книги / Сопротивление материалов. Статические прочностные расчёты

или

EIy0 + 2EIθ0 −13,3 = 0,

EIy0 + 4EIθ0 −125 = 0.

Решая эту систему уравнения, получаем

EIθ0 = 55,85 кН м2 ; EIy0 = −98, 4 кН м3 .

Необходимо отметить, что в первом уравнении системы учитывается только нагрузка, действующая слева от опоры A (в которой прогиб равняется нулю); а во втором – нагрузка, действующая слева от опоры B (в которой прогиб также равняется нулю).

После подстановки начальных параметров получаем универсальное уравнение изогнутой оси балки или уравнение прогибов:

Находим величину EJy в точке C балки:

51

Из таблиц сортаментов этому моменту инерции соответствует:

а) двутавр 1 № 30а (I = 7780 см4 ;W = 518 см3 ; F = 49,9 см2 )

KI = W = 10,38 см;

F

б) швеллер1 № 33 (I = 7980 см4 ;W = 484 см3 ; F = 46,5 см2 )

KI = W = 10, 41 см.

F

Следовательно, в качестве сечения балки выбираем швеллер № 33.

Задание 4.1

Из расчета на жесткость методом начальных парамет-

стальной ( E = 2 105 МПа) балки, нагруженной так, как показано на рис. 4.2, если прогиб балки на расстоянии x = 5 м от левого конца не должен превышать 1 см.

52

Содержание работы:

1.Найти реакции опор и проверить правильность их определения.

2.Записать:

а) приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки;

б) уравнения углов поворота сечения балки с неизвестным параметром;

в) уравнение упругой линии (прогибов) балки с двумя неизвестными параметрами.

3.Используя граничные условия, определить неизвестные начальные параметры.

4.Записать универсальное уравнение упругой линии балки и вычислить прогиб при x = 5 м.

5.Из условия жесткости определить допустимую величину момента инерции сечения стальной балки.

6.По коэффициенту качества из таблиц сортаментов выбрать сечение балки.

Указание

Числовые данные и виды схем выбираются в соответствии

сшифром по табл. 4.1 и рис. 4.2.

Таблица 4.1

53

Вопросы для самопроверки

1.Что называется изогнутой осью балки?

2.Какие величины характеризуют перемещение произвольного сечения балки?

3.Что называется прогибом и углом поворота?

4.Как записывается дифференциальное уравнение упругой линии?

5.Основные правила метода начальных параметров при определении перемещений балки?

6.Что представляют собой уравнения метода начальных параметров и почему они так называются?

7.Как определяются значения неизвестных начальных параметров для различных случаев закрепления балок?

8.Основные правила построения и контроля эпюр углов поворота и прогибов сечений балки?

9.Как определяются деформации методом непосредственного интегрирования?

ТЕМА 5. НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ. КРИТЕРИЙ МОРА

Под напряжённым состоянием в точке понимают совокупность напряжений на всех площадках, проходящих через заданную точку. Каким бы ни было напряженное состояние в точке, всегда существуют три взаимно перпендикулярных площадки, на которых касательные напряжения равны нулю, а нормальные напряжения имеют стационарные значения. Эти площадки называются главными. Нормальные напряжения, действующие на главных площадках, называются главныминапряжениями.

В зависимости от того, сколько главных напряжений действует в окрестности точки, различают три вида напряженного состояния:

55

1)линейное (одноосное) – если одно главное напряжение отлично от нуля, а два других равны нулю;

2)плоское (двухосное) – если два главных напряжения отличны от нуля, а одно равно нулю;

3)объемное (трехосное) – если все три главных напряжения отличны от нуля.

Линейное напряженное состояние встречается при растя- жении-сжатии, плоское напряженное состояние встречается при изгибе и кручении.

Правило знаков для определения нормальных и касательных напряжений, действующих на элемент: нормальные напряжения считаются положительными, растягивающие элемент; касательные напряжения считаются положительными, вращающие элемент по часовой стрелке.

Деформированное состояние в точке обладает свойствами, аналогичными свойствам напряженного состояния. Совокупность деформаций, возникающих по разным осям и в различных плоскостях, проходящих через данную точку, определяет деформированное состояние в рассматриваемой точке. Существуют три взаимно перпендикулярных направления, по которым волокна или удлиняются, или укорачиваются. Они называются главными осями деформаций. Деформации в направлении главных осей называются главными деформациями.

Задачи, рассматриваемые в теории напряженного состояния, могут быть представлены в прямой и обратной постановке:

а) прямая задача – в точке известны положения главных площадок и соответствующие им главные напряжения; требуется найти нормальные и касательные напряжения по площадкам, наклоненным под заданным углом α к главным;

б) обратная задача – в точке известны нормальные и касательные напряжения, действующие по двум взаимно перпендикулярным произвольным площадкам, проходящим через данную точку; требуется найти направление главных площадок и главные напряжения.

