книги / Механика грунтов, основания и фундаменты

силой Р фундамента будет иметь место равномерное распределение напряжений по его подошве: р=Р1А, где А — площадь фундамента. В случае плоской задачи при нагружении фундамента силой Р и мо­ ментом М, действующим в этой плоскости, краевые значения кон­ тактных напряжений определятся выражением

_ Р , М

(5.7)

где W — момент сопротивления площади подошвы выделенной полосы фундамента. Распределение контактных напряжений между этими значениями будет иметь линейный характер.

Теперь уже распределение напряжений в основании ниже подо­ швы фундамента можно рассчитать, если рассматривать получен­ ную таким образом эпюру контактных напряжений как абсолютно гибкую местную нагрузку, действующую в этой плоскости.

5.3. Определение напряжений в грунтовом массиве

от действия местной нагрузки на его поверхности

Общие положения. Распределение напряжений в основании в боль­ шой мере зависит от формы фундамента в плане. Поскольку в про­ мышленном и гражданском строительстве обычно используются ленточные, прямоугольные или круглые фундаменты, основное пра­ ктическое значение имеет расчет напряжений для случаев плоской, пространственной и осесимметричной задач.

Напомним (см. § 5Д), что распределение напряжений в основа­ нии определяется методами теории упругости. Основание при этом рассматривается как упругое полупространство, бесконечно прости­ рающееся во все стороны от горизонтальной поверхности загружения. Полученные методами теории упругости напряжения соответ­ ствуют стабилизированному состоянию, т. е. такому периоду вре­ мени, когда все процессы консолидации и ползучести грунтов ос­ нования под действием приложенной нагрузки уже завершились и внешняя нагрузка оказывается полностью уравновешенной внут­ ренними силами (эффективными напряжениями в грунте). Кроме того, принимается, что зоны развития пластических деформаций, возникающие в основании у краев фундамента (вследствие краевого эффекта), незначительны и не оказывают заметного влияния на распределение напряжений в основании (см. рис. 3.6, а).

Приведем общий ход решения задач о распределении напряже­ ний в упругом полупространстве под действием местной нагрузки. В основе лежит решение задачи о действии вертикальной сосредото­ ченной силы, приложенной к поверхности упругого полупространст­ ва, полученное в 1885 г. Ж. Буссинеском. Это решение позволяет определить все компоненты напряжений и деформаций в любой точке полупространства М от действия силы Р (рис. 5.5, а). По­ скольку для практических расчетов (в частности, для определения

121

осадки фундамента) наибольшее значение имеют вертикальные сжимающие напряжения, ограничимся в качестве примера выраже­ нием для этой составляющей напряжений

где

2 л [l+(r/z)2]s/r

Теперь, используя принцип суперпозиции, легко определить зна­ чение вертикального сжимающего напряжения в точке М при дейст­ вии нескольких сосредоточенных сил, приложенных на поверхности (рис. 5.5, б):

где Ki определяется по формуле (5.8) в зависимости от соотношения rjz, причем координата z постоянна для данной точки М.

Представляет также интерес решение для вертикальной сосредо­ точенной силы Р в условиях плоской задачи (рис. 5.5, в), полученное

Фламаном в 1892 г. в виде

122

с некоторым приближением определить напряжения в любой точке основания при любой форме фундамента и заданном законе радпределения нагрузки. Поясним это на примере пространственной задачи.

Пусть на поверхности полупространства в пределах сложного контура действует некоторая распределенная нагрузка (рис. 5.6). Разбивая контур загружения на элементарные прямоугольники, за­ меним в пределах каждого прямоугольника распределенную нагруз­ ку соответствующей силой Р{=р(х, у) АхАу.

Очевидно, что для элементов, прилегающих к контуру нагруз­

в точке М, находящейся на глубине z от поверхности нагружения, определится по формуле (5.8), где г2=х2+у2. Очевидно, что для определения полного напряжения <?z от действия всех элементар-

123

ных сил необходимо вьшолнить суммирование по площади загружения.

Аналогичным образом, используя выражения (5.10), можно полу­ чить значения всех компонент напряжений для случая плоской задачи.

Точность решения зависит от размеров элементарных прямо­ угольников, на которые разбивается загруженный участок, и повы­ шается с увеличением z. Если обозначить длинную сторону прямо­ угольника сетки разбиения Ду, то, как отмечает Н. А. Цытович, на глубине z = 2 Ay значение а2будет отличаться от полученного стро­ гим решением на 6 %, а на глубине z=4Ay — уже на 2%.

