книги / Основы САПР. CAD CAM CAE

Конечной точке кривой будут соответствовать значения параметра t"+1 = t"+2 = = tn+k· Поскольку N",1 -единственная иенулевая функция сопряжения

первого порядка на отрезке tn и t"+l• она одна должна учитываться при выводе

уравнения последнего сегмента кривой. И она же будет иенулевой при и= tn+t·

Отсюда все функции сопряжения вида N;,k(t"+ 1) равны нулю, за исключением

N",~t(t"+1) = 1. Следовательно, координаты конечной точки могут быть получены

из уравнения (6.52) в следующем виде:

Получить первую производную в начальной точке можно с помощью уравне­

ния (6.53). Левая производпая в числителе (6.53) вычисляется подстановкой h1P1

вместо Р1 и h0P 0 вместо Р0 в конечное выражение примера 6.5. Точно так же

правая производпая вычисляется подстановкой h1 вместо Р1 и h0 вместо Р0• Да­

лее, :L:o h;N;,k(tk-l) =h0 • Из всего вышеизложенного следует, что первая произ-

водная в начальной точке кривой равна

Аналогичным образом вычисляется первая производпая и в конечной точке.

6.7. Интерполяционные кривые

Представьте, что вы работаете в системе геометрического моделирования и хоти­

те визуализировать кривую. Кажется естественным передать системе координа­

ты нескольких точек на этой кривой. На самом деле чертежники рисуют кривые таким интуитивным методом уже многие годы. Они ставят на бумаге несколько точек в соответствии со своим представленнем о форме кривой, а затем соединя­ ют их плавной линией при помощи средства, называемого сплайиом (spline). Так

же и в САПР: конструктор уt<азьшает точки, а система строит по ним интерполя­

ционную кривую, которую и отображает. Уравнение интерполяционной кривой сохраняется для последующей работы с ней. Можно создать кривую, непосред­

ственно указав задающие точки кривой Безье или В-сплайна. Однако большин-

194 Глава б. Представление кривых и работа с ними

Выведем уравнение эрмитовой кривой для всех сегментов при условии, что мы

знаем координаты точек Р0, Р1, ••. , Р". Эти n + 1 точек дадут нам n эрмитовых кривых, которые мы обозначим буквами P 1(u), P 2(u), , P"(u) (рис. ?·11).

Рис. 6.11. Интерполируемые точки и эрмитовы кривые

Эрмитова кривая под номером i может быть записана с использованием уравне­

ниj:i (6.10) 11 (6.12):

+[2 (Рн - Р; ) + Р'i-t +Р; ]и:J

Здесь Р;_1 и Р; - векторы касательных в точках Рн и Р; соответственно. Уравне­

ние для конкретного сегмента получается подстановкой конкретного значения i

в общее уравнение. Для каждого сегмента параметр изменяется от О до 1.

При попытке воспользоваться уравнением (6.55) мы столкнулись бы с одним за­ труднением: коэффициенты Р;_1 и Р; обычно не указываются. Поэтому нам нужно изменить уравнение (6.55) так, чтобы онн в нем и не появлялись. Чтобы иметь возможность вычислить производвые Р;_1 и Р; по самим данным, нам нужно на­

ложить граничное условие, гарантирующее неnрерывность производной второго порядка в точках соединения сегментов кривой:

= 2(-ЗР; + ЗР;+1 -2Р; -P;+t ).

Первая строка в уравнении (6.57) nолучается двойным дифференцировюшем уравнения (6.55) и nодстановкой значения и= 1. Вторая строка nолучается тем

же путем nосле nолучения выражения для P;+1(u) после nодстановки i + 1 вместо i в уравнение (6.55). Уnрощение (6.57) дает следующее выражение:

(6.58)

Подставля.si в уравнение (6.58) все значения i от 1 до n - 1, мы получим приве­

деиное ниже матричное уравнение:

Если нам известны значения Р~ и Р;, из правой части уравнения (6.59), мы мо­ жем най_ти значения n - 1 неизвестных персменных Р;, Р~,... ,Р;,_1 • Получив зна­

чения всех производных, мы можем подставить их в уравнение (6.55) и полу­

чить, таким образом, полностыо определенную эрмитову кривую.

Осталось определить Р~ и Р;,, то есть векторы касательных на концах кривой. Для этого обычно выбирают один из двух методов, однако от этого выбора зави­

сит форма интерполяционной кривой. В первом случае конструктор задает на­

правления касательных вручную. Говорят, что на кривую накладывается условие

жестко закрепленных концов. Второй метод состоит в предположении об отсут­ ствии крутящих моментов на концах балки. Это эквивалентно присnаиванию Р' 0

и Р' n нулевых значений, поскольку вторая производная пропорциональна крутя­

щему моменту. Отсюда получаются приведеиные ниже дополнительные уравне-

ния, выражающие заданное ограничение:

бавив уравнения (6.62) и (6.63) в начало и конец матрицы соответственно. В ре-

зультате получится новое матричное уравнение:

Уравнение (6.64) позволяет найти n + 1 неизвестных: Р~, Р;, ... , Р;,.

