
- •А.В. Аттетков, С.В. Галкин, В.С. Зарубин
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •Задания для самопроверки
- •ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
- •Буквы латинского алфавита
- •Буквы греческого алфавита
- •1. ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Некоторые простые примеры
- •1.3. Задачи оптимального проектирования
- •1.4. Задачи оптимального планирования
- •1.5. Классы задач оптимизации
- •Вопросы и задачи
- •2. МЕТОДЫ ОДНОМЕРНОЙ МИНИМИЗАЦИИ
- •2.1. Предварительные замечания
- •2.3. Оптимальный пассивный поиск
- •2.4. Методы последовательного поиска
- •2.5. Сравнение методов последовательного поиска
- •2.6. Методы полиномиальной аппроксимации
- •2.7. Методы с использованием производных
- •Вопросы и задачи
- •3. МИНИМИЗАЦИЯ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ
- •3.2. Выпуклые функции
- •3.4. Условия минимума выпуклых функций
- •3.5. Сильно выпуклые функции
- •ф{t) = (grad/(а; + th), h)
- •3.6. Примеры минимизации квадратичных функций
- •3.7. Минимизация позиномов
- •Qj = '%2aijci = Q> J = !.*»•
- •Вопросы и задачи
- •4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ БЕЗУСЛОВНОЙ МИНИМИЗАЦИИ
- •4.1. Релаксационная последовательность
- •4.2. Методы спуска
- •4.4. Минимизация квадратичной функции
- •4.5. Сопряженные направления спуска
- •5. АЛГОРИТМЫ МЕТОДОВ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ
- •|iufc|
- •5.3. Метод Ньютона
- •5.4. Модификации метода Ньютона
- •5.5. Квазиньютоновские методы
- •Вопросы и задачи
- •6. АЛГОРИТМЫ ПРЯМОГО ПОИСКА
- •6.1. Особенности прямого поиска минимума
- •6.2. Использование регулярного симплекса
- •6.4. Циклический покоординатный спуск
- •6.5. Метод Хука — Дживса
- •Щ + bjej,
- •6.6. Методы Розенброка и Пауэлла
- •Вопросы и задачи
- •7. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
- •7.2. Минимизация при ограничениях типа равенства
- •7.4. Седловая точка функции Лагранжа
- •7.5. Двойственная функция
- •7.6. Геометрическое программирование
- •Вопросы и задачи
- •8. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
- •8.1. Метод условного градиента
- •8.2. Использование приведенного градиента
- •8.5. Метод проекции антиградиента
- •СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
- •ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •Математика в техническом университете Выпуск XIV
- •Аттетков Александр Владимирович Галкин Сергей Владимирович Зарубин Владимир Степанович
- •МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
◄И ► начало и окончание доказательства
#окончание примера, замечания
а € А |
элемент а принадлежит множеству А 1-1.1 |
|
В |
элемент а не принадлежит множеству В |
1-1.1 |
M g * |
множество из элементов щ, « 2, •••, &N |
1-1.1 |
А с В |
множество А является подмножеством множества В |
|
|
1- 1.2 |
|
N— множество натуральных чисел 1-1.2
—множество целых чисел 1-1.3
—множество действительных чисел 1-1.3
—множество положительных действительных чисел 1.5
R* |
— |
множество неотрицательных действительных чисел |
|
|
|
1.5 |
|
Rn |
— |
(декартово) произведение п множеств действитель |
|
|
|
ных чисел или n-мерное евклидово арифметическое |
|
|
|
пространство 1-2.5, IV |
|
М" |
— |
(декартово) произведение п множеств R+ положи |
|
|
|
тельных действительных чисел |
1.5 |
R™ |
— |
(декартово) произведение п множеств R* неотрица |
|
|
|
тельных действительных чисел |
1.5 |
[а, 6] и (о, Ь) —‘ отрезок и интервал с концами в точках а и b 1-1.3
[а, Ь), (а^Ь] — полуинтервалы с концами в точках а и b 1-1.3 V и 3 — квантор всеобщности (Ух — для любого х) и кван
тор существования (Зж — существует х ) 1-1.5
f - . X - ^ Y — отображение / множества X в множество Y
1- 2.1
f(a), |
/(х)| |
— |
значение функции f(x) |
в точке а |
1-2.1 |
||||||
D(f) |
и R{f) — область определения и область значений функ |
||||||||||
П |
|
|
ции f(x) |
1-2.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
сумма п слагаемых а\) а2, . |
ап |
1-2.6 |
