Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Расчет стержней и стержневых систем

.pdf
Скачиваний:
806
Добавлен:
12.03.2015
Размер:
3.89 Mб
Скачать

81

Рис. 2.13 (продолжение)

Рис. 2.14

82

2.3. Расчет на прочность балки постоянного поперечного сечения при плоском изгибе

2.3.1. Определение перемещений при плоском изгибе

Рассматриваются случаи малых деформаций при совпадении плоскости действия изгибающих моментов с главной плоскостью балки. Ось балки до деформации - прямая; при изгибе, не удлиняясь, искривляется по кривой v = v(x) (здесь v - перемещение в направлении оси y), определяющей упругую линию балки. Прогиб v в данном сечении определяется как перемещение

центра тяжести сечения по нормали

к оси балки. Угол поворота сечения

балки θ определяется как угол меж-

ду касательной, проведенной к изо-

гнутой оси балки в этом сечении, и

недеформированной (прямой) осью

балки. Упругая линия балки, исходя из ее физического смысла, представляется непрерывной и плавной кри-

вой, т.е. дифференцируемой кривой во всех своих точках. Первая производная ее уравнения по x равна тангенсу угла наклона поперечных сечений, но так как

практически углы поворота малы, то можно считать tgθ = θ = dv dx .

При деформациях балки в пределах действия закона Гука (рассматриваются только упругие деформации балки), величина кривизны упругой линии

балки определяется по формуле

1ρ = M z EIz .

На рис. 2.14 показаны прогиб v и угол поворота θ сечения с координатой x; ρ - радиус кривизны участка dx балки.

Дифференциальное уравнение упругой линии балки при малых прогибах и учете лишь деформаций от изгибающего момента (при правой системе координат и направлении оси y вверх):

 

 

d 2v(x)

 

 

 

M z

 

 

 

 

dx2

 

 

 

=

.

é

æ dv(x)ö2

ù 3

2

EI z

 

 

ê1

+ ç

 

 

÷

ú

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ê

è

 

dx ø

ú

 

 

 

 

ë

 

 

 

 

 

û

 

 

 

 

83

В большинстве инженерных задач из-за малости d2v по сравнению с dx2

единицей пользуются приближенным уравнением

EIz d2v = Mz , dx2

которое называют основным дифференциальным уравнением изогнутой оси (упругой линии) балки.

Положительными считаются: θ при повороте сечения против хода часовой стрелки; v - при прогибе вверх.

Дифференциальные зависимости для прогибов, углов поворота, изгибающих моментов, поперечных сил и интенсивности распределенной нагрузки в сечении с координатой x определяются по формулам:

 

 

 

 

θ = dv ;

 

 

EIz

dq

= Mz

= EIz

d 2v

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dM

z

 

d

æ

 

d2vö

 

 

d2 M

z

 

dQy

 

 

 

d2

æ

d2vö

 

= Qy =

 

ç EIz

 

 

÷

;

 

 

 

=

 

= q =

 

ç EIz

 

÷ .

dx

 

 

dx

2

 

dx2

 

dx

dx2

dx2

 

 

dx è

 

ø

 

 

 

 

 

 

 

è

ø

Аналитический метод определения перемещений точек оси балки состоит в последовательном интегрировании дифференциального уравнения изогнутой оси:

EIzθ = ò Mzdx + C ; EIzv = òò Mzdx2 + Cx + D .

Здесь C и D - постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий. В общем случае при n участках нагружения будет 2n постоянных интегрирования.

Для упрощения задачи определения констант интегрирования при многих участках нагружения используется прием Клёбша, позволяющий добиться равенства констант интегрирования на всех участках и свести задачу к определению лишь двух из них.

Прием Клёбша включает в себя:

1)отсчет абсцисс всех участков должен вестись от одного начала координат - крайней левой (или правой) точки оси балки, т.е. для всей балки вводиться единая глобальная система координат;

2)при записи уравнений равновесия всегда должна использоваться часть балки с началом координат;

3)выражение изгибающего момента от сосредоточенной пары M * запи-

сывается в виде M *(x a)0 , где a – абсцисса сечения, в котором приложена пара M *;

4) если при последовательном рассмотрении участков балки в порядке,

84

соответствующем возрастанию координаты x, обнаруживается, что появляющаяся на каком-либо участке распределенная нагрузка не продолжается на последующих участках, то ее следует искусственно продолжить до конца балки, а для исключения действия добавленной нагрузки приложить нагрузку той же интенсивности, но противоположного направления;

5) интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки должно вестись без раскрытия скобок.