Различия между двумя интерполяционными кривыми, построенными по одним

и тем же точкам, иллюстрирует рис. 6.12: у одной кривой конец жестко закреп-

лен, а у другой - свободен. Обратите внимание, что интерполяционная кривая

со свободными концами как бы •распрямляется~> вблизи них.

Закрепленный конец

1_

Рис. 6.12. Зависимость интерполяционных кривых от граничных условий

6.7.2. Интерполяция В-сплайном

В этом разделе мы рассмотрим вывод уравнения В-сплайна, проходящего через

точки Qo, Q1, ••• , Qn. Нам придется определить степень, количество задающих то­ чек, их координаты, а также узловые значения параметра интерполяционного В­ сплайна. Любой В-сплайн, определяемый n + 1 и более задающими точi<ами,

можно провести через n + 1 точек, потому что у такой кривой будет n + 1 и более

степеней свободы. В-сплайн с большим числом степеней дает конструi<тору большую свободу в управлении формой кривой, например направлением каса­ тельных на ее концах. В этом разделе для простоты мы рассмотрим тольi<о В­

сплайн с n + 1 задающими точками.

Сначала нужно выбрать порядок В-сплайна. Чаще всего выбирается порядок 4,

поскольку степень 3 является минимальной, удовлетворяющей требованию не­

прерывности второй производной в точках соединения. ·затем определяются уз­

ловые значения. Поскольку мы решили работать с n + 1 задающими точi<ами, нам придется вычислить n + k + 1 узлов. Узлы можно выбрать множеством спо­

собов, так что мы воспользуемся результатами Хартли [63] и Ли [98]:

m=kj=m-k

t; =1 (i=n+1,n+2, ... ,n+k),

где

(6.66)

Пусть нам нужно определить положение n + 1 задающих точек Р0, Р1, •.. , Pn. Эти

i=O

где щ - значения параметра, которые должны соответствовать точкам Q,;. Любой

набор uj между tk-l и tn+t даст В-сплайн, проходящий через точки данных. Однако

оИтерации могут разойтись, если начальные приближения и и v окажутся

слишком далеки от настоящих решений.

оПри наличии нескольких точек пересечения может случиться, что не все они

будут найдены. Обычно возвращается решение, находящееся ближе всеrо к начальному приближению.

оСитуация, в которой часть одной кривой точно совпадает с частью другой

кривой, не может быть обработана алгоритмом в силу его внутренних особен­

ностей. В этом случае будет возвращено неопределенное количество точек пе­

ресечения.

ОЕсли в некоторых местах расстояние между кривыми очень мало, координаты

этих участков могут быть возвращены в качестве точек пересечения (в зави­

симости от внутренней поrрешности алгоритма).

Первая и вторая проблемы решаются последовательным заданием начальных приближений, близких к реальным точкам пересечения. Для кривых Беэье t1 В­

сплайн6в начальные приближения могут быть получены путем аппроксимации

кривых отрезками. В приложении Ж мы показали, что аппроксимация крt~вой Беэье или В-сплайна отрезками получается путем последовательного деления такой кривой. Третья проблема обычно возникает при расчете точек пересече­ ния простых кривых, например отрезков или дуг окружносте~. Например, мы

можем попытаться найти численным методом точку пересечения двух дуг, лежа­

щих на одной и той же окружности, преобраэовав уравнение каждой из нtlx к уравнению NURBS. Вспомните, что это преобраэование часто выполняется для

того, чтобы одна программа могла работать с кривыми любых типов. Численный

метод не может обнаружить перекрытие, поэтому он возвратит неопределенное количество точек пересечения, зависящее от начального приближени~. Следова­

тельно, проверять возможность перекрытия следует до вызова численного ме'J'ода.

Эта проверка может осуществляться путем сравнения характерных параметров кривых, например центров и радиусов дуг, перед преобраэованием их к форме

NЦRBS. Четвертую проблему в большинстве случаев можно решить, правда не

полностью, аккуратной настройкой точности численного метода.

Рассмотрим теперь более простой метод определения точки пересечения, кото­

рый применим в том случае, если одна из кривых является прямой. Предполо­

жим, что Р(и) -уравнение прямой, а Q(v) -уравнение кривой. Если прямая

проходит через точки, положение которых задается векторами Р0 и Р1, то ее

уравнение может быть записано следующим образом:

Параметры и и v в точке пересечения должны, таким образом, удовлетворять

уравнению

Умножим левую и правую части уравнения (6.74) скалярмо на Р0х Р1 : 1

Нелинейное уравнение (6.75) может бЬ1ть решено относительно v численным ме­

тодом. Однако эдесь нас подстерегают те же проблемы, что и раньше.

1 Уравнение поJtучается таким, JJотому чтоскалярное произведение Р0или Р1 на равно нулю.