|
|
|||||
Yhak |
|
|
|||||||||
к=\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
— |
произведение п сомножителей |
1-2.6 |
|
|
|||||
п am |
|
|
|||||||||
т= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к = 1, N — число к принимает последовательно все значения |
|||||||||||
|
|
|
из множества натуральных чисел от 1 до N включи |
||||||||
|
|
|
тельно |
1-2.6 |
|
|
|
|
|
|
|
sgnx |
|
— |
функция знака числа х Е К |
1-3.2 |
|
|
|
||||
diamX |
— |
диаметр ограниченного множества X 1-5.2 |
|
||||||||
дХ |
|
— |
граница множества X |
1-5.3 |
|
|
|
|
|||
sup f(x) и inf f ( x ) |
— точная верхняя и точная нижняя грани |
||||||||||
хех |
|
|
функции f(x) на множестве X |
1-5.7 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
{хп} |
|
— |
последовательность элементов хп |
1-6.2 |
|
|
|||||
lim хп — |
предел последовательности { хп} при п —>оо |
1-6.3 |
|||||||||
71-Ю О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f(x) — предел функции f(x) |
одного действительного пе |
||||||||||
|
|
|
ременного х в точке а (при х —> а) |
1-7.1 |
|
|
|||||
/(а + 0), /(а —0) |
— |
предел справа и слева функции f(x) одного |
|||||||||
|
|
|
действительного переменного в точке а |
1-7.2 |
|||||||
/'(a ), f'(x )\х=а — производная функции f(x) |
одного действи |
||||||||||
|
|
|
тельного переменного в точке а II |
|
|
||||||
АВ и \АВ\ — отрезок, соединяющий точки А и J5, и его длина |
|||||||||||
|
|
|
III |
|
|
|
|
|
|
|
|
х = (xi |
|
хп)т |
— |
вектор из Мп |
с координатами х\, |
хп |
|||||
|
|
|
IV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|ж |
|
— |
длина (модуль) вектора х |
III, IV |
|
|
|
||||
0П |
|
— |
нулевой вектор из Rn |
III, IV |
|
|
|
||||
(а, Ь) |
|
— |
скалярное произведение векторов а и 6 |
IV |
|
||||||
Ат |
|
— |
матрица, транспонированная к матрице А |
III |
Rg Л |
— ранг матрицы А III |
|
|
det А |
— |
определитель матрицы А III |
|
А~1 |
— |
матрица, обратная к матрице А |
III |
1п |
— |
единичная матрица порядка п |
III |
©m,n |
— |
нулевая матрица размера т х п |
III |
ь
f f(x) dx — определенный интеграл от функции f(x) по отрез- а ку [о, b] V I
f(x) —> min, х € fi, — задача минимизации функции f(x) на множестве Г2 1.5
f(x) —> inf, х е Q, — задача нахождения точной нижней грани функции f(x) на множестве Q 1.5
а > 6, 6 ^ а — каждая координата вектора о € ИР не меньше
|
соответствующей координаты вектора Ь G ИР 3.1 |
|||
Ах ^ Ь — |
система из т |
П |
aijXj ^ 6j, |
____ |
неравенств |
г = 1, т , |
|||
|
|
j=l |
|
т х п и |
|
определяемая матрицей А = (оу) размера |
|||
|
столбцом b = (bi |
bn) высоты п 3.1 |
|
|
ехр(т), ех |
— экспоненциальная функция |
3.2 |
|
Буквы латинского алфавита
Начертание |
Произно |
Начертание |
Произно |
||||
|
|
|
шение |
|
|
|
шение |
А а |
A a |
a |
N П |
N п |
ЭН |
||
В Ъ |
В b |
бэ |
О О |
О О |
О |
||
С с |
C c |
ЦЭ |
Р р |
р р |
пэ |
||
D d |
D d |
ДЭ |
Q q |
Q я |
ку |
||
Е е |
E |
e |
e |
R |
г |
R г |
эр |
F f |
F |
f |
эф |
S S |
S S |
эс |
|
G g |
G 9 |
же |
т |
t |
т t |
тэ |
|
Н h |
H h |
аш |
и U |
и и |
У |
||
I i |
I |
i |
и |
V |
V |
V V |
вэ |
J j |
J j |
йот |
W |
W |
W W |
дубль-вэ |
|
К k |
К к |
ка |
X X |
X X |
икс |
||
L 1 |
L l |
эль |
Y У |
V У |
игрек |
||
M m |
M m |
эм |
Z Z |
Z Z |
зэт |
Представлен наиболее употребительный (но не^единствен ный) вариант произношения (в частности, вместо „йот“ иногда говорят „ЖИ“).
Буквы греческого алфавита
Начер Произно Начер Произно Начер Произно |
||||||||
тание |
шение |
тание |
шение |
тание |
шение |
|||
А |
а |
альфа |
I |
ь |
йота |
Р |
р |
ро |
в |
р |
бета |
К |
х |
каппа |
Е |
сг |
сигма |
Г |
7 |
гамма |
А |
Л |
ламбда |
Т |
т |
тау |
Д |
<5 |
дельта |
М |
ц |
ми |
Т |
v |
ипсилон |
Е е |
эпсилон |
N |
и |
ни |
Ф |
<р |
фи |
|
z |
С |
дзета |
s |
Z |
кси |
X |
X |
хи |
Н 7? |
эта |
О |
о |
омикрон |
ф |
ф |
пси |
|
0 |
д в |
тэта |
П 7Г |
пи |
П и) |
омега |
Наряду с указанным произношением также говорят „лямб- Да “ , „мю “ и „ню“.