книги / Метод эффективного поля в механике композитных материалов
..pdfI l l
(2.10.19)
Здесь a*(s) —^представления скалярных функций аД/*). Поскольку множителю (—5) в пространстве преобразований Меллина соответствует оператор D —rdl dr в Г-пространстве, из (2.10.15) и (2.10.19) получаем следующее выражение для тензора А(г,п):
А{г,п) = ^ Т х{п,П)аХг). |
(2.10.20) |
Здесь дифференциальные операторы Тх(п,П) определяют |
|
ся правыми частями формул (2.10.15), |
если в них параметр |
(—5) заменить оператором D. |
|
Запишем развернутое выражение для тензора А(г,п): |
|
А(г,п) = [0 + 0 (и)£>](4 + D) ах(г) + [0 |
+ 0 (n)D] а 2 (г) + |
+{ 0 + 2 0 + [0 (и) + 0 (п) + 4 0 («)]/)+ 0 {n)D(D- 2)} х
х (а3(г) - а, (г)) + [Р 3 + R*(и,/и)]а4(г) + [р 5 + R5(и,»»)/)]а5 (г)
(2.10.21)
и перейдем к определению входящих в него пяти скалярных функций аД г). Умножая уравнение (2.10.11) на тензор 0 справа, получим соотношение, в которое входят только фун
кции ах,а 2,аг:
4 + К ,(С Ч )*= - К ,С ;, |
(2.10.22) |
Ад = А 0 = ссхТх + а 2Г2 агТъ, |
(2.10.23) |
с ; = с 1'0 = к;р2 + 2mx(Pl - \ Р 2) + ГХР\ (2.10.24)
С учетом этих выражений и формул (2.10.15) находим, что тензор Ав(г,п) имеет вид
Ae(r,ri) = (0+0(n)D )(4 + D)ax(r) + (0 + 0 (n )D )a 2(r) +
112
-{tf2+2& + [0*(#i) + ^ ( и) + 4 ^ (и )]/)+ tf{n )D {D -2)} x
x( a z (0 - a x{r)), |
(2.10.25) |
|
а произведение C Ae B (2 1Q m |
|
|
C'Ae ~ 2 $ (r)g + |
+ |
(2.10.26) |
где обозначено |
|
|
Sx= 2mx[(2 + |
+2аг], |
(2.10.27) |
S2 =l][(2 + D )a2 + (4 + D)a3'\+2mxD(a3ax) , |
||
S* = hD{4 + D) аг+ 2fixD{ a3- a x), |
|
|
Л. |
]) > Д = 2mxD(Dax+ 4 a 3), |
|
S4 = 2/n,Z)(a2 + a 3 |
||
Вид функций i?7 и S8 для дальнейшего не существенен. Подставляя теперь (2.10.24) и (2.10.26) в (2.10.22) и учиты
вая соотношения (2.10.14), (2.10.16), (2.10.17), придем к равен ству, обе части которого являются линейными комбинациями
тензоров Тх,Т2 ,ТЪ. Приравнивая коэффициенты при тензорах
АЛ.
ТХ,Т3 справа и слева, получим соотношения, связывающие
функции ах и а] : |
|
/ио5 (4 -5 2)(4 -5)а*+ Ф *= -2 j(2 + j)m * (j)r |
(2.10.28) |
/ис5(4 - s2 )[а3 - (1 - ае0) « ;] - (1 - аг,)Ф; = О, |
|
6 ; =1[5(2 + 5)(251*+ 55* ) - 4 ( 1 - J)5 ;], |
(2.10.29) |
ф ; = 2=5 [(2 + s)(2s ;+ s ;) ~ 2(1 - s)§;].
Здесь S*(s) - преобразование Меллина функций Sx(г) ви да (2.10.27).'
113
Заменив в этих соотношениях преобразование Меллина функций их оригиналами, а множитель (—$) оператором D, получим систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка для определения функций
а, (г ) и аг(Г). Если модули упругости включения — кусочно гладкие функции г с равными нулю производными при г=0, то граничные условия для полученной системы имеют вид, аналогичный (2.8.27):
DaJ= D 2a] = 0, |
у = 1,3 |
при г = 0, (2.10.30) |
ах,а3—> 0 при |
г —>оо, |
|
Для получения уравнения, которому удовлетворяет функ
ция а2(г), фигурирующая в (2.10.21) и (2.10.25), умножим обе
части (2.10.22) справа на тензор & и учтем следующие соот ношения:
с ;# =2к;рг +2i;p\ а;& = o f -з р у р м ,
(C 'A, Y <? = §;(*)# +s;„(s)(? t ( w ( 2 - s^ ( j ) f 4,
S,(r) = [2*, W +(*, (r) - ™i(r))Djfl(r), (2.10.31)
Sl0(r) = 2m,(r)D/)(r),/T(s) = 2a; (s)+(4 - j)« ;(,).
