,>ами в отличие от распределенных систем, в которых учитывается шенение параметров как по времени, так и по координате. Воз можность использования более простых систем с сосредоточенными араметрами, описываемых обыкновенными дифференциальными равнениями, вместо систем распределенных, описываемых диффе ренциальными уравнениями в частных производных, возникает огда, когда характерный размер исследуемого объекта (например,
длина проточной части компрессора) много меньше длины волны ишшкающих колебаний к. Как будет ясно из дальнейшего при акшикновении динамической неустойчивости (помпажа компресора), частота колебаний не превосходит 10—30 Гц, при этом вычолняется условие / <^ X, и ступень компрессора или группу сту пеней можно представить как систему с сосредоточенными парамет рами. Итак, с учетом сделанных замечаний и выражения (11.14) щвление за компрессором
dQ1{
Рк = ЛЯ (QK) = (ро + Lai ^ § г ) 71(QK).
11зменение давления в нагнетающем трубопроводе р$- -рк можно определить так же, как и во всасывающем:
|
|
|
dQK |
|
|
Рба — |
Рк |
L,а2 ‘ dt |
|
ИЛИ |
Ра = р0л (QK) — |
[L a, -f L aJl (Q„)]. |
Обозначая Lb2+ |
Lalл (QK) = |
La; |
p0л (Q„) = |
Fx(Q„); |
^ 1 |
(QK) — PO = |
F (QK) И PQ = |
Pba - Po. |
окончательно получим первое дифференциальное уравнение расематриваемои системы:
|
dQx |
: F (QK) ~ Рб- |
(11.15) |
|
dt |
|
|
|
Второе дифференциальное уравнение можно получить, принимая во внимание, что скорость изменения давления р^ в объеме перед дросселем будет пропорциональна разности секундных расходов воздуха, поступающего в этот объем и вытекающего из него.
Изменение массы в объеме V будет:
dm = p{QK— QR)dt. |
( 1 1 .1 6 ) |
Полагая процесс в объеме V адиабатическим, можно |
написать |
\)k!p = const. Дифференцируя это выражение, получим |
( 1 1 .1 7 ) |
Р |
dp |
|
Учитывая, что dp = dm/V, соотношение (11.17), уравнение состоя ния р = рRT и выражение для скорости звука а2 = kRT из (11.16), получим
dpe _ ра2
dt ~ V ’ (QK QR )-
Величина Са = V/pa2 называется акустической гибкостью и учить, вает емкостные свойства системы. Вводя акустическую гибкость окончательно получим второе дифференциальное уравнение системы
c * - l i r = Q « - Q B - |
(И .18] |
Третьим уравнением системы будет характеристика сопротив-* ления дросселя (характеристика сети) рб — срх (Qn) или обращен! ная функция QR = ср (р6). Исключая с помощью этой функции pacj ход QH, получим систему двух дифференциальных уравнений, ко торые описывают динамический процесс в системе с компрессором;
L a^ |
= |
F ( Q K - Po;} |
. |
|
(11.19) |
Ca^ |
= |
QK- Ф Ы . ) |
Для исследования устойчивости рассматриваемой системы нам необходимо получить уравнения возмущенного движения. Поскольку мы будем изучать устойчивость равновесия, необходимо найти со стояние равновесия системы. Найдем его, полагая в системе (11.19),
что |
~ |
~ 0* Приравнивая левые части выражений |
(11.19) к нулю, получим уравнения равновесия. Число и значения корней этой системы определяют количество равновесных режимов,
т.е. пересечение характеристик компрессора F (QK) и сети ср (/?б). Рассмотрим случай, когда имеется одна точка пересечения, пусть
ее координаты будут QJ, |
тогда р% = |
F (Q,*), |
ср {р*6) = |
QJ. |
Перенесем начало координат в точку равновесия |
и обозначим Q = |
— QK |
QK» р — Р б — Р б- Поскольку dQi |
dQu |
’ |
dpQ |
— J]L |
|
|
d t |
dt |
dt |
~ |
dt ’ |
то уравнения возмущенного движения в рассматриваемом случае будут:
d Q |
= - j - [ F ( Q I- QZ ) - - ( P ■а Ш; |
|
d t |
La |
( 11. 20) |
d p |
_1 |
Ч Г |
= -Fl(Q ! QK) — ф (P P C )\ - |
Ca |
Входящие в систему (11.20) функции F и ср суть нелинейные функ ции, поэтому дифференциальные уравнения возмущенного движе ния, как и исходные (11.19), являются нелинейными дифференци альными уравнениями.
