Расчет стержней и стержневых систем

72

где I z и I y – осевые моменты инерции сечений относительно осей z и y соот-

ветственно.

Полярный момент инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) определяется как взятая по всей его площади F сумма произведений элементарных площадок dF на квадраты их расстояний от этой точки:

Iρ = òòρ2 dF .

F

Центробежный момент инерции сечения Izy относительно некоторых

двух взаимно перпендикулярных осей определяются как взятая по всей его площади F сумма произведений элементарных площадок dF на произведение координат центра этих площадок:

I yz =òò yzdF .

F

Здесь I yz – центробежный момент инерции относительно осей y и z .

Осевые и полярные моменты инерции сечения всегда положительны.

Сумма осевых моментов инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции этого сечения от-

носительно точки пересечения указанных осей:

I y +Iz =Iρ .

Центробежный момент инерции сечения может быть положительным, отрицательным и равным нулю.

Центробежный момент инерции сечения относительно координатных осей, из которых одна или обе совпадают с его осями симметрии, равен нулю.

2.2.2. Зависимости между моментами инерции поперечного сечения при преобразовании системы координат сечения

1. Параллельный перенос осей координат (рис. 2.9):

Iz = Izc + a2F ; Iy = Iyc + b2F ; I yz =I yc zc + abF ,

где Iy , I z , I yz − моменты инерции поперечного сечения относительно осей y и z

параллельных центральным (т.е. проходящим через центр тяжести сечения) осям yc , zc ; a и b − расстояние между указанными осями (рис. 2.9).

2. Поворот осей координат на угол α против хода часовой стрелки:

73

где I y1 , Iz1 , I y1z1 − моменты инерции поперечного сечения относительно осей y1

и z1 , повернутых на угол α против хода часовой стрелки по отношению к осям y и z . Сумма осевых моментов инерции при повороте осей координат не меня-

ется:

I y1 + Iz1 = I y + Iz .

Для сложного поперечного сечения, в результате расчленения которого получаем n составных частей, основные моменты инерции всего сечения определяются по формулам:

если оси y и z являются глобальными осями, т.е. едиными для всего сложного сечения.

2.2.3. Главные оси и главные моменты инерции

Для некоторых значений угла α величины осевых моментов инерции сечения достигают максимума

и минимума. Главные моменты инерции определяются как экстремальные (максимальные или минимальные) значения осевых моментов инерции. Главным моментам инерции соответствуют главные оси инерции. Главные оси инерции взаимно перпендикулярны.

Относительно главных осей инерции центробежный момент инерции ра- вен нулю.

Взаимно перпендикулярные оси, из которых одна или обе совпадают с осями симметрии сечения, всегда являются главными осями инерции.

Положение главных осей относительно произвольно взятых осей, определяется углом α0 :

Уравнению удовлетворяют ряд значений угла α0 . Из них выбирается ми-

нимальное по модулю значение. Если оно положительно, то для определения положения главных осей инерции следует оси y и z повернуть на угол α0 про-

тив хода часовой стрелки, а если отрицательно – то по ходу часовой стрелки.

75

Iz = Iy = 64π (D4 − d4 ) .

Осевой момент инерции коробчатого сечения (рис. 2.11, г):

2.2.5. Определение геометрических характеристик поперечного сечения. Пример решения задачи

Задание. Вычислить главные моменты инерции составного сечения. Исходные данные. Составное сечение представляет собой набор из трех

в3 = 242 = 12 см .

В приведенных формулах и везде далее верхние и нижние индексы 1,2,3 относятся соответственно к равнополочному уголку, двутавру и прямоугольнику, а все входящие величины берутся из соответствующих таблиц приложения.

2. Определим статический момент каждого элемента относительно осей yz общей системы координат:

3. Определим статический момент составного сечения относительно общей системы координат yz как сумму статических моментов составляющих его

элементов:

Sz = Sz(1) + Sz(2) + Sz(3) = 36,59 + 67,62 + 23,52 =127,73 см3; S y = S(y1) + S (y2) + S(y3) =150,01 + 88,2 + 403,2 = 641,41см3.

76

Рис. 2.12 4. Определим положение центра тяжести составного сечения в коорди-

5. Определим осевые моменты инерции составного сечения относительно координатных осей yczc, проходящих через центр тяжести составного сечения:

моменты инерции равнополочного уголка, двутавра, прямоугольника относительно собственных центральных осей yi,zi (см. приложение).

ми инерции.

I y(3с)zс = 0 + (0,7 - 2,16)×(12 -10,87)×33,6 = -55,43 см4 ,

I yсzс = 14,27 -174,68 - 55,43 = -215,84 см4 .

7. Определим положение главных центральных осей инерции составного сечения:

2ao =10,9o ; ao =5,45o.

78

При выборе направления главных осей инерции для правой декартовой системы координат следует руководствоваться следующими соображениями:

если I yсzс < 0, то главная ось, относительно которой момент инерции

имеет максимальное значение, проходит через квадранты I и III ;

если I yсzс > 0, то главная ось, относительно которой момент инерции

имеет максимальное значение, проходит через квадранты II и IV ;

ось максимум всегда составляет меньший угол с той из осей ( yc или zc), относительно которой осевой момент инерции имеет большее значение.

Для выбранных нами первоначально направлений координатных осей расположение главных центральных осей инерции составного поперечного сечения будет таким, как это показано на рис. 2.12.

Для проверки правильности вычислений главных осевых моментов инерции

можно использовать равенство:

I1 + I2 = I yC + IzC ;

2508,61+ 257,82 = 2529,2+ 237,2 ;

2766,43 = 2766,43 .

79

2.2.6. Задание на выполнение расчетно-графической работы «Определение геометрических характеристик поперечного сечения»

Цель работы: вычисление главных моментов инерции составного поперечного сечения.

Для данного поперечного сечения (рис. 2.13) требуется:

1)определить положение центра тяжести составного поперечного сечения относительно первоначально выбранных осей;

2)вычислить осевые и центробежные моменты инерции составного сечения относительно центральных осей, параллельных первоначально выбранным;

3)определить положение главных центральных осей сечения и вычислить величины главных моментов инерции составного сечения;

4)сделать чертеж составного поперечного сечения, указав на нем основные размеры и оси инерции (графическая часть).

Исходные данные взять из табл. 2.1; данные о прокатных профилях – согласно ГОСТу в приложении.

Таблица 2.1 для выбора исходных данных к заданию