Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Расчет стержней и стержневых систем

.pdf
Скачиваний:
806
Добавлен:
12.03.2015
Размер:
3.89 Mб
Скачать

 

 

 

171

 

 

 

yC1 = B y0 = 4 −1,31 = 2,69 см; yС2 = B + 0,5×h = 4 + 3 = 7 см;

yС3 = B + h - l + e = 4 + 6 - 2 + 0,212×2 = 8,42 см; zС1 = zС2 = zС3 = 0;

3

b

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

e = 0,212D

 

z3

C3

 

 

 

 

 

l

 

 

z2

 

C2

 

 

 

 

zh

 

zP

 

 

 

1

 

С

 

P

 

С3

 

 

 

Py

 

z1

 

 

0

 

С2

y

 

 

y

max

y

 

C

B

C1

C1

 

y

 

y

 

 

 

 

y

 

 

 

zmax

H

Рис. 4.9

в) определяем по формулам (4.18) координату центра тяжести поперечного сечения:

yC =

F1yC1 + F2 yC2 F3 yC3

=

8,98 × 2,69 + 24 × 7

-1,57 ×8,42

= 5,7 см;

F

31,41

 

 

 

 

 

г) вычисляем по (4.20) расстояния между осями:

a1 = yС1 yС = 2,69 − 5,7 = −3,01 см; a2 = yС2 yС = 7 − 5,7 = 1,3 см; a3 = yС3 yС = 8,42 − 5,7 = 2,72 см; b1 = b2 = b3 = 0.

Вычисляем по формулам (4.19) главные центральные моменты инерции:

Ju = Jz = Jz1 + a12F1 + Jz2 + a22F2 - Jz3 - a32F3 =12,8 +(3,01)2 ×8,98 + +72 + (1,3)2 ×24 -0,13 -(2,7)2 ×1,57 =195,25 см4;

Jv = J y = J y1 + J y2 J y3 = 89,4 + 32 − 0,393 =121,01 см4.

Вычисляем по (4.23) квадраты радиусов инерции: iz2 = 195,2531,41 = 6,22 см2; iy2 = 121,0131,41 = 3,85 см2.

2.Определяем координаты точки приложения силы yP = −1,7 см; zP = −2 см.

3.Определяем по (4.24) координаты пересечения нейтральной линии с

осями y , z:

172

y0 = - -6,122,7 = 3,66 см; z0 = - 3-,852 =1,93 см.

4.Определяем координаты наиболее нагруженной точки поперечного сечения А: ymax = −5,7 см; zmax = −4 см.

5.Определяем по (4.25) величину допускаемой растягивающей силы:

y

B

 

 

Па

 

 

М

 

2

6,

 

2

 

 

-z

 

.

л

.

н

 

y 0

C

P

z0

A

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Па

 

 

 

 

 

 

 

 

М

 

 

 

 

 

 

 

 

100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.10

 

 

[P] =

 

31,41×10−4 ×100 ×106

 

 

= 6,768 ×10

4

Н= 67,8 кН.

 

(-5,7) × (-1,7)

 

(-4) ×

(-2)

 

 

1+

+

 

 

 

 

6,22

3,85

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Определяем по (4.26) напряжения в точке A (растянутая зона) и в точке B (сжатая зона):

 

67,8 ×103

æ

 

(-5,7) × (-1,7)

 

(-4) × (-2)

ö

=100 ×106

 

sA =

 

ç1

+

 

 

 

+

 

 

 

÷

Па;

31,41

6,22

 

 

 

3,85

 

è

 

 

 

 

 

ø

 

 

 

67,8 ×103

æ

 

4,3× (-1,7)

 

(-2) × 2 ö

 

 

 

sB =

 

ç1

+

 

+

 

 

 

 

÷ = -26,2 ×106 Па.

 

31,41

6,22

 

3,85

 

 

 

è

 

 

 

ø

 

 

 

Строим эпюру нормальных напряжений (рис. 4.10).

4.4. Изгиб с кручением

Прочность стержня, работающего на изгиб с кручением, зависит от касательных напряжений, возникающих при действии крутящего момента, и от нормальных напряжений, связанных с изгибающими моментами M z и M y .