11.3.2. Методы решения уравнений
Как уже отмечалось, общих методов решения таких урав нений не существует, поэтому найти их решение и определить со стояние устойчивости системы, которую они описывают, представ ляет большие трудности. Преодолеть эти трудности можно так.
рели мы хотим представить состояние устойчивости в малом, не обходимо линеаризовать исходную систему уравнений. Для лине аризованной системы, как известно, состояние устойчивости опреде ляется по корням характеристического уравнения. Для определения состояния устойчивости в большом существует приближенный меюд решения, принадлежащий Ван дер Полю, который позволяет найти приближенное решение «нелинейных уравнений и определить г,се параметры автоколебательной системы, какой является система (11.20). Рассмотрим обе возможности подробно. Сначала линеари зуем систему (11.20) и определим состояние устойчивости в малом. Разложим нелинейные функции F и ср в ряд Тейлора и ограничимся в разложении членами первого порядка:
F(Q \ - Q ') = F ( Q ^ -\- |
^ J ^ L Q k] |
Ф (Р Рб) = Ф(Рб) - Г d(pj p 6^ |
P = QI + P - Y - |
Тем самым в точке пересечения характеристик компрессора и сети мы заменили эти характеристики касательными к ним:
Подставляя эти разложения в (11.20), получим следующую систему линейных дифференциальных уравнений:
dQ |
1 |
dF |
0 |
- j —p = aQ + bp\ |
|
dt |
La |
dQ |
V |
La |
( 11.21) |
dp |
1 |
|
|
|
|
|
He- p = cQ-\-dp. |
|
dt |
' Ca Q |
|
|
Как известно, условиями устойчивости системы линейных диф ференциальных уравнений являются условия Рауса—Гурвица, смысл которых заключается в том, чтобы корни характеристического уравнения не имели бы положительных вещественных частей, т. е. чтобы решения уравнений не имели бы экспоненциально возраста ющих по времени решений. В рассматриваемом случае условия Рауса—Гурвица выглядят так: — (а + d) > 0; ad — be > 0. Под ставляя в эти соотношения физические параметры системы, полу чим для второго соотношения
_ ^ L |
_ J ______ / |
_ |
_J_____ L |
K |
o |
dQ |
LaCak |
V |
La C |
a ) ^ |
’ |
или |
|
|
|
|
(11.22) |
Это уже знакомое нам условие статической устойчивости: тангенс угла наклона к характеристике сети в устойчивой точке равновесия должен быть больше тангенса угла наклона к характеристике ком-
т» |
случае |
1 |
< |
С1Г |
-----положение равновесия |
прессора. В противном |
k |
|
будет статически неустойчивым.
