книги / Матричное исчисление с приложениями в теории динамических систем

Тогда пространство R расщепляется на два инвариантных под­ пространства It и 12 (R = li + 12), для которых ярАи ор2 служат

соответственно минимальными многочленами.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как я^(Х) и яр2(Х) взаимно просты, то существуют многочлены хх(Х) и х2(Х) такие, что

Р 1 = Ц2( а ) 12(а ) ’ р 2 = 4 » i ( A ) X i( A ) .

Операторы Ру являются проекционными. В самом деле, так как

Учитывая (4.3.3), из (4.3.2) будем иметь Р? = Ру (г — 1> 2), т.е. Ру — действительно проекционные матрицы.

В силу равенств (4.3.2) и (4,3.3) пространство R расщепляется на два подпространства: I, = PjR и I2 = P2R (см. лемму 3.7.7). Опе­

раторы Р/5 определенные как многочлены от А, перестановочны с А. Поэтому, согласно лемме 4.2.1, подпространства I, (z = 1, 2) ин­

вариантны относительно оператора А.

Остается показать, что ярАи яр2 служат соответственно мини­ мальным многочленам подпространств 1х и 12. Пусть xf G Iy. Тогда

^,(А)Ху = ■^l(A)Ptxl = яр(А)ху(А)Ху = 0 (z, /« 1 ,2 ; z *= /),

т.е. ярАи яр2 — соответственно аннулирующие многочлены подпро­ странства Ij и 12. Пусть, далее, %(X) — произвольный аннулирую­ щий многочлен подпространства 1р а х — произвольный вектор из R. Имеем х = х2 4- х2 (Ху € If). Отсюда

*Р(АИ2(А)х = я|)2(А)яр1(А)х, + fy(A)aj>2(A)x2 = 0.

Так как последнее соотношение выполняется для любого векто­ ра х из R, то ^ 1(Х)яр2(Х) является аннулирующим многочленом

этого пространства и потому делится без остатка на минимальный многочлен пространства 4)J(X)T|>2(X). Следовательно, произвольный

аннулирующий многочлен подпространства Ij — яр)(А.) — делится

на аннулирующий многочлен ярДХ) этого подпространства. Значит, ФДХ) — минимальный многочлен подпространства I,. Тем же пу­ тем устанавливается, что яр2(Х) есть минимальный многочлен под­ пространства 12. Теорема доказана. ■

Минимальный многочлен яр(Х) разложим на неприводимые в поле X множители:

Ч>(Х) = M X )]'. М Х )]'> ... ('Р,„(Х)|'..

Здесь <р*(Х) (£ = 1 , . . . , т ) — различные неприводимые в поле

многочлены со старшими коэффициентами, равными единице. Тог­ да, как это вытекает из теоремы 4.3.1, пространство R расщепляет­ ся на инвариантные подпространства I,, 12, ..., Im с минимальными

многочленами [4p1(X)]/i, [<р2(Х)]*2,..., [^„(Х)]'* соответственно. Рассмотрим одно из этих подпространств, например l f, с мини­

мальным многочленом

ФДХ) = [<рДХ)]'<.

Выберем в этом подпространстве базис еп, ... ,efJfc. Минимальный

странства есть наибольшее общее кратное минимальных многочле­ нов базисных векторов. Значит, яр совпадает с наибольшей из сте­ пеней [<р.(Х)]**/ ( / = 1, 2,..., &Д, т.е. совпадает с минимальным многочленом одного из базисных векторов еа , ei2, ..., e.fc. Обозна­

чим этот вектор через

Рассмотрим теперь два подпространства Ii и 1у. с минимальными

многочленами ярДХ) = [«рДХ)]*» и ярДХ) = [<ру(Х)]/л Эти многочле­ ны взаимно просты и являются минимальными многочленами для

Ф/(А)ярДА)е = яру.(А)яр.(А)е^ + ярДА)ярДА)е(') = 0.

Покажем, что этот многочлен является минимальным аннулирую­ щим многочленом вектора еW + е(/Х Пусть яр(Х) — произвольный аннулирующий многочлен вектора е ^ + е^К Тогда

яр(А)е(/>+ яр(А)е^) = 0.

