книги / Несущая способность и расчет деталей машин на прочность

Рис. 31. Значения функций Фи; Фр и Фир при ц = 0,5 и % = 1,2

ряемое вдоль меридиана оболочки от произвольной точки в направлении интегрирования, D — цилиндрическая жесткость, коэффициент Пуассона ц = = 0,5; интегральные функции пластич­ ности

Эту систему уравнений решают ме­ тодом последовательных приближений на ЭЦВМ, используя в частности метод Рунге-Кутта с последующей ортогонализацией решений [31. В последователь­ ных приближениях .определяют значе­ ния интегральных функций пластично­ сти для последовательно вычисляемых значений деформаций.

Для цилиндрических оболочек урав­ нения (1.200) существенно упрощаются. Уравнение равновесия при отсутствии осевой силы имеет вид:

Максимальная интенсивность дефор­ маций (при Т] = 1)

Интенсивность деформаций на нейт­ ральной поверхности

^i0= ^р-

После преобразований получим вы­ ражения для интегральных функций пластичности

J ё; У Ц -

(e i max e i0)

Интегральные функции пластично­ сти удобно выразить через интенсив­ ность деформаций при изгибе цилинд­ рической оболочки:

= |7 з ~ ^ ё 'хх ё ххё уу "Ь ё уу'

Подставив в это уравнение выраже­ ния для компонентов деформаций

^ фё,- У ё \ - ё \ й dё2i|

(1.209)

С^ i d S j _

J. V n - * h

При ё,-о> 1 первый интеграл следует

считать равным нулю, а интегрирова­ ние второго вести в пределах от ё;0Д°

е.гшах*

После интегрирования запишем вы­ ражения для функций пластичности при изгибе оболочки для полигональ­ ной аппроксимации:

при г 1о < 1

лз

Функции У„ и Ур зависят лишь от е,- и ё( , поэтому, вычислив их значения

для различных деформаций и экспери­ ментально определив ап и Ьп легко найти Ф„ и Фр. Значения функций У„ и У для различных ё;тау и ё(.= 1; 1,25;

1,5; 2; 3; 4; 5, а так же значения всех других величин, входящих в функции Фи и Фр, приведенные в работе [22].

В случае линеаризованной диаграм­ мы деформирования для всех участков

диаграммы ап = 1 — GT и bn = GT. За начальное значение ё. принимают ё(.

(или 1), за конечное значение — et.max.

Используя данные работы (21) удоб­ нее записать выражения для функций

х [ ( 1 - 0 т ) 2 ^ + 0 т 2 ^ 1 [<L212>

фр=

r^Fmax

х [(1 - о, ) 2 ^р + О т1 ; ^ ] ;

— GT) ^ y p + GT ^ У р ],

Графики функций Фи и Фр для мо­ дуля упрочнения Gx = 0 показаны на рис. 27, гл. 11.

Дифференциальное уравнение (1.202) является двучленным уравнением чет­ вертого порядка для прогиба. Оно мо­ жет быть сведено к интегральному уравнению для прогиба последователь­ ным интегрированием.

В результате получим

av

+ \ р ы * х + тх[оф" Ш = < ,;-

при этом надо иметь в виду, что

s [ D ® " S ] = - Q’ r i e ° - nepepe-

зывающая сила в сечении оболочки. Изгибающий момент в сечении обо­

лочки

d-w

— М = ДФ„ dx1

XXt

=— ^ ^ &Фрш dx dx

av av

отсюда

X Xi

аv аv

X X

+oWS Sp(x)dxdx~

аv аv

-c k iQMdx- W : (,-24)

X i x г

=5 * ® » » * * * +

XX i x%

+$ 5 ^ - $ [ p W i x d x t o -

Интегральное уравнение для прогиба

Система уравнений (1.213) — (1.216) дает решение задачи об упруго-пласти­ ческом деформировании оболочки. В этой системе геометрические пара­ метры оболочки характеризуются ве-

Е№ Eh

личинами D = - - и k = — . Уравне­

ние (1.213) можно интегрировать при плавно меняющейся толщине оболоч­ ки h, при этом D и К будут функ­ циями длины оболочки; входящая в уравнение нагрузка р (х) может иметь произвольный закон изменения с тем ограничением, что функция нагрузки должна принимать на интервале интег­ рирования конечное значение и иметь конечное число разрывов первого рода. При известных значениях ш и d'2w по

формулам (1.205) легко определить значения напряжений ахх и ауу в лю­ бом сечении оболочки.

