∆ l + w = − 1, 25 10−4+				N2 0, 7	=
w = ∆ l + w = − 1, 25 10−4+					=
CB	CB	DC		EF1
				EF1
= −1, 25 10−4 +		−15 103 0,5	= −3,13 10−4			м.
= −1, 25 10−4 +		2 1011 2 10−4	= −3,13 10−4			м.
		2 1011 2 10−4

На участке AB

w	AB	= ∆ l +		w = − 3,13 10−4+		N1 0,5		=

		AB		CB		EF1
				0 0,5
= −3,13 10−4			+		= −3,13		10−4		м.

				2 1011 2 10−4

Таким образом, перемещение свободного конца бруса ∆ l= wAB= − 3,13 10−4 м. Знак минус означает, что стержень сжимается.

Пример 6.2

Стальной брус нагружен силами, как показано на рис. 6.2, а. Определить площадь поперечного сечения каждой ступени стержня с учётом нагрузок и собственного веса. Определить внутренние усилия, напряжения и деформации на каждом участке стержня.

Дано:

P = 200 кН, P = 430 кН, P = 650 кН, γ = 21 кН/м3,
1	2	3

l1 = 8 м, l2 = 4 м, l3 = 4 м,

[σ]p = 0,5 МПа, [σ]c = 5 МПа, E = 1,5 1010 Па.

Решение:

1.Вычертим стержень с указанием всех численных значений заданных величин (см. рис. 6.2, а).

2.Составим уравнения внутренних усилий N с учётом собственного веса конструкции. Разбиваем стержень на три участка, границы которых совпадают с сечениями, где приложены внешние силы. Значения внутренних усилий на каждом участке определяем, пользуясь методом сечений, начиная со свободного конца. Сжимающие усилия отрицательны, растягивающие – положительны.

На участке AB, x (0; l1= 8 м)

					N1 = −P1 − γF1 x, N			(0) = −P = −200 кН,
							1	1
		N		(l )	= −P − γ F l = − 200− 21 4,14 10−2 8= − 207, 0 кН.
			1	1	1	1 1
			На участке BC,				x (0; l2=	4 м)
					N2 = P2 − γF2 x + N1 (l1 ) = P2 − γF2 x − P1 − γF1l1 ,
					N2 (0) = P2 + N1 (l1 ) = 430 − 207 = 223 кН,
N	2	(l	)	= P − γ F l + N			(l )= 430− 21 44,6 10−2 4− 207= 185,5 кН.
	2	2		2	2 2	1	1

		На участке CD,			x (0; l3= 4 м)
	N3 = −P3 − γF3 x + N2 (l2 ) = −P3 − γF3 x + P2 − γF2l2 − P1 − γF1l1,
		N3 (l3 ) = −P3 + N2 (l2 ) = −650 +185,5 = −464,5 кН,
N	(l	) = −P −γ F l + N			(l )= − 650− 21 9,45 10−2 4+ 185,5= − 472,4 кН.
3	3	3	3 3	2	2

По полученным значениям строим эпюру продольных сил

(рис. 6.2, б).

Рис. 6.2

3. Определим наиболее нагруженное сечение на каждом участке и подберём площадь поперечного сечения из условия прочности по допускаемым напряжениям.

Условие прочности имеет вид

σmaxp =	N	≤ [σ]		,	σcmax =	N	≤ [σ] ,
			р			N

	F					F	с
	F					F

где N – продольная сила;

F – площадь поперечного сечения;

[σ]p –

допускаемое нормальное напряжение на

растяжение;

[σ]c – допускаемое нормальное напряжение на сжатие.

На участке

AB наибольшее значение модуля силы при

x = l1

равно N1 (l1 ) = −P1 − γF1l1 Н.

Тогда условие прочности запишется так:

[σ ] ,

+ γ l ≤

откуда

200 103

= 4,14 10−2 м2.

≥

[σ

]c− γ l1

5 106 − 21 103 8

На участке

наибольшее значение модуля силы при

x = 0 равно N2 = P2 + N1 (l1 )

кН.

Тогда условие прочности запишется так:

P2 + N1 (l1 )

≤ [σ] ,

откуда

F ≥

P2 + N1 (l1 )

430 103 − 207,0 103

= 44,6

10−2 м2.

[σ ]

0,5 106

На участке

CD наибольшее значение модуля силы при

x = l3

равно N3 = −P3 − γF3l3 + N2 (l2 )

Н.

Тогда условие прочности запишется так:

P3 − N2 (l2 )

+ γl3 ≤ [σ] ,

откуда

		P3	− N2	(l2 )		650	103 −185,5	103
		P3	− N2	(l2 )		650	103 −185,5	103
F	≥				=				= 9, 45 10−2 м2.
F	≥	[σ ]c− γ l3			=				= 9, 45 10−2 м2.
3						5 106 − 21 103 4
						5 106 − 21 103 4

4. Определим нормальные напряжения σ и построим их эпюры. Для вычисления напряжений стержень разбивается на три участка. Их границы определяются не только сечениями, где приложены силы, но и сечениями, где меняются поперечные

размеры стержня. Пользуясь эпюрой N ,

находим:

участок AB

σAB =

= −P1 − γF1x = −

− γx,

σ AB (0)= −

200 103

= −

= − 4,83 МПа,

4,14 10−2

(l )= −

200 103

− 21 103 8 = −5 МПа;

1− γ l = −

4,14 10−2

участок BC

σBC =

P2 − γF2 x + N1 (l1 )

P2 + N1 (l1 )

− x,

σ BC (0)=

P2 + N1 (l1 )

430 103 − 207 103

= 0,5 МПа,

44, 6 10−2

(l )=

P2 + N1 (l1 )

− γ l =

430 103 − 207 103

− 21 103 4 = 0, 42 МПа;

44, 6 10−2

участок CD

σCD

−P3 − γF3 x + N2 (l2 )

−P3 + N2 (l2 )

− γx ,

σ CD (0)=

−P3 + N2 (l2 )

−650 103 +185,5 103

= − 4,92 МПа,

9, 45 10−2

(l )=

−P3 + N2 (l2 )

− γ l =

−650 103 +185,5 103

− 21 103 4 = −5 МПа.