тому делится на минимальный аннулирующий многочлен этого вектора чрА) без остатка, а так как (X) и гру(X) взаимно просты,

то чр(Х) делится на гру.(Х).

Точно так же показывается, что яр(Х) делится на 1|>ДХ). Значит,

произвольный аннулирующий многочлен т|>(Х) вектора 4- е^Х> де­ лится без остатка на аннулирующий многочлен ■фДХ)'фу(Х). Отсюда

которого совпадает с минимальным многочленом подпространства If,

и пространство R имеют один и тот же минимальный многочлен

т

Ш ) = п к= I

Таким образом, имеет место следующая

Т е о р е м а 4.3.2. В пространстве R всегда имеется вектор, минимальный многочлен которого совпадает с минимальным многочленом всего пространства R.

§ 4.4. Сравнение. Пространство классов сравнимых векторов

Пусть R — векторное пространство и I — подпространство в нем. Два вектора х и у из R считаются сравнимыми по mod I в том и только в том случае, если х — у Е I. Сравнение векторов х и у по mod I обоз­ начается так:

х = у(mod I).

Сравнение векторов по mod I обладает следующими свойствами: 1. x = x(modI) (рефлексивность сравнения). Действительно,

х- х = О G I.

2.Если х = у(mod I), то и у = x(mod I) (обратимость, или сим­

метричность, сравнения). В самом деле, из х — у G I следует

Все векторы пространства R можно разбить на классы, относя в каждый класс векторы, попарно сравнимые между собой по mod I.

Для примера рассмотрим двумерное векторное пространст­ во — пространство векторов, лежащих в одной плоскости, на­ чало которых совпадает с точкой 0 этой плоскости (рис. 4.1). Совокупность векторов, лежащих на прямой /, проходящих через точку 0, образует подпространство I. Если х и у сравни­ мы по mod I, то ясно, что концы этих векторов лежат на пря­ мой, параллельной прямой I. Совокупность векторов с началом в точке 0, концы которых лежат на од н о й и той же пря мой , параллельной прямой /, образует класс. Этот класс может быть задан любым вектором из дайной совокупности.

Класс, содержащий вектор х, обозначим через х. Если х == у(mod I), то ясно, что класс х совпа­ дает с классом у: х = у. Подпространство I само является классом:

поскольку оно содержит вектор 0, этот класс можно назвать клас­ сом 0.

Множество всех классов, которое обозначим через й, обладает следующими свойствами. Если х, у € й, а а £ Ж, то

1) х + у £ Й , 2) ах е й .

Действительно, пусть х £ х , у £ у , x + y = z, a z — класс век­ тора z. Для любого х, G х и любого у, е у имеем

Xi + У1 = х + (х, - х) + у + (У1 - у) = z + (х, - х) + (у, - у).

Отсюда, так как х, — х е I и у, —у е I,

х, 4- у, = z(mod I).

Значит, х, 4- у, е z 'e Й. Тем самым свойство (1) доказано.

Пусть, далее, z — класс вектора ах, где х 6 х . Тогда для про­ извольного вектора х, £ х имеем

mod I, если существуют такие числа а,, ..., а р в Ж, не все равные

Равенство (4.4.1) означает принадлежность вектора а,х, 4- a2x2 -h.. 4- а рхр подпространству I.

I — равна т. Выясним, какова размерность п пространства Й. Век­ торы х,, х2, ..., хр пространства й будем называть линейно зависи­

мыми, если в Ж существуют такие числа а,, а2, .... арУне все рав­ ные нулю, что

хр ..., х п_ т — какая-нибудь система п линейно независимых век­ торов из R. Рассмотрим классы xj, х2, ..., х п_ т , соответствующие векторам х,, х2, ..., xn_ m. Все эти классы различны. В самом деле, если допустить, что, например, классы х, и хусовпадают, то отсю­ да, в частности, получили бы

Xj — Xj = 0(mod I),

что означало бы линейную зависимость векторов ер ..., ет , хр Ху. Итак, классы x j , ..., хп_ т различны. Более того, эти классы ли­

нейно независимы. Допустим противное, а именно пусть существу­ ют такие числа а р ..., ая_ т в поле Ж , не все равные нулю, что

а,х, + а2х2 + ... + а п_ т хп_ от= 0.

