Расчет стержней и стержневых систем

53

Рис. 1.63 (продолжение)

59

2. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

2.1. Расчет стержней на растяжение и сжатие

Рассмотрим стержень, подверженный действию растягивающей силы, приложенной на одном из его концов вдоль оси стержня (рис. 2.1). Считаем, что собственным весом стержня можно пренебречь.

P

N(x) = P

X

B

P P P

Рис. 2.1

Применяя метод сечений, из условия равновесия в направлении оси x установим, что в любом его поперечном сечении действует осевая сила N (x) = P ,

следовательно, эпюра осевой силы постоянна (рис. 2.1). Таким образом, любая часть стержня растянута одними и теми же силами P.

2.1.1. Деформированное состояние невесомого стержня

Введем понятие перемещения точек закрепленного деформируемого тела.

Перемещением точки A закрепленного в пространстве деформируемого

твердого тела будем называть вектор r = * , проведенный из точки A до

U AA

деформации в ее положение после деформации A* (рис. 2.2).

60

На рис. 2.2 штриховой линией показана форма тела до деформации, сплошной - форма тела после деформации под действием некоторой нагрузки q. Составляющие вектора U по осям x, y, z обозначим соответственно u, v, w.

На основе данных эксперимента на растяжение принимают гипотезу относительно особенностей деформирования стержня при растяжении. Эту гипо-

тезу называют гипотезой плоских сечений.

Поперечное сечение стержня после деформации растяжения остается

очевидно, что для описания деформации стержня достаточно следить за осевыми перемещениями точек продольной оси стержня u, и тогда получим осевые перемещения всех иных его точек.

В результате приложения нагрузки длина стержня изменится на некото-

где lк − длина стержня после приложения нагрузки (конечная длина), lн − на-

чальная длина стержня.

Величина l носит название абсолютного удлинения стержня. Абсолютное удлинение стержня в данном случае равно перемещению точки B: l = uB (рис. 2.3). Очевидно, что при приложении нагрузки перемещения получат и все другие точки оси стержня и что они будут отличаться от перемещения точки B. Например, точка на опоре A совсем не будет перемещаться (uA = 0). Таким об-

разом, в данном случае осевое перемещение является функцией координаты x точки: u = u (x) .

Если имеем дело с колонной здания, и она от нагрузки изменила свою длину на 2 мм, то материал колонны деформирован мало. Если на 2 мм изменила свою длину ось механизма наручных часов, то ее можно выкинуть. Чтобы получить характеристику деформированности материала, а не конкретного