Рассмотрим упруго-пластическое де­ формирование бесконечной оболочки постоянной толщины под действием сосредоточенной кольцевой силы. При решении этой задачи удобно просле­ дить особенности сходимости процесса последовательных приближений, так как за счет резкого изменения сил и моментов по длине сходимость про­ цесса ухудшается, а точность числен-

Интегральное уравнение для про­ гиба w можно решить методом последо­ вательных приближений, если заданы условия на границах интервала интег­ рирования. В этом уравнении av — (значение границы интервала) равно а или Ь.

ного интегрирования падает, т. е. для расчета этот случай нагружения невы­ годен. При решении предполагаем ма­ териал идеально пластичным, для ко­ торого можно ожидать наихудшей схо­ димости приближений, поскольку функции Фн и Фр, определяющие не-

Зависимости функции F для тепло­ устойчивой стали (т = 0,08) в широком диапазоне значений коэффициента кон­ центрации аа и максимальных напря­ жений приведена на рис. 33. Точками обозначены результаты экспериментов, штриховыми линиями — значения F, вычисленные по уравнению (1.219) при

оп = 0,5 и 0,55. Можно отметить, что при значениях максимальных упругих

напряжений а 0а„ в диапазоне до 5, что соответствует обычно встречающимся в практикезначениям, функция F соста­ вляет около 0,7 и выше, при значе­

напряжений и деформации существует зависимость

Используя уравнение (1.221), можно записать значения коэффициентов кон­ центрации в упруго-пластической об­ ласти в следующем виде:

Зависимость между максимальными деформациями на контуре отверстия и номинальными напряжениями, полу­ ченная расчетом и из эксперимента для полосы с отверстием при растяжении показана на рис. 34. Соответствие ре­ зультатов расчета по точному методу, по приближенному и эксперимента ока­ залось достаточно хорошим. На этом рисунке верхняя шкала относится к двум верхним кривым, построенным по расчету по приближенным формулам для теплостойкой стали двух различ­ ных термообработок. Точки соответст­ вуют экспериментальным данным, по­ лученным методами муара (А) и се­

ток (Л).

Нижняя шкала относится к трем нижним кривым, построенным по при­ ближенным формулам, точки соответ­ ствуют результатам точного расчета для трех разных материалов.

Хорошее соответствие результатов наблюдается и при расчете оболочек с неукрепленными отверстиями и пат­ рубками по приближенным формулам и точным методам с помощью ЭВМ (рис. 35) [12].

известно это соотношение для некото­ рого модуля.

В этих выражениях рассматривается усилие в сечении и соответствующая ему характерная деформация, которые связаны между собой через интеграль­ ные функции пластичности. При сов­ местном действии изгиба и растяжения,

например М = Ф^шах* N= Фрер при изгибе пластинок

Л// /. = Фц-д- ( 2 ^ г т а х + ^в m a x);

— Фи (2^о тах ^^гтах );

Mi = Ф(?,-тах и т. д. Рассмотрим свой­

ства интегральных функций пластич­ ности при линейном упрочении для того, чтобы оценить возможность пере­ хода от предельных соотношений (1.224) к соотношениям при любой степени пластического деформирования.

Функция пластичности в точке при линейном упрочнении с модулем GTl

ного упрочнения при одинаковых зна­ чениях характерных деформаций. Это уравнение можно непосредственно про­ верить по данным настоящей главы.