Но тогда

ctjx, + а2х2 + ... + an_ mxn_ m= 0(mod I).

Последнее равенство означает линейную зависимость векторов х,, ..., xn_ m, ер ..., ет , что противоречит исходной предпосылке.

Итак, в пространстве R имеется система п = п — т линейно не­ зависимых векторов xj, х2 ..., х п_ т. Покажем, что в этом про­

странстве нет большего числа линейно независимых векторов. Пусть х- + 1 — произвольный вектор пространства R, а х- +1 — ка­

кой-нибудь вектор из xj- +1. Векторы ер ..., ет , хр ..., х~, х- +1ли­

нейно зависимы, так как их число больше размерности пространст­ ва R. Значит, в поле Ж имеются числа а р ...» а- +р Рр ...» рто, не

все равные нулю, такие, что

Р,е, + ... + p mem + cijXj + ... + a- +lx- + 1= 0.

Отсюда

линейно зависимы.

Равенство (4.4.3) сохраняется для любых векторов хр ..., х~+1, взятых из соответствующих классов хр ...,х~+1-. Действительно, так как x t — х; Е 7 (хр xf Е хр i —1,..., п + 1), то

« Л + — + а Я+1хп+1 - 0(mod I),

и, значит,

°ixi + ... + а я+1хЯ-н = О,

что означает линейную зависимость векторов хр х2, ..., х -+1.

Тем самым доказано, что размерность пространства R равна

п = п — т.

Пусть теперь в R задан линейный оператор А и подпространство I, инвариантное относительно А. Тогда, если x = x'(modI), то Ах = Ах'(mod I), так как из х — Xj Е I и инвариантности подпрост­ ранства I следует, что А(х — х') Е I, и, значит, Ах = Ах'(mod I). Отсюда ясно, что если ко всем векторам х', х " , ... некоторого класса х применить оператор А, то полученные векторы Ах', Ах",... также будут принадлежать одному и тому же классу, который обозначим через Ах.

Линейный оператор А, таким образом, переводит класс в класс и потому является линейным оператором в пространстве R.

Многочлен <р(Х) называется аннулирующим многочленом век­ тора х по mod I, если

4>(А)х = 0(mod I).

Аннулирующий многочлен вектора х по mod I наименьшей степени называется минимальным многочленом вектора х по mod I. Мно­ гочлен, который является аннулирующим для любого вектора х из R по mod I, называется аннулирующим многочленом пространст­ ва R по mod I. Аннулирующий многочлен пространства R по mod I наименьшей степени называется минимальным многочленом пространства R по mod I.

Минимальный многочлен вектора (пространства) по mod I есть делитель минимального многочлена вектора (пространства). Пусть,

например, <рА(Х) — минимальный многочлен вектора х по mod I, а <р(Х) — минимальный многочлен того же вектора х. Тогда <р(А)х = О и, следовательно,

<р(А)х = 0(mod I).

Значит, <р(Х) в то же время является и аннулирующим многочле­ ном вектора х по mod I. Степень этого многочлена не меньше, чем степень многочлена ipA(X). Разделив <р(Х) на <Pj(А), получим

<р(Ь) = <PI (A.)H(X) + г(\),

где г(Х) — многочлен меньшей степени, чем (рА(Х). Из последнего со­ отношения находим

r(A)x = 0(mod I).

Так как степень г(Х) меньше, чем степень многочлена tpA(X) (ми­

нимального многочлена вектора х по mod I), то полученное равен­ ство означает, что г(Х) = 0.

Точно так же можно показать, что справедливы и другие пред­ ложения, касающиеся аннулирующего и минимального многочлена вектора и пространства по mod I, аналогичные доказанным в предыдущем параграфе свойствам аннулирующего и минимального многочленов вектора и пространства. Это обусловлено тем, что сравнения по mod I, по существу, означают равенства, только не в пространстве R, а в пространстве Й.

