книги / Несущая способность и расчет деталей машин на прочность

Рис. 21. Значения радиусов нейтральной

оси в зависимости от деформации в сечении При РL—6

приближений. Значения радиусов ней­ тральной оси в зависимости от макси­ мальной деформации в сечении ётах

при pi = 6 для различных а и GT = О приведены на рис. 21.

Необходимость решения трансцен­ дентных уравнений делают определе­ ние р достаточно сложным, особенно для случая полигонального упрочне­ ния.

Удобнее для вычислений полагать радиус оси поворота постоянным и не зависящим от деформации, в этом слу­ чае условие (1.69) не соблюдается, и уравнения равновесия несколько усложняются. В качестве оси поворота сечения может быть принята любая ось, при этом при одних и тех же уси­ лиях и деформациях ётах величины ё р

и б различные и зависят от расстояния оси до центра кривизны бруса (см. рис. 20). Такой осью при чистом изгибе может быть выбрана ось, проходящая через точку на нейтральной оси бруса в области упругости. Радиус нейтраль­ ной оси в этом случае определяют из уравнения (1.69) при ср = 1.

При интегрировании уравнений рав­ новесия (1.68) необходимо знать гра­ ницы зон упругих и упруго-пластиче­ ских деформаций.

При одинаковых знаках деформаций

ёр и (0 + ёр) возможны три варианта областей пластичности: одна область со стороны малого радиуса 1 > —

— ~ ~ ~ (б + ёр) + ёр> — 1; (0~Ь ёр) X

Х(р — 1) >1, две области пластичности

В этом случае максимальная дефор­ мация возникает всегда со стороны малого радиуса бруса и составляет

ешах — (0 + ё р ) (а + Р — 1).

Расстояние зон пластичности от ней­ тральной оси можно определить, поло­ жив деформацию на границе упругой и упруго-пластической зон равной дефор­

1 + ^Р

диусу бруса, Т]т2= Р -т— j—.

При разных знаках деформаций воз­ можны четыре варианта областей пла­ стичности: одна область со стороны большого или малого радиуса бруса, две области пластичности и целиком пластическое сечение.

Рассмотрим деформирование бруса прямоугольного сечения при полиго­ нальном упрочнении. В этом случае

радиус центра поворота р = Pi — 1 и

уравнения равновесия имеют вид: при одной области пластичности

суммирование ведется по участкам, соответствующим интервалам деформа­ ции с одинаковыми параметрами диа­ граммы ап и Ьп.

В пластической области с отрицатель­ ными значениями деформаций диа­ грамма деформирования при полиго­

нальном упрочнении описывается

уравнением а = — ап + Ьпё. Приведенные выше уравнения удобно

интегрировать в деформациях. После замены переменных на основе уравне-

тегрирования получим выражения, по­ зволяющие подсчитать значения мо­ ментов и сил для различных а в зави­ симости от етах:

моментов внешних сил относительно центра тяжести выражения для Ма следует пересчитать, учитывая момент от продольной силы относительно ней­ тральной оси:

Значения интегралов J м и J N для

ММ а N (р0— р)

Это выражение преобразуем, исполь­ зуя таблицы работы [21] и формулы (1.74)

^ b R l = H an [JM ~ JN (Ро—Р)] +

интервалов деформации 1; 1,25; 1,5; 2; 3; 4 и 5 идля таких же значений ётах

ап = 1 — GT; bn = GT; формулы дл^я подсчета моментов относительно ней­ тральной оси и сил принимают вид:

+ GT^ y ; + ^ np.

Аналогичные уравнения могут быть получены и для других форм сечения, в частности, представляет интерес тра­ пециевидное сечение (близкое по форме к сечению крюка) с отношением сторон

г—= 4 и pi = 3 . При вычислении

°2

Введем относительные значения мо-

наиболее напряженном волокне бруса. Отсюда

уравнений могут быть построены гра­ фики предельных (по деформациям) значений М и IV; для кривых брусьев прямоугольного сечения при линейном упрочнении GT = 0; 0,1 и 0,2 и рх = 3; 4; 5; 6; 8 и 10; такие графики показаны на рис. 1 1 , гл. 1 1 .