Плоская задача. Действие равномерно распределенной нагрузки. Схема для расчета напряжений в основании в случае плоской задачи при действии равномерно распределенной нагрузки интенсивностью р показана на рис. 5.7, а. Для этого случая Г. В. Колосовым получены следующие точные выражения для определения компо­ нент напряжений в любой точке упругого полупространства:

(5.11)

(x2+z2- a 2) 2+4a2z2‘

Если соотношения геометрических характеристик а, х, z в этих формулах представить в виде коэффициентов влияния К, то можно записать:

Коэффициенты влияния Kz, Кх, Kxz зависят от безразмерных параметров xjb и zjb, где х и z — координаты точки, в которой определяются напряжения, Ь=2а — ширина полосы загружения. Значения этих коэффициентов приведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1. Значениякоэффициентов влияния Kz, Кх, КХ1

124

Зная ширину фундамента Ь и задавшись координатами точки, в которой требуется определить напряжения, можно вычислить безразмерные параметры для этой точки и по данным таблицы определить соответствующие коэффициенты влияния. Затем при известной величине интенсивности нагрузки р по формулам (5.12) нетрудно найти значения всех компонент напряжений в заданной точке.

Рассчитанные таким образом величины представлены на рис. 5.8, а — в в виде линий равных напряжений (изолиний напряжений). Для напряжений а2показаны лишь изолинии слева от вертикальной оси, справа будет иметь место симметричное положение линий равных напряжений. Видно,, что по мере удаления от поверхности загружения интенсивность напряжений уменьшается и стремится к нулю. Вертикальные сжимающие напряжения ах распространяют­ ся преимущественно в глубь основания, горизонтальные сжима­ ющие напряжения ах — в стороны от полосы загружения. Касатель­ ные напряжения концентрируются по преимуществу под краями загруженной полосы.

В расчетах осадок широко используется эпюра напряжений az, построенная по вертикальной оси, проходящей через центр площа­ ди фундамента. Такая эпюра показана справа от оси z. Если рассечь соответствующие изолинии напряжений вертикальной или горизон­ тальной плоскостью, то легко построить эпюры напряжений, дейст­ вующих в этих сечениях.

Аналогичные решения получены и для других видов нагрузок (например, треугольной, параболической и т. д.). Соответствующие коэффициенты влияния приведены в табличной форме в различных источниках (в частности, в учебниках Н. А. Цытовича по механике грунтов). Используя эти таблицы, можно самую сложную форму йагрузки представить как комбинацию простейших эпюр, рассчи­ тать в требуемой точке напряжения от каждой эпюры и, используя принцип суперпозиции, определить в этой точке суммарное напря­ жение от полной нагрузки.

В некоторых случаях при анализе напряженного состояния ос-

125

Рис. 5.8. Изолинии напряжений для случая плоской задачи и эпюра вертикальных сжимающих напряжений по оси полосы загружения

нования оказывается удобнее пользоваться главными напряжени­ ями. Тогда значения главных напряжений в любой точке упругого полупространства под действием полосовой равномерно распреде­ ленной нагрузки можно определить по формулам И. X. Митчела

7Г

где а — угол видим ости, образованный лучами, выходящими из данной точки к краям загруженной полосы (рис. 5.7, б). Эта фор­ мула позволяет не только определить значения главных напряже­ ний, но и их ориентацию по отношению к осям х а z. Максимальное напряжение действует по направлению биссектрисы угла видимо­ сти в данной точке, минимальное аъ — в перпендикулярном ему направлении. На рис. 5.7, б для иллюстрации построены эллипсы напряжений, полуоси которых соответствуют значениям и напра­ влению главных напряжений.

Пространственная задача. Действие равномерно распределенной нагрузки. Условия пространственного напряженного состояния в осно­ вании возникают тогда, когда по его поверхности действует местная нагрузка,распределеннаяпо площадиквадрата,прямоугольника,круга, эллипсаи т. п. В этом случаенеизвестными являются все компоненты

126

угольника, и аю, действующие по вертикали, проходящей через его центр (рис. 5.9).

Используя введенные выше понятия коэффициентов влияния, можно записать:

где Kzc и Кю — соответственно коэффициенты влияния для угловых и центральных напряжений, зависящие от соотношения сторон за­ груженного прямоугольника и относительной глубины точки, в ко­ торой определяются напряжения.

Между значениями а1Си аю имеется определенное соотношение. Можно показать, что напряжения в точках, расположенных на вертикали, проходящей через центр площади загружения, равны учетверенным значениям угловых напряжений, действующих на удвоенной глубине, т. е.