В результате использования правил Клебша структура выражения для изгибающего момента должна оказаться следующей. Все слагаемые предыдущего участка должны сохраняться на последующем, а дополнительные слагаемые последующего участка должны обращаться в нуль на границе с предыдущим участком. При проверке следует контролировать получение такой структуры выражений для моментов, углов поворота и прогибов.

2.3.2. Определение напряжений при изгибе

Предполагается, что плоскость действия изгибающего момента проходит через главную ось поперечного сечения балки. Нейтральная линия, проходящая через центр тяжести сечения, разделяет зоны сжатых и растянутых волокон. Нормальные напряжения в поперечном сечении балки пропорциональны расстоянию от нейтральной оси до точки, в которой они определяются. Если при правой системе координат ось x направлена вдоль оси балки, ось z совмещена с нейтральной линией, а ось y перпендикулярна ей и направлена вверх в плоскости поперечного сечения (т.е. оси y и z являются главными центральными осями поперечного сечения), то нормальные напряжения в волокнах, удаленных на расстояние y от нейтральной линии, записываются в виде

σx = − Mz y ,

Iz

где Mz – значение изгибающего момента в данном поперечном сечение, взятого с учетом его знака (из эпюры моментов); Iz – момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси (совмещенной с осью z); y – координата волокна, в котором определяются напряжения. Отметим, что нормальные напряжения в сжатой зоне отрицательны, а в зоне растянутых волокон

– положительны.

По ширине сечения нормальные напряжения постоянны. Распределение нормальных напряжений по высоте сечения характеризуется эпюрой σx , пока-

занной на рис. 2.15. Наибольшие напряжения возникают в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси поперечного сечения.

85

y

Э п. σx

 

-

z

y

 

 

+

 

Mz > 0

 

Рис. 2.15

2.3.3. Касательные напряжения при изгибе

Касательные напряжения, возникающие в волокнах поперечного сечения балки с координатой y, определяются по формуле

τxy = − Qy Szотс ,

Iz b

где Qy − поперечная сила в сечении;

Szотс − статический момент относительно оси z отсеченной координатой y части

площади поперечного сечения балки (т.е. расположенной выше (ниже) волокна с координатой y); b − ширина сечения на уровне рассматриваемых волокон

(рис. 2.16).

Распределение касательных напряжений по высоте сечения зависит от его геометрической формы.

Эпюра касательных напряжений для прямоугольного сечения показана на рис. 2.16. Наибольшее касательное напряжение при y = 0:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

τmax =

3Qy

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2bh

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эпюра касательных напряжений для двутаврового сечения показана на

 

 

 

 

 

Эпюра τ

 

 

Эпюра τ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

τmax

 

 

δc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

τmax

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

Рис. 2.16

рис. 2.16. Наибольшее касательное напряжение при y = 0

 

Q

Sотс

 

τmax =

y

z max

 

,

Iz δc

 

 

где Szотсmax − статический момент полусечения.

86

2.3.4. Подбор поперечного сечения балки и проверка прочности при изгибе

При расчете балок на изгиб исходят из условия прочности по нормальным напряжениям

 

s

x

 

max

=

 

M z (x)

 

max

£ [s],

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где M z (x)max - абсолютное значение максимального изгибающего момента (выбранное из эпюры изгибающих моментов); Wz – момент сопротивления сечения относительно нейтральной линии (оси z); [σ] – допускаемое нормальное напряжение.

Подбор поперечного сечения производится по наиболее напряженному сечению, в котором изгибающий момент достигает максимальной величины. Из условия прочности определяется требуемый момент сопротивления:

W ³ M z (x)max .

z

[s]

 

По требуемому моменту сопротивления определяются размеры поперечного сечения балки. Если балка выполняется из прокатного профиля, необходимый номер профиля подбирается по таблицам сортамента прокатных сталей.

Проверка по касательным напряжениям производится по формуле

tmax =

 

Qy (x)

 

max

Szотсmax

£ [t].