56

Основные критериальные гипотезы теории предельных состояний

1.Критерий наибольших нормальных напряжений [первая (I) теория прочности]: σэквI ≤ [σ] , где σэкв – эквивалентное напряжение, под действием которого материал в условиях простого растяжения-сжатия оказывается в равноопасном состоянии с рассматриваемым сложным напряженным состоянием.

2.Критерий наибольших линейных деформаций [вторая

(II)теория прочности]: εэквII = σ1 − µ(σ2 + σ3 ) ≤ [σ], где σ1 , σ2 , σ3 – главные напряжения; µ – коэффициент Пуассона.

3.Критерий наибольших касательных напряжений [третья

(III)теория прочности]: σэквIII = σ1 − σ3 ≤ [σ] .

4.Критерий удельной потенциальной энергии формоиз-

менения [четвертая (IV) теория прочности]

жений при одноосном растяжении и при одноосном сжатии. Аналитически исследовать напряженное состояние в точке

нагруженного тела можно с помощью формул или при графическом исследовании плоского напряженного состояния с помощью кругов напряжений Мора. Круги Мора, построенные по всем трем главным напряжениям в точке, упрощают анализ объемного напряженного состояния.

На основании теории предельного состояния может быть осуществлена так называемая полная проверка прочности балки при поперечном изгибе, которая, кроме нормальных и касательных напряжений в поперечных сечениях балки, учитывает также и влияние главных напряжений.

57

Пример 5.1

В опасной точке упругодеформированной конструкции выделен элемент (рис. 5.1, а), по грани которого действуют нормальные и касательные напряжения. Требуется исследовать напряженное и деформированное состояние в опасной точке по приведенной схеме.

Решение:

1. Построим круг Мора для заданного напряженного состояния. Для этого проведем прямоугольную систему координат σ, τ (рис. 5.1, б). Нанесем на ней точку A, абсцисса которой равна (при некотором масштабе) нормальному напряжению σx ,

а ордината – касательному напряжению τxy . Напряжение σx

положительно, поэтому оно отложено вправо от оси ординат; напряжение τxy отрицательно и отложено вниз от оси абсцисс.

Затем нанесем на график точку B с отрицательной абсциссой σy

Рис. 5.1

58

и положительной ординатой τxy . Величина τxy в условии задачи

не дана, но мы знаем, что согласно закону парности касательных напряжений касательное напряжение τxy по абсолютной вели-

чине равно касательному напряжению τxy .

Точки A и B соединяем прямой AB и на ней как на диаметре строим круг Мора. Центр круга Мора лежит на пересечении прямой AB с осью абцисс (осью σ).

Точка A (1000; –250) характеризует напряженное состояние на вертикальной плоскости, проведенной через точку, в которой исследуется напряженное состояние, а точка B (–500; 250) – напряженное состояние по горизонтальной плоскости. В соответствии с этим проведем через точку A вертикальную линию, изображающую вертикальную плоскость, а через точку B – горизонтальную линию, изображающую горизонтальную плоскость. Точка пересечения этих линий, лежащая на круге Мора, называется полюсом.

Полюс обладает следующим замечательным свойством: направление любой площадки, проведенной через точку круга Мора, которая характеризует напряженное состояние на этой площадке, обязательно проходит через полюс C.

Поэтому, для того чтобы найти напряжения σα, τα, дейст-

вующие в указанном сечении, необходимо из полюса C провести прямую, параллельную этому сечению, до пересечения с кругом Мора.

Абсцисса точки пересечения равна (в принятом масштабе) нормальному напряжению σα = 540 кг / см2 , а ордината – касательному напряжению τα = −740 кг / см2 в заданном сечении.

Направление найденных напряжений показано на рис. 5.1, в.

2. Для определения величины главных напряжений необходимо найти точки пересечения круга Мора с осью σ, то есть точки, координаты τ которых равны нулю. Для заданного напряженного состояния это две точки: одна с абсциссой, равной

59

напряжению 1040 кг / см2 , другая с абсциссой, равной напряже-

нию −540 кг / см2 .

Поскольку мы исследуем плоское напряженное состояние, при котором одно из главных напряжений равно нулю, а в общем случае главные напряжения связаны между собой неравенством σ1 ≥ σ2≥ σ3 , то приходим к выводу, что левая точка пересечения круга Мора с осью абсцисс определяет главное напряжение σ3 = −540 кг / см2 и может быть обозначено индексом 3, а правая точка пересечения круга Мора с осью σ определяет главное напряжение σ1 = 1040 кг / см2 и может быть обозначена индексом 1 (рис. 5.2).

Рис. 5.2

Для определения направлений сечений, в которых действуют главные напряжения σ1 и σ3 , необходимо точки 1 и 3 по-

следовательно соединить прямыми с полюсом C. Искомые направления главных площадок-сечений параллельны соответствующим прямым.

3. Для определения величины максимальных и минимальных касательных напряжений необходимо через центр круга Мора провести вертикальную прямую (рис. 5.3). Ордината точки пересечения этой прямой с верхней частью круга Мора даст величину максимального касательного напряжения. Для задан-

60