В частности, справедливо следующее утверждение, которое бу­ дет использовано ниже: в пространстве R существует вектор, мини­ мальный многочлен по modi которого совпадает с минимальным многочленом по mod I всего пространства.

§ 4.5. Циклические подпространства векторного пространства

Пусть № + с^Х^-1 4*... + ар_ АХ + ар — минимальный много­ член вектора e £ R . Тогда векторы

линейно независимы, а вектор Аре есть линейная комбинация этих векторов:

Векторы (4.5.1) образуют базис некоторого р-мерного подпростран­ ства J. Ввиду специального характера базиса (4.5.1) это подпрост­ ранство называется циклическим.

Циклическое подпространство всегда инвариантно относительно оператора А, ибо из того, что

х = 4* с2Ар-2е + . . . + сре G I,

следует в силу (4.5.2), что Ах е I.

Произвольный вектор х G I представляется как линейная ком­ бинация базисных векторов- (4.5.1), т.е. в виде

где х(Х) — многочлен степени X ^ р — 1 с коэффициентами из Ж. И обратно, вектор х, определенный равенством (4.5.3), где х(Х) — любой многочлен относительно X степени ^ р — 1 с коэффициента­ ми из Ж, является линейной комбинацией базисных векторов (4.5.1) и потому принадлежит подпространству I. Учитывая это, го­ ворят, что вектор е порождает подпространство I.

Ясно, что минимальный многочлен порождающего вектора бу­ дет в то же время минимальным многочленом всего пространства.

Ниже будет показано, что пространство R расщепляется на цик­ лические подпространства.

Пусть ^(А.) = Xnt + a1A.m_i + ... + am есть минимальный мно­

гочлен пространства R. Тогда в R существует вектор е, для которого 'ipi(X) является минимальным многочленом. Линейно независи­

образуют базис некоторого циклического подпространства It. Если п — т , то R = I, и, значит, R — само циклическое пространство.

Пусть гс > га и многочлен

•Ф2(Х) = ^ + Р1А.р - Ч - ... + р р

— минимальный многочлен R по mod I,:

гр2(4)х == 0(mod 12).

Многочлен тр2(Х) является делителем яр^Х) (см. § 4.4), т.е. суще­ ствует такой многочлен х(Х), что

4 >1(Х)=яр2(Х)х(Х).

Далее, в R существует вектор g*, минимальный многочлен по mod I которого совпадает с яр2(Х):

4»2(A)g* = 0(mod 1^,

т.е. существует многочлен х(к) степени < т — 1 такой, что

Применяя к обеим частям этого равенства оператор х(А), получим

х(А)х(А) = 0.

Отсюда следует, что х(Х)х(Х) является аннулирующим многочленом вектора е и, потому, делится без остатка на минимальный многочлен ф,(Х) = х(Х)тр2(Х). Значит, х(Х) делится без остатка на т|)2(Х):

Из (4.5.8) следует, что g = g*(mod I,). Отсюда T|J2(X) является ми­ нимальным многочленом по mod Ij и для вектора g. Если к тому же учесть равенство (4.5.7), то будет ясно, что г1>2(Х) является также и минимальным многочленом вектора g. В таком случае векторы

Так как t|)2(X) — минимальный многочлен по mod Ij вектора g, то векторы (4.5.9) линейно независимы по mod /,, т.е. никакая ли­

нейная комбинация векторов (4.5.9) с не равными одновременно нулю коэффициентами не может равняться линейной комбинации векторов (4.5.4). Так как векторы (4.5.4) сами линейно независи­ мы, то т + р векторов

е, Ае,..., Am“ 1e, g, Ag,..., A^_1g

линейно независимы и образуют базис инвариантного подпростран­ ства Ij + 12 с числом измерений т + р.

Если п — т -f р, то R = I, + 12. Если же п > т 4- р, то, рассматривая R по mod (Ij + 12), выделим следующее цикличе­ ское подпространство 12 с минимальным многочленом ф3(Х), который будет делителем -ф,(Х) и г|)2(Х). Так как R конечно-