 

 

 

 

 

 

 

Izb

 

 

 

 

 

 

 

2.3.5. Пример расчета балки при плоском изгибе

Задача. Для заданной балки, представленной на рис. 2.17, построить:

1)эпюры перерезывающих сил, изгибающих моментов, углов наклона касательной и прогибов;

2)подобрать двутавровое сечение по максимальным напряжениям с последующей проверкой на максимальные касательные напряжения;

3)рассчитать распределение нормальных и касательных напряжений в произвольно выбранном сечении, где Qy ¹ 0, M z ¹ 0 ;

4)произвести проверку на максимальный прогиб;

5)подобрать прямоугольное сечение с заданным отношением сторон по максимальным напряжениям с последующей проверкой на максимальные касательные напряжения;

6)подобрать полое прямоугольное сечение с заданным отношением размеров и квадратное сечение, изгибаемое относительно оси, проходящей через

87

диагональ, по нормальным напряжениям и сравнить между собой все получающиеся балки по весу.

 

P =15 кН

M* = 50 кНм

 

q = 30 кH/м

A

B

q = 30 кH/м

 

 

l = 2м

l2= 4м

l = 3м

 

1

 

3

Рис. 2.17

Материал балки – Ст.3; допускаемые напряжения [σ]=160 МПа, [τ]=100 МПа. Допускаемый прогиб в пролете – 1/300 расстояния между опорами, а консоли – 1/150 длины консоли.

Решение. Введем для рассматриваемой балки единую глобальную декартову систему координат OXYZ следующим образом. Совместим начало координат − точку O с левым торцом балки (рис. 2.17). Ось OX совместим с осью балки, а ось OY направим вертикально вверх. Тогда ось OZ, дополняющая координатную систему до правой системы координат, своим острием будет направлена на читателя (рис. 2.18).

1. Определение опорных реакций. Запишем уравнения равновесия моментов относительно точек А и B (рис. 2.17), предварительно заменив опоры соответствующими опорными реакциями, направив их вверх параллельно оси OY:

 

 

 

l2

- M + RB ×l2 + q ×l3

 

l

 

 

 

 

åmA = P ×l1 + q × 1

×(

3

+ l2 ) = 0;

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

l1

 

2

 

 

×l + q × l32 = 0,

åm = P ×(l + l ) + q ×l ×(

+ l ) - M

- R

A

2

 

 

B

1 2

1

 

 

2

 

 

 

2

2

откуда немедленно получаем значения опорных реакций

 

 

 

RB =

M - 2 P - 2q - 5,5×3q

=

50 - 30 - 60 - 495

= −133,75 кН;

 

4

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RA =

 

- M + 6P +10q - 4,5q

=

90 + 300 - 50 +135

= 118,75 кН.

 

 

4

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку значение опорной реакции RB получилось отрицательным, её действительное направление противоположно указанному на чертеже.

Сделаем проверку:

åY = − P − 2q + RA RB + 3q = 0;

−15 − 60 + 118,75 −133,75 + 90 = 0 .

88

Y

P

 

M*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

q X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q y ,

кН

 

 

 

 

 

 

 

15

43,75

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

43,75

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

75

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

90

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M z , кН м

135

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

60

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

245,36

 

288,36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

90

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

153,36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33,36

 

 

 

20,86

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EI z Θ, ,кНм 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40,253

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

763,41

 

36,64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

54,765

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

476,48

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26,42

2,89

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EIzv, кН м3

207,02

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

49,35

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

93,09

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.18

89

2. Запись аналитических выражений для величин Mz , Qy, EIzθ, EIzv по

участкам. На каждом из трех рассматриваемых участков балки сделаем мысленно разрезы (рис. 2.18) и, рассматривая всякий раз равновесие выделенной левой части балки, действие отброшенной правой части балки заменим внутренними силовыми факторами, приложенными к правому торцу левой части балки в соответствии с правилами знаков.

1-й участок [ОА], 0 ≤ x1 ≤ 2м.

Уравнения равновесия:

åY = - P - q × x1 - Qy = 0;

x2

åm1−1 = P × x1 + q × 21 + Mz = 0.

Отсюда, производя соответствующие преобразования и интегрируя уравнение для изгибающих моментов, получим:

Qy = - P - q × x1 = -15- 30x1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d2v

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

M

z

= EI

z

1

 

= - P × x - q ×

1

= -15x -15x2

;

 

2

 

 

 

 

 

 

 

dx2

1

 

 

1

1

 

 

EI

q = - P ×

x12

- q ×

x13

+ С = -7,5x2

- 5x3

+ С;

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

2

 

6

 

 

1

1

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

x4

+ Сx + D = -2,5x3 - 1,25x4 + Сx + D.