|
Проанализируем теперь |
условие — (а + d) > 0, будем иметь |
|
dF |
I |
|
- (■ dQ |
La |
|
dF . La |
(ll .23) |
|
или 4 Q < I C7 |
|
|
Это условие динамической устойчивости «в малом». При -щ- >
> 77?- и выполнении условия (II .22) в системе будут возбуждать-
ся продольные колебания и система станет динамически неустой чивой. Таким образом, мы нашли условия возникновения автоколе бательных режимов в системе, содержащей компрессор. Такие авто колебания называют помпажными колебаниями при мягком режиме возбуждения. Если рассмотреть фазовую плоскость системы при
то мы обнаружим устойчивый предельный цикл,
а в начале координат фазовой плоскости располагается неустойчи вый фокус. Однако определить амплитуду автоколебаний, используя линеаризованную систему уравнений, не представляется возможным. Кроме того, мы исследовали только условия возникновения помпажа при мягком режиме возбуждения. Для определения условий возникновения помпажа при жестком режиме возбуждения необ ходимо исследование исходной системы нелинейных дифференциаль ных уравнений. Поэтому вернемся к исходной нелинейной системе (И .20), линеаризовав только характеристику сети ф {р + pi)- Система уравнений будет нелинейной только потому, что характери
стика |
компрессора осталась нелинейной. Заменяя в (II.20) ф {р |
+ |
+ Ръ) |
— QK + Р 1/А и исключая из системы (II.20) давление |
р, |
придем к одному нелинейному дифференциальному уравнению вто
рого порядка относительно объемного расхода |
Q. |
г |
d2Q |
|
Ьа |
dt2 |
|
|
-F(<2;) + - ^ - « ] = O. |
(П.24) |
Произведем в уравнении (11.24) замену независимой переменной. Пусть
|
|
|
kCaLa |
I |
|
|
|
IГт ’ |
где k1 = k — |
dQdF |
’ |
|
|
|
dQ |
dQ___l _ . |
d2Q = |
d2Q |
l |
Т0Гда^ г = |
dx |
Y m |
dt2 |
dx2 |
m |
Подставляя эти значения в (11.24), получим
|
d2Q |
' = \ k C * |
dQ |
|
|
dx2 + Q |
dx |
(11.25) |
|
Vkk^aLa L |
d<i |
|
Уравнение (11.25) относится к уравнениям вида Ван дер Поля. В теории колеба |
|
ний величина р = — ...— |
— носит название характеристики затухания и для мно- |
V kkiCa'a
гих систем, в том числе и рассматриваемой нами системы, и является малой величи
ной. При р «с 1 уравнения вида (11.25) описывают процессы в нелинейных системах, |
близких к гармоническому осциллятору. В самом деле при р \^кСа - щ — LaJ |
dQdx |
-> 0 уравнение (11.25) превращается в хорошо знакомое уравнение гармонического осциллятора. Для уравнений вида (11.25) голландский исследователь Ван дер Поль в 2 0 -х годах нашего века разработал приближенный прием, позволивший эффективно решать задачи, связанные с исследованием нелинейных систем. Поясним существо этого метода. Обозначим для сокращения записи
1 |
Ги |
Са |
dF |
f(Q, Q)- |
|
Vkk-fialLa |
L |
U |
dQ |
|
|
|
Уравнение второго порядка (11.25) простым преобразованием подстановки у = |
dQ |
dx |
превращается в следующую систему двух уравнении первого порядка:
|
|
dQ |
|
|
|
|
dx |
|
(11.26) |
|
dy |
= — Q+ |
|
|
р / |
У)- |
|
dx |
|
Заметим прежде всего, что при р/ (Q, у) |
0 |
решение этой системы можно записать |
|
так: Q = a cos т + b sin т; у = |
— a sin т + |
Ъcos т. Мы будем искать решение нели |
нейной системы (11.26) в таком же виде, только положим, что величины а (т) и Ь (т) уже не постоянные, а функции времени т. Преобразуем нашу систему (11.26) к новым переменным а (т) и b (т), которые называются переменными Ван дер Поля. Не при водя детальных преобразований [15], выпишем окончательный результат:
da |
- — р/ (a cost-]- b sin т; |
- a sin х |
|- b cos т) sin т; |
|
dx |
|
|
|
(11.27) |
db_ |
|
|
|
р/ (a cos х f- b sin т; |
— a sin т |
{- b cos x) cos x. |
|
dx |
|
|
|
|
|
В чем преимущество новых переменных а (т) и Ъ (т) перед старыми Q (т) и |
Ответ |
дают только что выписанные соотношения — производные переменных а (т) и b (т) — пропорциональны малому параметру р < 1 и, следовательно, являются медленно меняющимися величинами. Разложим правые части уравнений (11.27) в ряды Фурье:
da |
_ |
.. f Фо(я, Ъ) |
-f <Pi (^* ь) cos т Ь Ф1 (а> b) sin х |
|- (р2 (а , |
b) cos 2 т |- |
dx ~ |
1 \ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h ф2 («, Ь) sin 2 т |
+ |
. . ) ; |
|
|
db |
__ .. f |
Ь) |
[-Ф1 |
(a, b) cos т Ь Ф1 |
(а, |
sin т |
р ф2 (а, |
b) cos 2 т + |
Ж |
~ ^ \ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
ф2 {CL, b) sin 2т + |
. . .} , |
|
|
где Фг, фг — коэффициенты Фурье функций
/ (a cos т + b sin т; — a sin т + b cos т) sin т;
/ (a cos т + b sin т; — a sin т + b cos т) cos т.