Влиянием перерезывающих сил Qy и Qz и связанными с ними касательными

173

напряжениями обычно пренебрегают. При изгибе с кручением стержня в его сечениях реализуется сложное напряженное состояние. В этой связи при анализе прочности материала стержня необходимо использовать теории прочности, приемлемые для данного материала.

4.4.1. Алгоритм расчета вала на изгиб с кручением

На вал насажен шкив ременной передачи, передающий мощность N , и две шестерни, передающие (каждая) по половине мощности. Частота вращения вала известна. Требуется подобрать диаметр вала, определить относительныкуглы закручивания и найти углы поворота шестерен относительно шкива.

1. Определить крутящий момент T по заданной мощности N (Вт) и частоте вращения вала n (обмин ):

T =

30N

, Н×м .

(4.26)

pn

 

 

 

2.Построить эпюру крутящих моментов Mкр.

3.Определить модуль вектора силы P1 = P1 давления шкива на вал, счи-

тая, что усилие в набегающей ветви ремня вдвое больше, чем в сбегающей (предполагается, что вектор силы P1 всегда располагается во втором квадранте системы координат 0yz ):

P = 3S = 3

2T

=

6T

,

(4.27)

 

 

1

D1

 

D1

 

 

 

 

где D1 — диаметр шкива.

Определить горизонтальную P1z и вертикальную P1y составляющие вектора силы P1 при заданном угле наклона α ремней к горизонту:

P1z = P1 cosα;P1y = −P1 sin α.

4. Определить модули векторов сил зацепления P2 = P2

вующих соответственно на каждую из шестерен:

P2 = DT2 ; P3 = DT3 ,

где D2 , D3 – диаметры соответствующих шестерен. Определить горизонтальные P2z , P3z и вертикальные

ляющие векторов сил P2 и P3 :

(4.28)

и P3 = P3 , дейст-

(4.29)

P2y , P3y состав-

P2z = −P2 cosα2 ; P2 y = P2 sin α2 ; P3z = −P3 cosα3 ; P3y = P3 sin α3 , (4.30)

где α2, α3 – углы наклона соответственно сил P2 и P3 к отрицательной ветви оси z.

5. Построить эпюру изгибающих моментов M z от сил, лежащих в вертикальной плоскости (P1y ,P2y ,P3y), и эпюру изгибающих моментов M y от сил,

174

лежащих в горизонтальной плоскости (P1z ,P2z ,P3z ).

6. Построить эпюру изгибающих моментов Mизг как геометрическую сумму M y и M z . Для этого в каждом характерном сечении вычислить

 

 

 

 

Mизг =

My2 + Mz2 .

(4.31)

 

 

 

 

D1

D2

 

y

а

 

 

 

 

P2

A

 

 

 

B

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

0

l 1

 

 

 

 

 

2s

 

 

 

l 2

l 3

l 1

P1

α

 

 

 

 

 

 

s

 

 

 

 

 

 

 

б

 

 

 

 

 

Эпюра M , кН.м

 

 

 

 

 

 

0,39

 

 

 

 

0,195

 

кр

 

 

 

 

 

 

RA=2,37

P

y

= 3,38

 

 

 

 

1

 

RB=1,01

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в

1,42

 

 

 

 

Эпюра M , кН.м

 

 

 

Z

HA=4,01

 

 

 

P1z=1,95

 

 

 

 

HB=4,28

 

 

 

P = 1,11

P =1,11

 

2

2

г

 

 

Эпюра My , кН.м

0,67

2,41

5,28

5,28

2,80

0,67

д

Эпюра Mизг , кН.м

Рис. 4.11

175

7. Построить эпюру расчетных моментов по принятой для данной задачи теории прочности:

а) вторая теория прочности – теория наибольших относительных удлинений:

Mр = 0,35Mизг + 0,65Mизг2 + Mкр2 (4.32)

б) третья теория – теория наибольших касательных напряжений:

Mр =

 

Mизг2 + Mкр2

 

(4.33)

в) четвертая теория – энергетическая:

 

 

 

 

 

Mр =

Mизг2 + 0,75Mкр2

(4.34)

Определить опасное сечение – сечение с maxMр .