Отсюда и из (2.10.14)-(2.10.17) следует, что левые и правые части равенства
А'в& + К t{p A oy # = - К ЯС ';# |
(2.10.32) |
л
пропорциональны тензору Т2. Приравнивая коэффициенты при этом тензоре слева и справа, получим
т Л 2 “ s)F is) + (1- х 0)[д$9* (s) + (5 - |
1)5,*0 (5)] = |
= - 2 (1 - ® в)а*;(5). |
(2.10.33) |
Переходя здесь к /"-представлениям и учитывая, что в силу (2.10.31)
р(г) = 2а2 (г) + (4 +D)a3(r), |
(2.10.34) |
получим дифференциальное уравнение второго порядка для функции Р(г) со следующими граничными условиями:
114
Dp = 0 при г = 0; р{г) —» О при г —» оо. (2.10.35) Осталось вывести дифференциальное уравнение для функ
ций а4( г ) и а5(Г) в (2.10.21). Введем для этой цели тензор
Ая(г,п) следующим образом:
Ал(г,п) = А {г,п )-А в{г,п) = (Р 3 + R*D)cc4+(P 5 + R5D)a5.
(2.10.36) Вычитая из обеих частей соотношения (2.10.11) обе части
(2.10.22), придем к уравнению, которому удовлетворяет преоб
разование Меллина тензора Ал(г,п)
4М)+кдсЧ)*М)=-К,С(5,Ц). (2.10.37)
Здесь обозначено: |
4S]5P5, |
|
с\ |
(2.10.38) |
|
С\ = /,Р3+4//,Р5+пхР\ |
Sn = [2кх+(&, -щ )D\cC<\> |
|
—2//,с/5, *^1з—1\(2 + D)OC4, У14 = ЪщОа4, Si5 = 2juxDa, Отсюда и из соотношений (2.10.14)-(2.10.17) следует, что
правая и левая части (2.10.37) являются линейными комбина-
АА
циями тензоров Т4 и 7^*. Приравнивая коэффициенты при каждом из этих тензоров, найдем
mos(2 ~ s)a 4 +(1-ае0)[л5* +(s-l)£,*4] = -(l-£ e o)s/,*(s),
4ju0s(2 - s)a5+ 2^5IS*2 + (s - 1)S*5j = -8s//* (s ). (2.10.39)
Переходя в этих соотношениях к г- представлениям, полу
чим два дифференциальных уравнения для функций а4(г) и
as(r). Граничные условия для этих уравнений аналогичны (2.10.35):
Da4=Da5=0 при г - 0, а 4,а 5 —» 0 при г—»оо. (2.10.40)
В заключение рассмотрим задачу о температурных напря жениях в среде с цилиндрически симметричной неоднородно стью в постоянном температурном поле Г. Будем по-прежне му считать, что как модули упругости включения, так и коэф
115
фициент линейного расширения а являются кусочно-гладки ми функциями г , причем для трансверсально-изотропного материала тензор а имеет вид
(2.10.41) где ав - коэффициент температурного расширения в плоскос
ти, ортогональной оси включения, ат- та же величина в на правлении оси.
Тензор температурных напряжений ст(х) в среде с неод нородностью удовлетворяет уравнению (2.1.17) при <т(х)=0. Введем тензоры упругой деформации ееТ, полной деформации
ети возмущения деформации е\, связанного с наличием не однородности
£ет= С~'(т, ет= еег + аТ, е\ = етаТ. (2.10.42)
Тем же путем, что и в п.2.9, можно показать, что тензор е'т
удовлетворяет следующему уравнению: |
|
||
4(3с) + J K (X -x')C'(x')s'T(x')dx' = |
(2.10.43) |
||
= J К (х - |
х ')С (х )« ' (х')сбс' Т, |
|
|
, _ |
_ |
Л _ |
|
где а (х) = а(х)-а°, а ядро К ( х ) определено в (2.10.2). Да лее будем считать температуру Т равной единице.