366
туды предельных циклов определяются точками пересечения зависимости
гг |
da |
db |
Поскольку |
-jj- |
и -jj- имеют порядок р, можно усреднить правые части полученных |
уравнений по явно входящему времени, иными словами отбросить в правой части все осциллирующие члены. Тогда мы получим так называемые «укороченные» ураине-
D |
rr |
da |
сро (а , b) . db |
сп0 (а, |
Ь) |
, решать которые сравни |
ния Ван дер Поля: |
|
— р —— -— —, |
- р - —^ |
|
тельно престо. Мы получили «укороченные» уравнения Ван дер Поля, считая опе рацию «укорочения» законной, исходя из того, что переменные Ван дер Поля а (т), b (т) медленно меняются. Советские ученые Л. И. Мандельштам и Н. Д. Папалекси [15] математически строго доказали законность отбрасывания осциллирующих чле нов и тем самым возможность применения «укороченных» уравнений Ван дер Поля для исследования нелинейных систем, близких к гармоническому осциллятору. За канчивая изложение существа метода Ван дер Поля, отметим, что «укороченные» уравнения чаще записываются в полярных координатах, поскольку в этом случае анализ решений особенно нагляден. Используя преобразования Q = К cos (т + -О);
= —/( sin (т + г1)), систему уравнений Ван дер Поля можно записать так:
=-- (I/ [К cos (т 1- 0 ); К sin (т -[- г))] sin (т •0 );
и
-jjr = -----/ [К cos (т -}- ft); — К sin (т ft)] cos (т ft).
Усредняя эти уравнения по явно входящему времени и = т + ft, получим «уко роченные» уравнения Ван дер Поля в полярных координатах:
|
- S - - I ‘ф «>' т - ж * ' - |
где Ф (К) — -----| |
/ (К cos и, — К sin и) sin и du\ |
о |
|
2я |
(11.28) |
гГ(Ю = — 2л1Г I |
^ ^ cos и,~ ^ sin и) cos и dи• |
Отметим, что в рассматриваемой нами системе с компрессором функция Ф, вхо дящая в интегралы (11.28), имеет следующий вид:
|
|
Ф (К) = |
“2 ^" |
J [ - - 1 |
b * - £ - s ( * c o s f t j |
К sin ft d\), |
|
|
|
|
—я |
|
|
|
где s - |
dF |
— крутизна характеристики компрессора, |
|
|
dQ |
|
|
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величина |
ф (К) |
- |
j |
- 1 |- /С |
s (К cos ft) J |
К sin ft cos 0 d() - 0 |
в силу нечетности подынтегральной функции. Это значит, что с точностью до членов порядка р 2 период автоколебаний совпадает с периодом собственных колебаний столба воздуха в рассматриваемой системе. Очевидно, что состояние равновесия системы
d.K
определяется условием —i-— = 0 или Ф (К) = 0.
ат
Пусть у системы будет несколько положений равновесия. Стационарные ампли- dK с
р
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
11.11. |
Зависимость амплитуды |
Рис. |
11.12 |
Зависимость амплитуды |
автоколебаний |
от свойств |
системы |
автоколебаний |
от свойств |
системы |
(мягкое |
возбуждение колебаний) |
(жесткое возбуждение колебаний) |
На |
рис. |
11.12 положения |
устойчивых |
предельных |
циклов отмечены |
жирными |
ппшями, |
а неустойчивых — тонкими. Очевидно, что, если рисовать фазовую плос |
кость, то при а с |
а 0, мы будем иметь устойчивый фокус, как на рис. 11.7, а, при |
/. > 1 , 0 |
— один |
устойчивый |
предельный |
цикл, |
как на рис. |
1 1 .8 . При а 0 < а < 1 |
аа фазовой плоскости мы будем иметь следующий портрет (см. рис. 11.10). Ближай ший к началу координат предельный цикл неустойчивый, второй предельный цикл — устойчивый. Это значит, что, если возмущения не выходят за пределы заштрихован ной области, компрессор будет устойчив, если возмущения превышают значения в за яц рихованной области — в системе с компрессором возникнет помпаж, амплитуда номпажных колебаний сразу станет равной радиусу второго устойчивого предель ного цикла. Такая картина возникновения помпажа называется автоколебаниями при жестком режиме возбуждения. В этом случае в связи с существованием зоны с неустойчивыми предельными циклами не существует однозначной зависимости па раметров автоколебаний, в частности амплитуды, от свойств системы.