Интегральные функции пластичности могут быть определены как отношения

Эти функции вычисляют при извест­ ных зависимостях между усилиями и деформациями в сечении по формулам:

Для случая полигонального упрочне­ ния могут быть использованы данные

работы [2 1].

Для вычислений необходимо знать значения функций пластичности Ф,, и Фр и моментов М в зависимости от мак­ симальной деформации ётах по пара-

N

метру Я = -=-. Такие графики для кри-

М

вого бруса прямоугольного попереч­ ного сечения при рх = 3; 4; 5; 8 и 10

и линейном упрочнении GT = 0 пока­ заны на рис. 10, 12 гл. 1 1 .

Напряжения в сечении кривых бру­ сьев

функция фе определяется по деформа­ ции

соответствующей усилиям в сечении. Графики рис. 11, а (гл. 11) могут быть использованы для получения зависи­ мости деформации от усилия в сечении (например, момента) по параметру X. Подобные графики для прямоугольного сечения показаны на рис. 14, гл. 1 1 . При известных М и X по этим графикам определяют ётах и по формуле (1.82) —

деформации в сечении. По этим данным определяют Фн, Фр, Ф и напряжения.

Выражения для напряжений, полу­ ченные выше, по структуре аналогичны

обычным выражениям сопротивления материалов. Пластическое деформиро­ вание учитывается коэффициентами Ф„, Фр и сре, зависящими от степени дефор­ мирования ётах.

У р а в н е н и я р а в н о в е с и я с т е р ж н я к р у г л о г о с е ч е ­ ния , п о д в е р ж е н н о г о с о в ­ м е с т н о м у д е й с т в и ю к р у ­ ч е н и я и р а с т я ж е н и я , могут быть записаны следующим образом:

М к

$тг2 dr\

2лтх

г

N

(1.83)

2лггт

$аг dr.

г

Используя гипотезу о сохранении прямых радиусов плоского сечения при кручении и растяжении [18] можно на­ писать уравнение для деформации кру­ чения и растяжения:

Используя уравнения (1.83) и отнс

сительные усилия Мк= М ■■и N =

к

=^N- получим уравнения равнов< aTF ’

сия в виде

N = 2ер J ФР dp;

и интегральная функция пластичности

ния уравнения (1 .86) при р0 = 0 полу­ чаем

Значения функций J упр, У'Л,У"Л при­ ведены в работе..[21]. Графики крутя­ щих моментов Л4К = ФкУтах и ИИТег‘ ральной функции пластичности, вычи­

сленных для значений Gr = 0; 0,1 и 0,2, показаны на рис. 16 и 17 гл. 11.

преобразуем уравнения (1.84) для слу­ чая полигональной аппроксимации:

М

Кушах

■- Р

+ 2 Х 5 ( g ? - gp ) ^ +

"‘л- 1

+2 6л ]

( 1.88)

Пеп - 1

M l и M l — крутящий и изгибаю­

щий моменты при сов­ местном действии кру­ чения и изгиба.

Если считать справедливой гипо­ тезу плоских сечений, то можно запи­ сать

а пластическая область близка к кругу, эти допущения более досто­ верны. Точных решений рассматривае­ мой задачи до настоящего времени не получено, поэтому приходится исполь­ зовать приближенные решения.

Рассмотрим два крайних случая де­ формирования: упругое деформирова­ ние стержня и пластическое деформи­ рование с образованием целиком пла­ стического сечения в идеально пласти­ ческом стержне.

При упругом деформировании в пре­ дельном случае, когда впервые дости­ гается предел текучести в крайнем во­ локне,

еитах

На границе упругой и пластической областей B-t = 1 и уравнение границы имеет вид

т. е. предельная кривая (при B-t = 1) ок­ ружность.

При целиком пластичном сечении

идеально пластичного стержня (GT = 0) оо; г|т = £т = 0 и уравнения рав­

новесия принимают вид

Интегрирование уравнений равно­ весия с пределами, определяемыми

ние, не требующее сложных вычис­ лений.