Осуществляя преобразование Меллина от обеих частей уравнения (2.10.43), найдем
4 ’ ($, п) + K f (С 14 |
)*(-5,п) = К s(CalY (5, п), (2.10.44) |
Са1= (2ка1д + 1аы)в+(21а]в+па1т)т®ш. |
|
Здесь оператор |
определен ранее соотношением |
(2.10.12). Действие этого оператора на тензоры в,т®т и п®п определяются формулами
Ks9= |
Н(п,s) , H (n,s)=e-sn® n, (2.10.45) |
|
щ= (2 -5) |
116
К ,(и ® я ) = -^ |
^ Я (и,5), К_(/я<8>/я) = 0. |
mos(2~s)
Эти соотношения показывают, что решения уравнений (2.10.43) и (2.10.4) можно искать в виде
exj (s, п) = (в - sn <S>ri)J?T(5), е\ (г, п) = ( в+ п® nD)fiT (г),
(2.10.46) где Рт(г) - скалярная функция с преобразованием Меллина
/TT(s).
Подставляя (2.10.46) в (2.10.44) и учитывая (2.10.45), при дем к уравнению для функции fi*T(s):
(Ло+ 2jUa)s(2 - s)/TT(s) + S’ (5) = sy (s), |
(2.10.47) |
ST(r) = [D [2(2 + D)(kx(r) - щ (r) )+ 2 щ (r)] - |
(2.10.48) |
-2 (D +1)mx(r)D}pT(r), y(r) = 2aw(r)k(r) + aXm(r)l(r).
Переходя в (2.10.47) к г -представлению, получим обыкно
венное дифференциальное уравнение для функции Рт(г). Граничные условия для этого уравнения имеют вид
Df$T= 0 при г = О, Рт—»0при г —>оо. (2.10.49)
§2.11. Цилиндрическое слоистое включение
Пусть модули упругости и коэффициенты температурного расширения цилиндрического включения являются кусочно
постоянными функциями с разрывами в точках г = а(,
/= 1 , 2 , 0 < а, <а2 <...<aN. В этом случае включение сос
тоит из центрального стержня и (N —1 )-го цилиндрического слоя с постоянными термоупругими характеристиками.
В области постоянства свойств (внутри слоев) функции
cCj(r) (/'=1,3,4,5), Р{г) и /Зт(г) удовлетворяют дифференци
альным уравнениям
117
Z)(2-£>)(2 + Z>)(4 + D )a ; (r) = 0, у = 1,3,
D(2 + D)aj {r) = 0, 7 = 4,5, |
(2.11.1) |
Z>(2 + D)/?(r) = 0, D(2+D)PT(r) = 0,
которые следуют из (2.10.28), (2.10.34), (2.10.39) и (2.10.48).
Общее решение этих уравнений в интервалах а;_, < г < яг,
/ = 1,2,...,#+1 (ао = 0, а„+1 = оо) имеет |
вид |
а, = Y; + у у + Y y 2Y'r-*, а 3 = Г5 + Y'r2 |
+ У'Г2+ Y’r^, |
P=Yi + rwr~2, а4 =У уУ ?2Г 2, а5=Гхъ+ГХ4Г 2, рт= ГХ5+ГХ6г~2,
(2.11.2)
где Yj- произвольные постоянные. Таким образом, внутри
каждого /-го слоя решение задачи определяется с точностью до 16 постоянных.
Рассмотрим разрывы функций а-(г), j= 1,3,4,5, /?(/*) и
/Зт( г ) и их производных на 1раницах слоев при г = аг Тем же путем, что и п.2.9, можно показать справедливость соотноше
ний {[<р\ = ф х+ 0 ) - <р{ах- 0)):
[«Д = 0, |
7 = 1,3,4,5; [Д1, = \fiT\ =0, [£>«Д = 0, у = 1,3, |
[m l)2»,], |
= -2[m\ -4[/w a,]( -2[w Z )a,]I - 4 [/ий3], -4 [/и1)оД , |
[mD2ax\ = 12[/и], + 24[/иа, ], +16[mDax], + 24[wm3 ], +12[mDa3]x,
[{k + m)D2a2l = -2[ш], - 4 [ т а 1], -4 [w Z )a 1], - -4 [/и а 3 ]( - 2[(2* + m)Da3],.,
[(Л+/и)£)3аз],= 12[w]i+24[/wDa,]I + 24[iwa3]1+ 16[(&+/и)£>а3],, [(* + « ) О Д = -2 [* (1 + /Щ , [(k+m)Da4l= - [ / ] , -2[к а4]х, [//Da5],= -[//(2 + a 5)],., [(к+т)Орт\=[у\-2[крт\ , i=\,2,...,N.