На рис. 11.12 приведена зависимость амплитуды автоколебаний К от параметров
dF kCа г-
апсгемы а — - щ - —— . Если плавно менять параметры системы и при этом воз-
му щения по величине не будут превосходить амплитуды неустойчивого предельного
цикла (тонкая |
линия на рис. 1 1 . 1 2 ), то компрессор будет динамически устойчив, |
вплоть до ос =■ |
1 . Начиная с ос = 1 возникнет самовозбуждение автоколебаний (мяг |
кий режим) и с увеличением ос будет расти амплитуда автоколебаний. Однако при уменьшении и даже при ос < 0 , но а > а 0 автоколебания не исчезнут и будут про должаться вплоть до ос = ос0, и только при а < ос0 состояние равновесия устойчиво. Мы видим характерные для нелинейных систем гистерезисные явления. При само возбуждении (а > 1 ) амплитуда автоколебаний плавно нарастает от значения К — 0 до К — /С0»причем зависимость от времени определяется выражением
|
|
|
|
К(т) |
/Со |
|
|
|
|
V 1-|- Се~ц(а—|>х |
[де С — постоянная, |
определяемая |
начальными условиями. |
На рис. 11.13 приведено развитие |
колебаний в системе |
по времени — отре |
зок времени т0 называется временем пере |
ходного |
процесса. Когда система неустой |
чива |
в |
большом (ос0 < ос с 1 ) при |
воз |
мущениях, превышающих |
амплитуду |
не |
устойчивого предельного |
цикла, ампли |
туда устойчивого предельного цикла /С0 |
возникает скачком. |
|
|
|
Рис. |
11.13. Изменение давлений по |
вре |
мени |
в |
системе с мягким |
возбуждением |
13 Х о л щ е в н и к о в К. В . и др.
11.4.3. Влияние на характер помпажа положения рабочей точки на характеристике компрессора
Определим влияние положения рабочей точки по харак теристике компрессора на состояние как статической, так и динами ческой устойчивости. Прежде всего установим, что, если рабочая точка располагается в правой ветви напорной характеристики F (Q), где величина dF/dQ < 0, возникновение помпажа при мягком воз буждении невозможно, так как условие потери динамической устой-
dF ^ La
чивости «в малом» гласит, что —ттг^ттт-*
dQ kCa
Фазовые траектории при работе компрессора в правой ветви будут представлять собой логарифмические спирали с устойчивым фоку сом в начале координат (рис. 11.14, а). Однако утверждать, что при работе в правой ветви характеристики невозможен помпаж, неверно. Если характеристики компрессора и сети пересекаются вблизи максимума напора F (Q) (рис. 11.14, б), но точка пересече ния по-прежнему лежит в правой ветви напорной характеристики компрессора, может возникнуть ситуация, при которой возможен жесткий помпаж. Ранее мы установили, что форма характеристики должна быть при этом такой, чтобы коэффициент |3 > 0. В работе [30] установлено простое условие возникновения жесткого пом пажа. Проведем касательную к характеристике компрессора. Если при этом разность между ординатами характеристики F (Q) и каса тельной при значении Q = QK— е (е — малое конечное число) меньше подобной разности при значении Q = QK — в, то будет про-
Рис. 11.14. Зависимость состояния системы от положения точки равновесия (опре деляемой характеристикой сети) на характеристике компрессора:
1 — характеристика компрессора; 2 — устойчивый фокус; 3 — характеристика сети; 4 — устойчивый предельный цикл; 5 — неустойчивый предельный цикл; 6 — неустойчивый фо
кус