 

Определить диаметр вала из условия прочности

 

d ³ 3

32max MP .

(4.35)

 

 

p[s]

 

Найденное значение диаметра вала округлить до стандартного значения (см. приложение 2). Если окажется, что ближайшее табличное значение меньше

расчетного, то необходимо подсчитать перегрузку δ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max σэкв =

max M р

=

 

32max M р

;

(4.36)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

πd 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

δ =

maxσэкв −[σ]

1000 0 .

 

(4.37)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[σ]

 

 

 

Если перегрузка больше 3%, то принять ближайший больший диаметр.

Вычислить относительные углы закручивания участков стержня ξi :

участок AC:

ξ1 = 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

участки CB и BD:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ2 = ξ3

=

Mкр3

= −

 

T

;

 

 

 

 

 

 

 

GJ p

 

GJ p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.38)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

участок DE:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ξ4 =

M кр 4

 

= −

 

T

 

,

 

 

 

 

 

 

 

(4.39)

GJ p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2GJ p

 

 

 

 

 

 

 

где J p = πd432 – полярный момент инерции, G – модуль упругости на сдвиг.

При постоянных относительных углах закручивания угол поворота в радианах сечения с координатой x, измеренной от начала стержня, определяется по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

176

 

j(x) =

 

Mкр

x = xx ,

(4.40)

 

GJ p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тогда угол поворота в градусах шестерни в точке D относительно шкива:

j

D

= x

 

 

(l + l

)

180°

;

(4.41)

 

 

 

 

 

2

2

 

3

 

p

 

шестерни в точке E относительно шестерни в точке D

 

j = x l

 

 

180°

;

 

 

(4.42)

 

 

 

p

 

 

 

 

 

4 4

 

 

 

 

 

 

 

угол поворота шестерни в точке E относительно шкива:

 

jE = jD + j .

 

 

 

(4.43)

Пример использования алгоритма

Определить диаметр вала, относительные углы закручивания участков вала и углы поворота шестерен относительно шкива (рис. 4.11, а). Вал передает мощность N = 2,04.105 Вт и имеет частоту вращения n = 5000 об/мин. На вал насажен шкив ременной передачи диаметром D1 = 60 см и две шестерни одинакового диаметра D2 = 35 см. Угол наклона ремней α = 60°. Усилие зацепления

на каждой шестерне направлено горизонтально и в сторону отрицательной ветви оси z (α2 = α3 = 0). Принять для вала [σ] = 70 МПа, G = 0,77 ×105 МПа . При расчете использовать третью теорию прочности. Расстояния между опорами,

шкивом и шестернями: l1 =0,6 м; l2 =1,4

м; l3 =2,08 м.

1.

Определяем величину крутящего момента по формуле (4.26):

 

 

 

 

T =

30

×

2,04 ×105

= 390 Н.м=0,39 кН.м.

 

 

 

 

 

 

5000

 

 

 

 

 

p

 

 

2.

Строим эпюру крутящих моментов (рис. 4.11, б), учитывая, что крутя-

щий момент на каждой из двух шестерен вдвое меньше, чем на шкиве.

3.

Определяем по (4.27), (4.28) силы, действующие на вал:

P = 3S =

6T

=

6 × 0,39

= 3,9 кН; P

= P cos60° = 3,9 × 0,5 = 1,95 кН;

 

 

1

 

D1

0,6

 

 

 

1z

1

 

 

 

 

 

 

 

P1y = -P1 sin 60° = -3,9 × 0,866 = -3,38 кН.

4.Определяем по (4.29): P2 = DT2 = 00,,3935 =111, кН.

5.Определяем реакции опор от вертикальных сил из условия равновесия:

åmA = -P1yl1 + RB (l1 + l2 ) = 3,38× 0,6 - RB × (0,6 +1,4) = 0;RB =1,01 кН;

åmB = -RA (l1 + l2 ) + P1yl2 = -RA × (0,6 +1,4) + 3,38 ×1,4 = 0; RA = 2,37 кН. Проверка: åPy i = 0 = -RA + P1y + RB = -2,37 + 3,38 -1,01= 0.