Тогда оказывается удобным выразить формулы (5.14) через

Коэффициент а зависит от безразмерных параметров т и п . Параметр n=ljb для обоих случаев является одинаковым. Следует помнить, что при определении углового напряжения а2Спараметр m=z/b; при определении напряжения под центром прямоугольника az0 параметр m=2zjb. Значения коэффициентов а приведены в табл. 5.2. Здесь же даны значения коэффициента а для определённа сжи­ мающих напряжений под центром нагрузки, равномерно распреде­

127

Приведенные выражения позволяют определить сжимающие напряжения в основании не только под центром или углом прямс угольной площадки загружения, но и по вертикали, проходящей через любую точку поверхности. Для этого применяется метод угловых точек. Здесь возможны три варианта решения (рис. 5.10).

Пусть вертикаль проходит через точку М, лежащую на контуре прямоугольника. Разделив этот прямоугольник на два так, чтобы точка М являлась угловой для каждого из них, можно представить напряжения аш как сумму угловых напряжений I и II прямоуголь­ ников, т. е.

Соответственно значения напряжения сг£с и с^с определяются по указанным выше правилам. Коэффициенты от и or находятся из табл. 5.2 по значениям безразмерных параметров Ijjb^ zjbj и 1ц1Ьп , Фп> где /р bj, 1и , Ьц — размеры сторон соответствующих прямо­ угольников. При этом всегда принимается, что b^l.

Если точка М лежит внутри контура прямоугольника, то его

Рис. 5.10. Схема для расчета напряженийме­ тодомугловых точек

128

следует разделить на четыре части так, чтооы эта точка являлась

угловой для каждого составляющего прямоугольника. Тогда

Наконец, если точка М лежит вне контура загруженного прямо­ угольника, то его нужно достроить так, чтобы эта точка вновь оказалась угловой. Тогда, полагая, что напряжения в точке М возни­ кают от действия нагрузки распределенной по площади прямоуголь­ ников I и II, необходимо вычесть напряжения от действия той же фиктивной нагрузки, распределенной по площади прямоугольников III и IV, т. е. действительное напряжение определится выражением

(5.91)

Естественно, что и в этих случаях правила определения угловых напряжений и соответствующих им значений коэффициентов а бу­ дут те же, что и приведенные для первого варианта.

Методом угловых точек обычно пользуются для расчетов вза­ имного влияния фундаментов, расположенных в непосредственной „близости друг от друга. \ ■* Влияние формы и площади фундамента в плане. Пользуясь фор­

мулой (5.16) и данными табл. 5.2, можно построить эпюры нор­ мальных напряжений az по вертикальной оси, проходящей через центр прямоугольного фунда­ мента. В качестве примера на рис. 5.11 в относительных ко­ ординатах построены такие эпюры для случаев: 1 — квад­ ратного фундамента при 1=Ъ\ 2 — ленточного фундамента

шириной Ь; 3 — то же, шириной 2Ь. Легко заме­ тить, что в случае пространст­ венной задачи (кривая 2) на­ пряжения с глубиной затуха­ ют значительно быстрее, чем для плоской задачи (кривая 2). Увеличение ширины, а сле­ довательно, и площади фун­ дамента (кривая 3) приводит к еще более медленному зату­ ханию напряжений с глуби­ ной.

Это обстоятельство легко объяснить исходя из принци­

129

ных фундаментов, установленных вплотную друг к другу, можно с помощью метода угловых точек учесть дополнительное влияние нагрузки, действующей на соседние фундаменты.

Указанная закономерность имеет важное практическое значение. Если, например, в основании на некоторой глубине залегает слабый прослоек (ил на рис. 5.11), то можно подобрать такую форму и площадь фундамента, чтобы напряжения на кровле этого про­ слойка были меньше его несущей способности. В противном случае возможны чрезмерные осадки из-за выдавливания грунта слабого прослойка в стороны от оси фундамента.

Влияние неоднородности напластования грунтов. Приведенные выше решения справедливы для случая, когда основание сложено грунтами, близкими по деформационным показателям. Если же на некоторой глубине залегают существенно более жесткие (например, скальные) грунты, возникает концентрация напряжений аг по оси фундамента, причем эффект концентрации напряжений тем больше, чем меньше относительная глубина залегания кровли этого слоя грунтов. Если же подстилающий слой грунта обладает значительно большей сжимаемостью, чем несущий, напротив, отмечается неко­ торое рассеивание (деконцентрация) напряжений <гг.

На рис. 5.12 в качестве примера приведены также в относитель­ ных координатах эпюры напряжений а2по оси фундаментов.

5.4. Определение напряжений г массиве грунтов от действия собственного веса

. Как указывалось в § 5.1, напряжения, возникающие в массиве

грунтов от действия сооружения, накладываются на поле началь-

130