Следует особо подчеркнуть, что гипо­ теза плоских сечений и прямых радиу­ сов при совместном упруго-пластиче­ ском изгибе и кручении несправедлива [15], так как в процессе деформирова­ ния граница пластической области не остается окружностью. Лишь при весь­ ма большой деформации, когда упругая область становится достаточно малой,

Для удобства интегрирования эти уравнения запишем в иной форме, через

где k’ = V 1—/г2; Е [k, у j и F (k, у

—полные эллиптические интегралы пер­

Предельная кривая для моментов Мн и 7WKсоответствующих полному исчер­ панию несущей способности, вычис­ ляется по уравнениям этих моментов

М коо

где индекс оо означает, что деформации ^•тах.?итахи"Утах стремятся к беско-

изгибающий и крутящий моменты при действии только изгиба или только кру­

чения (GT = 0). Если за предельную кривую принять эллипс 2, то предель-

ные моменты окажутся несколько мень­ ше моментов, полученных при точном решении (кривая 1).

Для любых значений деформаций приближенно принимаем, что предель­ ные (по деформациям) кривые также близки к эллипсам и занимают проме­ жуточное положение между окружно­

стью М*’ -)-Л4"* = 1 и эллипсом, опре­

деляемым по уравнению (1.101). Урав­ нение эллипсов для предельных дефор-

маций eimax = У + Ymax можетбыть записано в виде

где Ми — момент только от изгиба для _ деформации г,тах = ги т м ;

Мк — момент только от кручения для деформации ё; =

Vmax'

Из уравнения (1.102) можно полу­

чить зависимость момента (изгибаю­ щего или крутящего) от деформации

МиМ.

(1.103)

У \ 2МЬ + Мк'

Интегральные функции пластичности при совместном действии изгиба и кру­ чения

М к

Ymax

легко определяются, если известна за­

висимость еитах HYmax0T ^imax’ ПРИ этом для вычислений удобно опреде­ лять функции пластичности по пара-

М” метру %= -=-. Из уравнений (1.99) и

Мк

и

(1 .100) для весьма больших деформа­

Приняв для приближенного решения А, = х, найдем

Интегральные функции пластичности можно получить из приближенной эл­ липтической зависимости (1.101) и урав­ нений (1.107). Функция пластичности

]

Зависимость параметра нагружения X от параметра деформирования х для предельного случая показана на рис. 24, из которой видно, что приближенно можно принять А = х. При весьма ма­ лых пластических деформациях это соотношение выдерживается с большей точностью, так как при ё; = 1 это со­ отношение становится точным.

где Ф„ и Фк — интегральные функции пластичности при действии только из­ гиба или только кручения для дефор­ мации

Аналогично

М.ёип

ф« = фк = ф ик*

Графики интегральной функции пла­ стичности Фик в зависимости от ё/гпах

по параметру X при упрочнении GT = 0; 0,1 и 0,2 приведены на рис. 23, гл. 11.

Напряжения в сечении стержня при совместном действии изгиба и кручения

где ф — функция пластичности, соот­ ветствующая деформации в

данной точке = У Ви + Y2Максимальное напряжение в сечении

5(та, = ф / ( | ; Н ^ ) а.а.П1)

Распределение интенсивностей на­ пряжений в сечении

В этих выражениях интегральную функцию Ф определяют для максималь­ ной деформации ё/тах, а функцию ф —

для деформации et = У етах'П2+ Ymaxp2

в различных плоскостях, то результи­ рующий момент определяют по фор­

муле Л4И= УОМя + М/у П е р е м е щ е н и я в с т е р ж ­

н я х можно определить на основании обобщения формул строительной меха­ ники для случая упруго-пластического деформирования. Для нелинейной свя­ зи между обобщенными силами и пере­ мещениями энергетические теоремы, используемые для определения обоб­ щенных перемещений, были разрабо­ таны Л. М. Качановым [10].

При расчетах удобно использовать выражение для перемещений в форме обобщенных уравнений Мора — Мак­ свелла

(1.116)

в которых выражение для жесткости се­ чения умножается на соответствующую интегральную функцию пластичности.

В относительных координатах

где М° и № — момент и усилие от еди­ ничной силы, приложенной в месте

( 1. 112)

отыскания перемещения в направлении, совпадающем с направлением переме­ щения.

Для случая изгиба и растяжения кривого бруса дополнительная работа усилий на соответствующих перемеще­ ниях составит (см. рис. 20)

*= U ep_l ? (9+e'')]A‘fS+

5

(0 -]—£р) Л4 dtp——^ брЛ4 d(p. (1.118)

фф