9, 45 10−2

По полученным результатам строим эпюру нормальных напряжений σ (рис. 6.2, в).

5. Определение перемещений начинаем от заделки, где оно равно нулю. Перемещение произвольного сечения стержня на расстоянии x от заделки равно абсолютному удлинению части стержня, которая заключена между этим сечением и заделкой.

Перемещение произвольного сечения стержня определя-

ется по формуле w = ∫

N dx

Перемещение сечения C относительно заделки равно аб-

солютному удлинению участка CD стержня:

l3 N dx

l3 (−P3 − γF3 x + N2

(l2 )) dx

wC = ∆ lCD= ∫

∫

−P3 + N2 (l2 )

−

= −650 103 +185,5 103

4 −

EF3

1,5 1010 9, 45 10−2

−

21 103

42 = −13, 22 10−4 м.

1,5 1010

Перемещение сечения B относительно заделки складывается из абсолютного удлинения участков CD и BC :

−4

= ∆ l + ∆

= −

13, 22

∫

l2 (P − γ F x+ N

)) dx

−13, 22 10−4 =

= ∫

)

EF2

+ N

−13, 22 10−4 =

−

EF2

430 103 − 207 103

4 −

21 103

42 −13, 22 10−4 =

1,5 1010 44, 6 10−2

2 1,5 1010

=1, 22 10−4 −13, 22 10−4 = −12 10−4 м.

Перемещение сечения A относительно заделки складыва-

ется из абсолютного удлинения участков CD,

BC и AB :

−4

l1 N dx

∫

= ∆ l + ∆ l + ∆ l = −

10+

(−P − γ F x) dx

−P

= ∫

−12 10−4 =

−12 10−4

−

EF1

−200 103

8 −

21 103

−12 10−4 =

1010 4,14 10−2

1,5 1010

1,5

= −26, 21 10−4 −12 10−4 = −38, 21 10−4 м.

Таким образом перемещение свободного конца стержня равно перемещению сечения A, и wA = −38, 21 10−4 м. Знак ми-

нус означает, что стержень сжимается.

По полученным результатам строим эпюру перемещений

(рис. 6.2, г).

Пример 6.3

Проверить прочность по допускаемым напряжениям статически определимой шарнирно-стержневой системы, показанной на рис. 6.3, а, и определить перемещение узла A.

Дано:

P = 500 кН, l = 1, 7 м,

[σ] =160 МПа, E = 2,1 105 МПа,

α = 45D, β = 70D, γ = 40D.

Решение:

1.Вычертим в масштабе расчетную схему стержневой системы (см. рис. 6.3, а).

2.В стержнях AB и AC возникают усилия, которые препятствуют их деформации, т.е. возникают реакции. Для составления уравнений равновесия системы мысленно вырежем узел A. В сечении стержней приложим неизвестные реакции

NAC и NAB в направлении, выражающем деформацию стерж-

ней (см. рис. 6.3, а).

Рис. 6.3

Запишем уравнения равновесия:

∑Y = −N AB cos (α + β +) N AC cosα( −) P cos (γ ) = 0,

−N AB cos (45D + 70D) + N AC cos (45D)− P cos (40D) = 0,

N AC =

N AB cos (115D) + 500cos (40D)

= −0,598N AB + 541,7 кН.

cos(45D)

∑ X = −N AB sin (α + β ) + N AC sin (α )+

P sin (γ ) = 0,

−N AB sin (115D) + N AC sin (45D) + P sin (40D) = 0,

N AB =

N AC sin (45D) + 500sin (40D)

= 0,780N AC + 354,6 кН,

sin (115D)

N AB = 0,780(−0,598N AB + 541,7) + 354,6 ,

N AB = 530,1 кН.

N AC = −0,598N AB + 541, 7 = 224, 7 кН.

3. Подберём из условия прочности

размеры сечения

стержней.

Условие прочности имеет вид

σ =

≤ [σ] , откуда

F ≥

[σ]

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
13.11.202322.52 Mб27Сопротивление материалов деформированию и разрушению. Ч. 1.pdf
#
19.11.202385.55 Mб9Сопротивление материалов деформированию и разрушению. Ч. 2.pdf
#
12.11.202317.53 Mб31Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов..pdf
#
12.11.20235.12 Mб26Сопротивление материалов усталостному и хрупкому разрушению..pdf
#
12.11.20232.99 Mб6Сопротивление материалов. Примеры решения типовых задач.pdf
#
19.11.202337.05 Mб7Сопротивление материалов. Статические прочностные расчёты.pdf
#
20.11.20234.54 Mб4Сопротивление материалов. Ч. 1-1.pdf
#
12.11.20233.08 Mб6Сопротивление материалов. Ч. 1.pdf
#
20.11.20239.37 Mб7Сопротивление материалов.-1.pdf
#
12.11.202313.19 Mб27Сопротивление усталости и живучесть конструкций при случайных нагрузках..pdf
#
12.11.202312.27 Mб16Сопряжение проезжей части автодорожных мостов с насыпью..pdf