Так как для Gt2 и Gt1 при деформациях ёу = ёг усилия в сечении Q2 — Ф2?х и Qi — Ф^х, то из уравнения (1.228) можно получить выражение (1.225), которое, следовательно, справедливо не /только для предельного случая, но и для любого значения деформаций.

Соотношения (1.225) и (1.226) можно записать в форме комбинации реше­ ния упругой и упруго-пластической задачи:

При одном и том же значении дефор­ мации функция пластичности ф2 при

модуле <?та определяется через функ­ цию фх:

1 —GT1

Имея в виду, что интегральные функ­ ции пластичности Ф связаны с функ­ цией ф выражениями типа

Ф = К ^ фГ)2 dr) или Ф = К ^ фг) dr),

л л

можно записать уравнение, аналогич­

в предположении, что тело деформи­ руется упруго усилием и С?упр = ёупр.

Следует еще раз подчеркнуть, что соотношения (1.225) и (1.229) справед­ ливы, когда при переходе к другому модулю упрочнения сохраняются по­ стоянными все составляющие деформа­ ций, а соотношения (1.226) и (1.230) — когда сохраняются постоянными все составляющие усилий. Например, при совместном действии изгиба и растяже­ ния выражение (1.229) можно исполь­ зовать для одинаковых ё[1ГПах (или ёр)

@Р

их — ,а выражение (1.230)—для

изгибе пластинок выражение (1.229) — для одинаковых е.тах (или ёгтак и

ёд max) и выражение (1.230)— для оди­

наковых Mi = Vr^ r ~ МгМ$-1- Мв(или

МГ И 2Ид) И Т. Д.

Пользуясь уравнениями (1.229) и (1.230) можно выразить остаточные де­ формации в следующем виде:

в предположении равенства харак­ терных деформаций

(1-231)

1 — GTl

и в предположении равенства усилий

Для приближенного определения на­ пряжений можно использовать уравне­ ние (1.230), подставив его в выражение

о2 = (1 — Gt2) + GT2е2 (при линейном

упрочнении Gx2). Напряжение при усилии Q, соответствующее характер­

ной деформации при модуле Gt2, опре­

деляется через напряжение ах при упруго-пластическом деформировании

с модулем GTl и напряжение аупр при упругом деформировании:

Рассмотренные выше соотношения (1.225) и (1.226) используют в качестве приближенных формул для определе­ ния нагрузок и перемещений.

Для статически определимых задач, когда нагрузки и усилия в сечении про­ порциональны, формула (1.226) для пе­ ремещений принимает вид

По этой формуле получают завышен­ ные значения нагрузок и заниженные

перемещений, можно записать

Рис. 37. Сопоставление результатов при­ ближенных решений и точных при изгибе балки

В этом случае, как показывают вы­ числения, по сравнению с точным ре­ шением значения нагрузок оказы­ ваются заниженными, а перемещения (при одинаковых нагрузках) — завы­ шенными, при этом погрешность может составлять до 10%. На рис. 37 приве­ дена зависимость, полученная точным решением для изгиба балки на двух опорах силой, приложенной посредине

при Gt2 = 0,2 (сплошная линия). Эта зависимость сопоставлена с другими, полученными по приближенным фор­ мулам (1.234) и (1.235) (для того же зна­

чения Gt2). Приближенные решения ограничивают точное сверху и снизу.

Для статически неопределимых задач упруго-пластического деформирования внешние нагрузки и усилия в сечении не пропорциональны, поэтому погреш­ ность формулы (1.235) может оказаться больше, если пластическая деформация достаточно развита. На рис. 38 сопоста­ влены зависимости нагрузок в диске с отверстием (пропорциональные квад­ рату угловой скорости) от перемеще­ ний на внутреннем контуре, получен­ ные по формулам (1.234) и (1.235), с за­ висимостями, полученными в резуль­ тате решения интегральных уравнении диска. Погрешность небольшая, при­ чем формула (1.234) дает завышенные, а формула (1.235) заниженные значе-