EI

v = - P ×

1

 

- q ×

1

 

 

 

 

 

z 1

 

6

 

 

 

 

24

 

1

 

 

1

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2-й участок [АB], 2м ≤ x2 ≤ 6м.

 

 

Уравнения равновесия:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x22

 

åY = - P - q ×l1 + RA - Qy = 0;

 

 

åm2−2 = P × x2 + q ×

 

- RA × ( x2 - l1) - q ×

(x2 - l1)2

- M ×( x2 - l1)0 + Mz = 0.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

Тогда можно записать следующие аналитические выражения:

Qy = - P - q ×l1 + RA = -15- 60 -118,75 = 43,75;

M

 

= EI

 

d 2v2

= -P × x - q ×

x22

+ R

 

×(x - l ) + q ×

(x2 - l1)2

+ M ×(x - l )0

=

z

z dx2

2

A

 

 

2

 

2 1

2

2 1

 

90

 

 

 

 

= -15x2 - 15x22 + 118,75(x2 - 2) + 15(x2 - 2)2 + 50(x2 - 2)0;

 

 

EI

z

q = - P ×

x22

- q ×

x23

+ R

A

×

(x2 - l1)2

+ q ×

(x2

- l1)3

+ M

× (x

2

 

- l ) + С =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

= -7,5x22 - 5x23 + 59,375(x2 - 2)2 + 5(x2 - 2)3 + 50(x2 - 2) + С;

 

EIzv2 = - P ×

x23

- q ×

x24

+ RA ×

(x2 - l1)3

 

+ q ×

(x2 - l1)4

+ M ×

(x2 - l1)2

 

+ Сx

2

+ D =

 

 

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

= -2,5x3

- 1,25x4

+ 19,79(x

2

 

- 2)3 + 1,25(x

2

- 2)4 + 25(x

2

- 2)2

 

+ Сx

+ D.

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3-й участок [BC], 6м ≤ x2 ≤ 9м.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнения равновесия:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

åY = - P - q ×l1 + RA - RB + q ×[x3 - (l1 + l2 )] - Qy = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x3

- l1 )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

åm3−3 =

P× x3 + q ×

 

 

3

 

 

-

RA ×(x3 - l1 ) - q ×

 

 

 

 

 

 

 

- M ×(x3 - l1 )0 -

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)]2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-q ×

[x

3

- (l

 

+ l

 

 

 

 

 

[x

 

- (l + l )] + M

 

 

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

+ R

B

3

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Далее получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qy = - P - q ×l1 + RA - RB + q ×[x3 - (l1 + l2 )] = -90 + 30(x3 - 6);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

2v

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

3

- l )2

+ M ×(x

 

 

- l )0

 

 

 

M

 

=

EI

 

 

 

 

 

 

 

= -P × x

 

- q

×

 

 

3

+ R

 

 

×(x

 

 

- l ) + q ×

 

 

1

 

 

 

-

 

 

z

z dx2

 

 

 

2

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

- q × [x3 - (l1 + l2 )]2 - RB[x3 - (l1 + l2 )] =

2

=-15x3 - 15x32 + 50(x3 - 2)0 + 118,75(x3 - 2) + 15(x3 - 2)2 + 15(x3 - 6)2 -

133,75(x3 − 6);

EI

z

q = - P ×

x32

- q ×

x33

+ R

A

×

(x3 - l1)2

+ q ×

(x3 - l1)3

+ M × (x

3

- l ) +

 

 

 

 

 

2

 

6

 

2

 

6

 

1

 

 

+q ×

[x3 - (l1 + l2 )]3 - RB

×

[x3 - (l1 + l2 )]2

+ С =

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

2

 

 

 

= -7,5x32 - 5x33

+ 50(x3 - 2) + 59,375(x3 - 2)2 + 5(x3 - 2)3 + 5(x3 - 6)3 -

 

 

 

 

 

-66,875(x3 - 6)2 + С;

 

 

 

EIzv3

= - P ×

x33

- q ×

x34

+ RA ×

(x3 - l1)3

+ q ×

(x3 - l1)4

+ M ×

(x3 - l1)2

+

 

 

 

 

2

 

6

24

6

24