Строим эпюру изгибающих моментов M z от вертикальных сил (рис. 4.11, в). Определяем реакции опор от горизонтальных сил:

177

åmA = HB (l1 + l2 ) + P1zl1 P2 (l1 + l2 + l3 ) − P2 (2l1 + l2 + l3) =

= H B × (0,6 + 1,4) +1,95 × 0,6 -1,11× (3 × 0,6 + 2 ×1,4 + 2 × 2,08) = 0;H B = 4,28кН;

åmB = -H A (l1 + l2 ) - P1zl2 - P2l3 - P2 (l2 + l3) =

= -H A × (0,6 +1,4) -1,95 ×1,4 -1,11× (0,6 + 2 × 2,08) = 0;H A = -4,01кН.

Проверка: åPy i = 0 = H A + P1z + HB - 2P2 = -4,01+ 1,95 + 4,28 - 2 ×1,11= 0 .

Строим эпюру изгибающих моментов M y от горизонтальных сил

(рис. 10, г).

6.Строим эпюру суммарных изгибающих моментов (рис. 10, д), вычислив

вкаждом расчетном сечении Mизг по формуле (4.31).

7.Подсчитываем Mр с помощью (4.33) в опасном сечении – опоре B:

M р = (5,28)2 + (0,39)2 = 5,29 кН.м.

8. Определяем диаметр вала, воспользовавшись соотношением (4.35):

d ³ 3 32 × 5,29 ×103 = 9,16 ×10−2 м = 91,6 мм .

p × 70 ×106

В приложении 2 ближайшие рекомендуемые диаметры: 90 и 95 мм. Выбираем 90 мм. Определяем максимальное эквивалентное напряжение с помощью (4.36):

max sэкв =

32 × 5,29 ×103

 

= 73, 9 ×106

Па

3,14 × (9,0)3 ×10

−6

 

 

 

и перегрузку по формуле (4.37): d = 73,9 − 70 ×100 = 5,57 00 (d > 300). Перегрузка

70

больше допустимой.

Принимаем диаметр вала равным 95 мм. Проверяем его прочность

max sэкв =

max M р

=

32max M р

=

32 ×5,29 ×103

 

= 62, 8 МПа< [σ] ,

Wz

pd 3

3,14 × (9,5)3 ×10

−6

 

 

 

 

откуда видно, что условие прочности выполняется. Вычисляем полярный момент инерции

J p = 3,14×954мм4 = 7996000мм4 , 32

затем относительные углы закручивания участков по формулам (4.38) и (4.39)

x2

= -

 

 

0,39кН ×м

 

 

 

 

 

 

= -

 

 

0,39

×106 Н ×мм

 

 

= 0,6334×10−6

1

;

 

 

Н

 

4

 

 

4

 

 

×105 Н × 799,6×104 мм2

 

 

 

5

 

 

 

 

 

0,77

 

 

 

мм

 

0,77×10

 

 

799,6

×10

 

мм

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мм2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 .

 

 

 

 

 

x4 = -

 

 

 

0,195кН ×м

 

 

 

 

= 0,3167×10

−6

 

 

 

 

 

 

 

5

 

Н

 

 

 

4

 

4

 

мм

 

 

 

 

0,77×10

 

 

799,6×10

 

мм

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мм2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисляем углы поворота шестерен относительно шкива (см. 4.41 - 4.43)

178

jD = 0,6334 ×10−6 мм1 (1,4 + 2,08)×103мм180p ° = -0,126° ; j = 0,3167 ×10−6 мм1 0,6 ×103мм180p ° = -0,011° ;

ϕE = ϕD + ϕ = −0,126° − 0,011° = −0,137° .

Все величины, которые требовалось определить в задаче, найдены.