Укажем теперь алгоритм вычисления всего массива посто янных Yj, определяющих решение задачи в (2.11.2). Введем
118
N + 1 шестнадцатимерных векторов У , компонентами кото
рых являются постоянные Y', и N + 1 векторов х' (Г) с ком понентами
Х [= а х, X\=Dax, X\=D2ax, X\=D3ax, Х'5= а 3, X'6=D a3,
X ’ = D2a3, X't=D 3a3, X I9 = P,X[0=DP, |
*J,= a4, X'l2=D a4, |
||
X{3 = a5, X\4 = Das , |
X[5=PT,X\6 = DJ3T. |
(2.11.4) |
|
Здесь a ;= a ; (r), |
p=p(r), pT=pT(r), |
a,_,<r<ai, i'=l,2,..., |
|
...,Я+1.
В силу (2.11.2) векторы Y' и X связаны соотношениями
X (г) = H(r)Y‘, Г = Я "1(г)Х (г), |
(2.11.5) |
H(j) = h,{r)®hx{r)®h2{r)®h2{r)®h2(г) ®h2(r),
1 |
г2 |
Г 2 |
г-4 |
0 |
2г2 |
-2 Г 2 |
-4г~4 |
0 |
4г2 |
4г~2 |
16У4 |
0 |
8г2 |
- 8 г 2 |
-6 4 У 4 |
II
1 |
г -2 |
(2.11.6) |
0 - 2 Г 2 |
||
Отсюда следует, что значения вектора X' (/*) на левом (/•=ai._1+0) и правом (г= а -0) концах /-го интервала связаны между собой соотношениями, аналогичными (2.9.16)
X(ai) = RX(ai^), R =H(ai)H~'(ai_]), |
(2.11.7) |
где матрица Я (16 х 16) определена в (2.11.6). |
|
На границе / -го и (/+1)-го слоев в точке |
г = а{ в силу |
(2.11.3) имеет место равенство |
|
Xi+'(ai) = F + Г Т (а ,), |
(2.11.8) |
где вид вектора F‘ и матрицы Г'восстанавливается из (2.11.3). Явные выражения для этих объектов приведены в Приложе нии П4.2.
119
Из (2.11.7) и (2.11.8) следует, что вектор решения Х '+|(а.)
на (/+ 1)-м интервале выражается через вектор решения на
первом интервале Х '(а ,) по формулам, аналогичным (2.9.18)
X M(ai) = gi +GiX\al), i = l,2,...,N, G* = \ {Q \ g ' = F \ k=1
\Fj , /=2,3, ,N , Qk=YkRk, (2.11.9)
у =1V k = \
где R1 - единичная матрица.
Из ограниченности решения при г=0 и стремления его к
нулю |
при |
г —>оо |
вытекает, |
что компоненты |
векторов YJ |
и |
||
YjN+\ |
определяющие решение на первом и (N +1)-M интерва |
|||||||
лах, должны удовлетворять условиям: |
|
|
|
|||||
|
Yj= 0, у = 3,4,7,8,10,12,14,16, |
|
(2.11.10) |
|
||||
|
Y N+l = 0, |
7 = 1,2,5,6,9,11,13,15. |
|
|
|
|||
Отсюда тем же путем, что и в § 2.9, можно получить урав |
||||||||
нение для определения вектора Х 1(а{) |
|
|
|
|||||
|
Xх=M Z, B Z = f, |
|
|
(2.11.11) |
|
|||
где Z - неизвестный восьмимерный вектор, |
а матрицы |
М |
||||||
(16 х 8), В (8 х 8) и вектор / |
определяются соотношениями |
|
||||||
|
М = т х® т х® т 2 ® т 2, L - /, ® /, ® /2 <8>/2 0 / 2 ® / 2 , |
|
||||||
|
B = LGNM , f |
= - L g N, |
|
(2.11.12) |
|
|||
|
1 |
0 |
1 |
0 |
6 |
1 |
°|| |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|||
|
0 2 , т2 = 0 1 |
-2 8 |
0 |
мГ |
ч . |
|||
|
0 |
4 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
120
где матрица GN и вектор определены в (2.11.9).
Определив вектор Х у(ах) из решения системы (2.11.11) с помощью соотношений (2.11.9), найдем затем все векторы
Х 1+|(аД / = 1,2,3,...,ЛГ, а из (2.11.5) - массив постоянных Y‘,
которые определяют решение задачи внутри каждого слоя.