4.5.Задание на выполнение расчетно-графической работы «Расчет стержневых систем на сложные деформации»

4.5.1. Расчет балки на косой изгиб

Для балки постоянного поперечного сечения (рис. 4.12), нагруженной в сечении A силой P1 и в сечении B силой P2 , требуется:

1)построить эпюры изгибающих моментов от сил, действующих соответственно в вертикальной и горизонтальной плоскостях, и эпюру приведенных моментов;

2)подобрать размеры прямоугольного поперечного сечения при заданном соотношении его сторон;

3)определить положение нейтральной линии для произвольного сечения,

вкотором моменты в горизонтальной и вертикальной плоскостях не равны нулю;

4)определить полное перемещение точки A, лежащей на оси балки. Примечание.

1)Все исходные данные взять из табл. 4.1.

2)Принять [σ]=10 МПа; E =104 МПа.

3)Опоры балки воспринимают вертикальные и горизонтальные усилия.

4)Номер схемы берется по шифру.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 4.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Номер

 

l

, м

 

P1

, кН

 

P2

, кН

α10

α20

h b

 

 

 

 

строки

схемы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г

 

 

в

 

 

в

 

 

б

г

б

а

1

1

 

1,2

 

2,0

 

12

180

-20

1,2

2

2

 

1,5

 

3,0

 

10

90

150

1,4

3

3

 

1,8

 

4,0

 

9,0

180

-30

1,5

4

4

 

2,0

 

5,0

 

8,0

90

130

1,6

5

5

 

2,2

 

6,0

 

7,0

-90

120

1,8

6

6

 

2,4

 

7,0

 

6,0

180

-110

2,0

179

7

7

2,5

8,0

5,0

180

-60

1,8

8

8

2,6

9,0

4,0

90

130

1,6

9

9

2,8

10

3,0

180

-40

1,4

0

10

3,0

12

2,0

-90

150

1,2

1

2

3

4

5

6

 

P

P

 

2

1

l/2

B

A

l/2

 

P2

P

l/2

B

1A

l/2

 

P1

P2

l/3 Al/3

B l/3

P1

P2

 

l/4 Al/4 B

l/2

P1

P2

l/3 Al/3

B l/3

 

P1

P2

l/3

Al/3

B l/3

y

P

 

α22

z

P1 P1 α2y y α2 P z

2 P2

z

 

 

P1

α2 y

P1

z

 

y

 

P2

α2

P1

 

z

 

 

 

P2

α

y

 

2

z

P1 P2

 

 

 

 

180

 

 

 

 

 

 

 

P1

 

P2

y

α2 P

 

7

 

 

z

 

2

 

l/2

A

l/2

l/2

B

 

 

 

 

P

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P 1

 

 

P2

 

1

 

α2

8

 

 

 

 

P1

 

A

 

 

B

 

z

 

l/2

 

l/2

l/2

P2

y

α2

 

P2

9

P1

 

 

z

 

P2

A

 

 

 

B

 

 

 

 

3/4l

 

 

 

 

 

l/4

l/2

 

 

P1

 

α1 y

10

 

 

P2

 

P1

 

P

 

B l/4

 

 

 

 

 

3/4l

l/2

A

 

 

2

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P1

Рис. 4.12

4.5.2. Расчет на внецентренное растяжение

Для заданного поперечного сечения (рис. 4.13), растягиваемого силой P , приложенной в указанной точке, требуется:

1)найти центр тяжести и определить главные центральные моменты инерции;

2)определить допускаемую величину растягивающей силы;

3)определить положение нейтральной линии и начертить эпюру нормальных напряжений при растяжении силой допускаемой величины.

Примечание.

1)Исходные данные взять из таблицы 4.2.

2)Допускаемое напряжение принять [σ]=100 МПа.

Таблица 4.2.

Номер

l ,

Номер

Точка

Номер

l ,

Номер

Точка

строки

двутавра

приложе-

строки

двутавра

приложе-

 

мм

или швеллера

ния силы

 

мм

или швеллера

ния силы

 

в

в

б

 

в

в

б

1

10

40

1

6

35

24а

1

2

15

36

2

7

40

22а

2

3

20

33

3

8

45

20а

3

4

25

30

4

9

50

18а

4

5

30

27

5

0

55

16

5